(共35张PPT)
第五章
三角函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（五十一）
谢谢观看！第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
[问题导引1] 若用－β代两角差的余弦公式中β，结果是什么？
提示： cos (α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.
[问题导引2] 两角和与差的正弦公式如何推导？
提示： sin (α＋β)＝cos [－(α＋β)]＝cos [(－α)－β].
sin (α－β)＝cos [－(α－β)]＝cos [(－α)＋β].
然后再利用两角差的余弦公式与诱导公式得到结论．
两角和与差的正弦、余弦公式
名称 简记符号 公式 适用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
[点拨] 两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．
求值：
(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°；
(2)sin 15°＋sin 75°.
解析： (1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°
＝sin (20°＋40°)＝sin 60°＝.
(2)sin 15°＋sin 75°
＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30°
＝2sin 45°cos 30°＝.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形．
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分．解题时要注意逆用或变用公式．
即时练1.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )
A．－ B．－ C． D．
D [∵cos 200°＝cos (180°＋20°)
＝－cos 20°＝－sin 70°，
∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)·cos 50°
＝sin (50°＋70°)＝sin 120°＝.]
即时练2.化简求值：cos 105°＋sin 195°.
解析： cos 105°＋sin 195°
＝cos (90°＋15°)＋sin (180°＋15°)
＝－sin 15°－sin 15°
＝－2sin 15°＝－2sin (45°－30°)
＝－2sin 45°cos 30°＋2sin 30°cos 45°
＝.
应用1 给值求值问题
(链接教材P218例3)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝.
(1)求cos 的值；
(2)求sin β的值．
解析： (1)∵α为锐角，sin α＝，
∴cos α＝＝，
∴cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，
由cos (α＋β)＝，得
sin (α＋β)＝＝，
∴sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.
1．解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．其解题策略有：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
即时练3.已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，则sin (α＋β)＝________．
解析： 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋×＝.
答案：
即时练4.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos C的值为________．
解析： 因为cos B＝－<0，
所以B为钝角，从而A为锐角，
所以cos A＝＝，
sin B＝＝.
cos C＝cos [π－(A＋B)]
＝－cos (A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B
＝－×(－)＋×＝.
答案：
应用2 给值求角问题
已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
解析： 因为α和β均为钝角，
所以cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－.
由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
×－×＝.
所以α＋β＝.
给值求角问题的解题策略
(1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．
(2)选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数．
即时练5.已知α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求α.
解析： ∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π).
∵cos (α－β)＝，∴sin (α－β)＝.
∵β∈，sin β＝－，∴cos β＝.
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
1．(多选)下列叙述正确的为( )
A．对于所有θ∈R，总有sin ＝cos θ
B．存在α、β，满足sin (α－β)＝sin α－sin β
C．存在α、β，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β
D．对任意α、β，sin (α＋β)＝sin α＋sin β
ABC [sin ＝cos θ，A正确．
存在α＝π，β＝π，满足sin (α－β)＝sin α－sin β，B正确．
存在α＝0，β＝，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β，C正确．
对任意α，β，sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，D不正确．故选ABC．]
2．已知sin α＝，α∈(，π)，则sin (α－)＝________．
解析： 因为sin α＝，α∈(，π)，
所以cos α＝－＝－.
所以sin (α－)＝sin αcos －cos αsin ＝×－(－)×＝.
答案：
3．化简sin (＋α)＋cos (＋α)的结果是________．
解析： 原式＝cos α＋sin α＋cos α－sin α＝cos α.
答案： cos α
4．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin (β＋)的值．
解析： ∵sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α
＝sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α
＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin (β＋)＝sin βcos ＋cos βsin
＝(－)×＋(－)×＝－.
课时作业(五十一) 两角和与差的正弦、余弦公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．sin 105°的值为( )
A． B．
C． D．
D [sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.]
2．若cos α＝，α是第四象限角，则sin (α＋)＝( )
A．－ B． C．－ D．
C [因为cos α＝，α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝×(－＋)＝－.]
3．sin θ＋sin ＋sin 的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
A [原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.]
4．已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C．或 D．或
B [因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，故选B．]
5．sin 15°－cos 15°等于( )
A．0 B．－ C．－ D．
B [原式＝2(sin 15°－cos 15°)
＝2(sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°)
＝2sin (15°－60°)
＝－2sin 45°＝－.故选B．]
6．cos 75°＝________．
解析： cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝.
答案：
7．已知cos θ＝，则sin 的值为________．
解析： 因为cos θ＝，
所以sin θ＝＝.
sin ＝sin θcos －cos θsin
＝×－×＝.
答案：
8．已知cos ＝－，则cos x＋cos ＝________．
解析： 原式＝cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
答案： －1
9．化简下列各式：
(1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)；
(2)－2cos (α＋β).
解析： (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝(＋1－)sin x＋(－＋)cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
10．已知<α<，0<β<，cos (－α)＝，sin (＋β)＝，求sin (α＋β)的值．
解析： 因为<α<，0<β<，所以－<－α<0，<＋β<π.所以sin (－α)＝－，cos (＋β)＝－.
所以sin (α＋β)＝－cos (＋α＋β)
＝－cos [(＋β)－(－α)]
＝－cos (＋β)cos (－α)－sin (＋β)sin (－α)
＝×－×(－)＝.
[能力提升]
11．已知sin (θ＋)＋cos θ＝－，则cos (θ＋)＝( )
A． B．－ C． D．－
A [sin (θ＋)＋cos θ＝－可化为sin θ＋cos θ＝－，
整理得sin θ＋cos θ＝－.
即cos cos θ＋sin sin θ＝－，
∴cos (θ－)＝－，
∴cos (θ＋)＝－cos (θ－)＝，故选A．]
12．在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
B [∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝＝
＝.
即＝，
化简得cos (B＋C)＝0，即cos (π－A)＝0，∴cos A＝0.
∵0
∴△ABC为直角三角形．]
13.＝________．
解析：
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
答案：
14．“在△ABC中，cos A cos B＝________＋sin A sin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是____________．
解析： 由题意，横线处的实数等于cos (A＋B)，即cos (π－C)，故当C是直角时，a＝cos (A＋B)＝cos ＝0；当C是锐角时，－1答案： b15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈(0，).
求：(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
解析： (1)因为α，β∈(0，)，所以α－β∈(－，).
又因为sin (α－β)＝>0，
所以0<α－β<.
所以sin α＝＝，
cos (α－β)＝＝.
cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
16．在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，.
(1)求tan β的值；
(2)求的值．
解析： (1)因为在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<<β <π)的顶点与坐标原点O重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，，
所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，
所以tan β＝＝＝－.
(2)由(1)知sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋×＝－＋＝－，
所以＝
＝＝＝＝.第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
[问题导引1] 若用－β代两角差的余弦公式中β，结果是什么？
提示： cos (α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.
[问题导引2] 两角和与差的正弦公式如何推导？
提示： sin (α＋β)＝cos [－(α＋β)]＝cos [(－α)－β].
sin (α－β)＝cos [－(α－β)]＝cos [(－α)＋β].
然后再利用两角差的余弦公式与诱导公式得到结论．
两角和与差的正弦、余弦公式
名称 简记符号 公式 适用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
[点拨] 两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．
求值：
(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°；
(2)sin 15°＋sin 75°.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形．
(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分．解题时要注意逆用或变用公式．
即时练1.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )
A．－ B．－ C． D．
即时练2.化简求值：cos 105°＋sin 195°.
应用1 给值求值问题
(链接教材P218例3)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝.
(1)求cos 的值；
(2)求sin β的值．
1．解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．其解题策略有：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
即时练3.已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，则sin (α＋β)＝________．
即时练4.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos C的值为________．
应用2 给值求角问题
已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
给值求角问题的解题策略
(1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．
(2)选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数．
即时练5.已知α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求α.
1．(多选)下列叙述正确的为( )
A．对于所有θ∈R，总有sin ＝cos θ
B．存在α、β，满足sin (α－β)＝sin α－sin β
C．存在α、β，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β
D．对任意α、β，sin (α＋β)＝sin α＋sin β
2．已知sin α＝，α∈(，π)，则sin (α－)＝________．
3．化简sin (＋α)＋cos (＋α)的结果是________．
4．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin (β＋)的值．
课时作业(五十一) 两角和与差的正弦、余弦公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．sin 105°的值为( )
A． B．
C． D．
2．若cos α＝，α是第四象限角，则sin (α＋)＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．sin θ＋sin ＋sin 的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
4．已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C．或 D．或
5．sin 15°－cos 15°等于( )
A．0 B．－ C．－ D．
6．cos 75°＝________．
7．已知cos θ＝，则sin 的值为________．
8．已知cos ＝－，则cos x＋cos ＝________．
9．化简下列各式：
(1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)；
(2)－2cos (α＋β).
10．已知<α<，0<β<，cos (－α)＝，sin (＋β)＝，求sin (α＋β)的值．
11．已知sin (θ＋)＋cos θ＝－，则cos (θ＋)＝( )
A． B．－ C． D．－
12．在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
14．“在△ABC中，cos A cos B＝________＋sin A sin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是____________．
15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈(0，).
求：(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
16．在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，.
(1)求tan β的值；
(2)求的值．课时作业(五十一) 两角和与差的正弦、余弦公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．sin 105°的值为( )
A． B．
C． D．
D [sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.]
2．若cos α＝，α是第四象限角，则sin (α＋)＝( )
A．－ B． C．－ D．
C [因为cos α＝，α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝×(－＋)＝－.]
3．sin θ＋sin ＋sin 的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
A [原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.]
4．已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C．或 D．或
B [因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，故选B．]
5．sin 15°－cos 15°等于( )
A．0 B．－ C．－ D．
B [原式＝2(sin 15°－cos 15°)
＝2(sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°)
＝2sin (15°－60°)
＝－2sin 45°＝－.故选B．]
6．cos 75°＝________．
解析： cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝.
答案：
7．已知cos θ＝，则sin 的值为________．
解析： 因为cos θ＝，
所以sin θ＝＝.
sin ＝sin θcos －cos θsin
＝×－×＝.
答案：
8．已知cos ＝－，则cos x＋cos ＝________．
解析： 原式＝cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
答案： －1
9．化简下列各式：
(1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)；
(2)－2cos (α＋β).
解析： (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝(＋1－)sin x＋(－＋)cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
10．已知<α<，0<β<，cos (－α)＝，sin (＋β)＝，求sin (α＋β)的值．
解析： 因为<α<，0<β<，所以－<－α<0，<＋β<π.所以sin (－α)＝－，cos (＋β)＝－.
所以sin (α＋β)＝－cos (＋α＋β)
＝－cos [(＋β)－(－α)]
＝－cos (＋β)cos (－α)－sin (＋β)sin (－α)
＝×－×(－)＝.
[能力提升]
11．已知sin (θ＋)＋cos θ＝－，则cos (θ＋)＝( )
A． B．－ C． D．－
A [sin (θ＋)＋cos θ＝－可化为sin θ＋cos θ＝－，
整理得sin θ＋cos θ＝－.
即cos cos θ＋sin sin θ＝－，
∴cos (θ－)＝－，
∴cos (θ＋)＝－cos (θ－)＝，故选A．]
12．在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
B [∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝＝
＝.
即＝，
化简得cos (B＋C)＝0，即cos (π－A)＝0，∴cos A＝0.
∵0∴△ABC为直角三角形．]
13.＝________．
解析：
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
答案：
14．“在△ABC中，cos A cos B＝________＋sin A sin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是____________．
解析： 由题意，横线处的实数等于cos (A＋B)，即cos (π－C)，故当C是直角时，a＝cos (A＋B)＝cos ＝0；当C是锐角时，－1答案： b15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈(0，).
求：(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
解析： (1)因为α，β∈(0，)，所以α－β∈(－，).
又因为sin (α－β)＝>0，
所以0<α－β<.
所以sin α＝＝，
cos (α－β)＝＝.
cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
16．在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，.
(1)求tan β的值；
(2)求的值．
解析： (1)因为在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<<β <π)的顶点与坐标原点O重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，，
所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，
所以tan β＝＝＝－.
(2)由(1)知sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋×＝－＋＝－，
所以＝
＝＝＝＝.课时作业(五十一) 两角和与差的正弦、余弦公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．sin 105°的值为( )
A． B．
C． D．
2．若cos α＝，α是第四象限角，则sin (α＋)＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．sin θ＋sin ＋sin 的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
4．已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C．或 D．或
5．sin 15°－cos 15°等于( )
A．0 B．－ C．－ D．
6．cos 75°＝________．
7．已知cos θ＝，则sin 的值为________．
8．已知cos ＝－，则cos x＋cos ＝________．
9．化简下列各式：
(1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)；
(2)－2cos (α＋β).
10．已知<α<，0<β<，cos (－α)＝，sin (＋β)＝，求sin (α＋β)的值．
11．已知sin (θ＋)＋cos θ＝－，则cos (θ＋)＝( )
A． B．－ C． D．－
12．在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
14．“在△ABC中，cos A cos B＝________＋sin A sin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是____________．
15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈(0，).
求：(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
16．在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0<α<<β<π)的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为，.
(1)求tan β的值；
(2)求的值．