(共41张PPT)
第五章
三角函数
[－1，1]
[－1，1]
k∈Z
k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，
k∈Z
x＝2kπ，k∈Z
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十八）
谢谢观看！
7下
3
5
5T-2
3
2
7下
2
21
2
2
4π-3分22T-m
2T34m9π5
2
2第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
知识点 正弦、余弦函数的单调性
[问题导引1] 观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，你能写出函数y＝sin x，x∈[－，π]的单调递增区间和单调递减区间吗？
提示： 单调递增区间是，单调递减是.
[问题导引2] 结合正弦函数的周期性，它还有哪些单调区间？
提示： 在[－，]及的每一个端点上分别加上±2π，±4π，±6π，…，都是它的单调区间．
[问题导引3] 正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
提示： 存在．最大值和最小值分别是1和－1.
正、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单调性 增区间 ，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z
ymin＝－1 x＝－＋2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z
[点拨] 对单调区间的理解
(1)k取Z内的每一个值，都对应着一个增区间及减区间，这些区间是断开的．
(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数．
(3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点．
(链接教材P206例4)
比较下列各组数的大小．
(1)cos ，cos ；(2)sin 110°，sin 150°.
解析： (1)∵，∈(0，π)，＜，且函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，∴cos ＞cos .
(2)∵sin 110°＝sin 70°，sin 150°＝sin 30°，70°＞30°，且函数y＝sin x在(0°，90°)上单调递增，∴sin 70°＞sin 30°，∴sin 110°＞sin 150°.
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
即时练1.不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)sin 194°与 cos 160°.
解析： (1)sin ＝sin ＝sin (－)，sin ＝sin ＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin ＜sin ，即sin ＜sin π.
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°，
∴－sin 14°＞－sin 70°，
即sin 194°＞cos 160°.
应用1 正、余弦(型)函数的单调性
(链接教材P206例5)
求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos ；
(2)y＝3sin .
解析： (1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是(k∈Z).
当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是(k∈Z).
(2)y＝3sin ＝－3sin ，
要求y＝－3sin 的增区间即求y＝sin (2x－)的减区间，即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数y＝3sin 的递增区间为(k∈Z).
要求y＝－3sin 的减区间即求y＝sin (2x－)的增区间，
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin 的递减区间为(k∈Z).
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间从而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．
即时练2.函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A．[－，] B．[，]
C．[π，] D．[，2π]
C [因为y＝|sin x|的图象是由y＝sin x在x轴上侧的图象不变、x轴下侧的图象翻折得到的，如图所示．
由图可知，函数的一个单调递增区间是[π，π].故选C．]
即时练3.下列函数中，在区间(，π)上恒正且是增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
D [作出四个函数的图象(图略)，知y＝sin x，y＝cos x在(，π)上单调递减，不符合；而y＝－sin x的图象虽满足在(，π)上单调递增，但其值为负，故不符合．所以只有D符合，故选D．]
应用2 正、余弦(型)函数的值域(最值)
(链接教材P205例3)
求下列函数的最值，并求取最大值和最小值时x的值．
(1)y＝1－3cos 2x；
(2)y＝－2sin (2x－)，x∈[0，].
解析： (1)当cos 2x＝1时，y有最小值1－3＝－2，此时x的值满足2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z).
当cos 2x＝－1时，y有最大值1＋3＝4，此时x的值满足2x＝2kπ＋π，即x＝k π＋(k∈Z).
(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以sin (2x－)∈[－，1]，即－2≤－2sin (2x－)≤.
当2x－＝，即x＝π时，函数取最小值－2.
当2x－＝－，即x＝0时，函数取最大值.
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
即时练4.当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin (x＋)有( )
A．最大值1，最小值－1
B．最大值1，最小值－
C．最大值2，最小值－2
D．最大值2，最小值－1
D [因为－≤x≤，所以－≤x＋≤.所以－≤sin (x＋)≤1.所以－1≤f(x)≤2.]
即时练5.求函数y＝cos2x－sinx，x∈[－，]的最值．
解析： y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx
＝－(sin x＋)2＋.
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当x＝－，
即sin x＝－时，
函数取得最大值，ymax＝；当x＝，
即sin x＝时，
函数取得最小值，ymin＝－.
1．(多选)已知f(x)＝－sin x，则下列区间是函数的单调递减区间的是( )
A． B．
C． D．
AD [法一 作出函数f(x)＝－sin x的图象如图所示．
可知函数的单调递减区间是A，D．故选AD．
法二 由于f(x)＝－sin x的单调性与y＝sin x单调性相反，故选AD．]
2．函数f(x)＝3－2cos 4x的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
D [因为－1≤cos 4x≤1，所以－2≤2cos 4x≤2，所以1≤3－2cos 4x≤5.所以f(x)＝3－2cos 4x的最大值为5，故选D．]
3．sin ________sin (填“>”或“<”).
解析： sin π＝sin (4π＋)＝sin ，
sin π＝sin (8π＋)＝sin .
因为y＝sin x在[0，]上单调递增，
又0<<<，
所以sin 所以sin 答案： <
4．求函数f(x)＝cos (x－)在区间[0，π]上的单调递减区间．
解析： 因为x∈[0，π]，所以x－∈[－，]，
所以当0≤x－≤，即≤x≤π时，函数是递减的，故函数的单调递减区间是[，π].
课时作业(四十八) 正弦、余弦函数的单调性与最值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈[－，π]的值域是( )
A．[1，3] B．[－1，3] C．[－3，1] D．[－1，1]
B [因为x∈[－，π]，所以sin x∈[－1，1].
所以－2sin x＋1∈[－1，3].故选B．]
2．下列区间中使y＝sin x和y＝cos x都是减函数的是( )
A．[－，0] B．[0，]
C．[，π] D．[π，]
C [x∈[－，0]时，y＝sin x和y＝cos x都是增函数；x∈[0，]时，y＝sin x是增函数，y＝cos x是减函数；x∈[，π]时，y＝sin x和y＝cos x都是减函数，选C．]
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos |x| B．y＝cos |－x|
C．y＝sin (x－) D．y＝－sin
C [y＝cos |x|在(0，)上是减函数，排除A；
y＝cos |－x|＝cos |x|，排除B；y＝sin (x－)
＝－sin (－x)＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin 在(0，π)上是单调递减的，排除D．]
4．下列结论正确的是( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cos 130°>cos 200° D．cos (－40°)C [由cos 130°＝cos (180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos (180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x∈(0°，90°)时，函数y＝cos x是减函数，所以cos 50°－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.]
5．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递减的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
AB [因为函数y＝sin x在(，π)上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在(，)上是单调递减的，故A正确；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．]
6．函数y＝3cos (x－)在x＝________时，y取最大值．
解析： 当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z).
答案： 4kπ＋(k∈Z)
7．函数y＝sin (－x)(x∈[0，π])上的单调递增区间为________．
解析： y＝－sin (x－)，当x∈[0，π]时，－≤x－≤.当≤x－≤，即≤x≤π时，y＝sin (x－)单调递减，此时该区间是y＝sin (－x)的单调递增区间．
答案： [，π]
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
解析： ∵y＝|sin x|＋sin x
＝
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，
即函数的值域为[0，2].
答案： [0，2]
9．比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos .
解析： (1)∵函数y＝sin x在[，π]上单调递减，且＜＜＜π，∴sin ＞sin .
(2)cos ＝cos (2π－)＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
∵函数y＝cos x在上单调递减，且0＜＜＜，∴cos ＞cos ，即cos ＞cos .
10．求函数y＝－cos 的单调递增区间．
解析： 函数y＝－cos 的单调递增区间即为函数y＝cos 的单调递减区间，
令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为，k∈Z.
[能力提升]
11．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A． B． C．2π D．4π
C [如图，当x∈[a1，b]时，值域为且b－a最大．当x∈[a2，b]时，
值域为，且b－a最小．∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＋＋＝2π.]
12．(多选)对于函数f(x)＝下列说法不正确的是( )
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋πABC [画出函数f(x)的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是[－，1]，当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π13．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝________．
解析： ∵y＝a－b cos x(b＞0)，∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由解得
答案：
14．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
解析： ∵y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∴只有当－π＜a≤0时，满足条件．故a的取值范围是(－π，0].
答案： (－π，0]
15．已知函数f(x)＝sin .
(1)当x∈R时，求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
解析： (1)f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当x∈时，－≤2x－≤，所以当2x－＝－，即x＝－时，函数f(x)取得最小值－，当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.
16．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f()＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)
解析： (1)由f(x)≤对x∈R恒成立，知2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z).
∵|φ|＜π，∴φ＝或φ＝－.
又∵f()＞f(π)，∴φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin .令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(3)f(x)＝sin (2x＋φ)不一定是奇函数，若f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数，此时φ＝kπ＋(k∈Z).
5．4.3 正切函数的性质与图象
[学习目标] 利用诱导公式推导正切函数的周期性及奇偶性，再利用单位圆作出正切函数y＝tan x，x∈的图象，进而研究其单调性和值域．
知识点 正切函数的图象与性质
[问题导引1] 正切函数y＝tan x的定义域是什么？
提示： {x|x≠＋kπ，k∈Z}．
[问题导引2] 结合正切函数的图象．试推断正切函数的一些性质？
提示： 正切函数是周期函数且是奇函数．在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都单调递增．
函数y＝tan x的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性 对称中心(k∈Z)
(链接教材P212例6)
求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期．
解析： 由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，即函数的定义域为，值域为(－∞，＋∞)，最小正周期为T＝.
1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
2．函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
即时练1.函数y＝tan 的定义域是________．
解析： 函数的解析式即y＝－tan (x－)，
要使函数有意义，则x－≠kπ＋(k∈Z)，
解得x≠kπ＋(k∈Z)，
据此可得函数y＝tan 的定义域是{x∈Rk∈Z}．
答案： {x∈Rk∈Z}
即时练2.若函数f(x)＝2tan (ωx＋)的最小正周期为4π，则ω＝________．
解析： 由正切型函数的周期公式知4π＝，所以ω＝±.
答案： ±
应用1 正切函数的单调性及其应用
(1)求y＝tan 的单调区间．
(2)比较tan π与tan 的大小．
解析： (1)由题意，kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，
即kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
所以2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
故函数的单调递增区间为(k∈Z)，无单调递减区间．
(2)tan π＝tan ＝tan ，
tan ＝－tan π
＝－tan ＝－tan ＝tan ，
因为－＜＜＜，y＝tan x在上单调递增，所以tan ＜tan ，即tan π＞tan .
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用正切函数单调性比较大小关系．
2．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即先把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
即时练3.函数f(x)＝－tan x在[－，]上的值域是( )
A．[－，－1] B．[－，1]
C．[－1，] D．[1，]
B [f(x)＝－tan x在[－，]上是减函数，函数值域为，即[－，1].故选B．]
即时练4.(变条件)本例(1)函数变为y＝tan (－x＋)，求其单调区间．
解析： y＝tan (－x＋)＝－tan (x－)，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan (－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，无单调递增区间．
应用2 正切函数的奇偶性及对称性
(1)函数f(x)＝x·tan x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
(2)(多选)已知函数f(x)＝tan x，则下列结论正确的是( )
A．2π是f(x)的一个周期
B．f ＝f
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点对称
解析： (1)函数的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)tan (－x)＝x tan x＝f(x)，故函数为偶函数．故选B．
(2)f(x)＝tan x的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，所以A选项是正确的；f ＝1，f ＝－1，所以B选项是错误的；f(x)＝tan x的值域为R，所以C选项是正确的；f(x)＝tan x的图象关于点对称，所以D选项是正确的．
答案： (1)B (2)ACD
1．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
2．正切曲线的对称中心为(k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体入手求出具体范围．
即时练5.函数f(x)＝tan 图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
A [由正切曲线的对称中心为(k∈Z)可得f(x)图象的对称中心的横坐标满足x＋＝(k∈Z) x＝－＋(k∈Z)，结合四个选项可知，是f(x)图象的一个对称中心．]
即时练6.已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝________．
解析： 因为f(x)＝tan x＋，tan x≠0，x≠kπ＋，故x≠，关于原点对称，所以f(－x)＝tan (－x)＋＝－tan x－＝－f(x).
所以f(－x)＝－f(x).又因为f(a)＝5，
所以f(－a)＝－5.
答案： －5
1．函数f(x)＝tan ，x∈R的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4
C [f(x)＝tan ，∵ω＝，∴T＝＝2π，则函数f(x)的最小正周期为2π.故选C．]
2．函数y＝tan 的定义域为______________．
解析： 由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
答案：
3．函数y＝tan (2x＋)的单调递增区间是____________．
解析： 令kπ－<2x＋解得－答案： (－，＋)，k∈Z
4．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈[－，]的值域．
解析： ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1].
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4].
课时作业(四十九) 正切函数的性质与图象
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝的定义域为( )
A．[kπ－，kπ＋)(k∈Z)
B．[kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．[kπ－，kπ－)(k∈Z)
D．[kπ－，＋∞)(k∈Z)
B [由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈[kπ－，kπ＋)(k∈Z).]
2．当x∈时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．无法确定
B [函数y＝tan |x|，在x∈上是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B．]
3．若函数f(x)＝tan (ωx－)与函数g(x)＝sin (－2x)的最小正周期相同，则ω＝( )
A．±1 B．1 C．±2 D．2
A [因为函数f(x)＝tan (ωx－)与函数g(x)＝sin 的最小正周期相同，所以＝，所以ω＝±1，故选A．]
4．与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝
C [由正切函数图象知2x＋≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z，故符合题意的只有C选项．]
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．sin 145°B．函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为
C．函数y＝2tan x(≤x＜)的值域是[2，＋∞)
D．y＝tan x在第一、四象限是增函数
AC [A正确，sin 145°＝sin 35°<1，tan 47°>1，故sin 145°B错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为；
C正确，∵≤x＜，
∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2；
D错误，y＝tan x在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上都是增函数，但不能说在第一、四象限是增函数．故选AC．]
6．若函数f(x)＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
解析： 由题意1＜＜2，即＜k＜π.又k∈N，所以k＝2或k＝3.
答案： 2或3
7．比较大小：tan ________tan .
解析： tan ＝tan ，且0＜＜＜，又y＝tan x在上单调递增，所以tan ＜tan ，即tan ＜tan .
答案： <
8．函数y＝tan ，x∈的值域是________．
解析： 由x∈，得＋∈，结合正切函数的性质可得1＜y≤.
答案：
9．比较下列两个正切值的大小：
(1)tan 167°，tan 173°；
(2)tan ，tan .
解析： (1)因为90°＜167°＜173°＜180°，y＝tan x在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°＜tan 173°.
(2)因 为tan ＝tan ，tan ＝tan，且0＜＜＜，y＝tan x在上单调递增，所以tan ＜tan ，即tan ＜tan .
10．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的单调区间、最小正周期．
解析： 函数y＝|tan x|＋tan x＝
所以画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，如图所示：
单调递增区间是，k∈Z，最小正周期是π.
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f()的值是( )
A．0 B．－ C．－1 D．
A [由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan 4x，所以f()＝tan (4×)＝tan π＝0，故选A．]
12．(多选)关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(kπ，kπ＋)(k∈Z)内单调递增
BCD [因为f(x＋)＝|tan (x＋)|＝||≠f(x)，所以A错；f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，B正确；由f(x)＝|tan x|的图象可知，C，D均正确．故选BCD．]
13．已知f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
解析： 因为f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，所以a sin 5＋b tan 5＝6，所以f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1
＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
答案： －5
14．已知函数y＝tan ωx(ω＞0)在上单调递增，则ω的最大值为________．
解析： ∵＜，∴由正切函数的单调性可得≥×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
答案： 2
15．已知x∈，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出f(x)取最大值和最小值时相应的x值．
解析： f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1，因为x∈，所以tan x∈[－，1].所以当tan x＝－1，即x＝－时，f(x)有最小值，f(x)min＝1；当tan x＝1，即x＝时，f(x)有最大值，f(x)max＝5.
16．已知函数f(x)＝3tan .
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f 的大小．
解析： (1)∵f(x)＝3tan ＝－3tan (－)，∴函数的最小正周期T＝4π.由kπ－＜－＜kπ＋.k∈Z，得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝3tan 的单调递增区间为，k∈Z，∴函数f(x)＝3tan (－)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)f(π)＝3tan ＝3tan (－)＝－3tan .
f＝3tan ＝3tan (－)＝－3tan .∵0＜＜＜，∴tan ＜tan ，
∴－3tan ＞－3tan ，即f(π)＞f .第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
知识点 正弦、余弦函数的单调性
[问题导引1] 观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，你能写出函数y＝sin x，x∈[－，π]的单调递增区间和单调递减区间吗？
提示： 单调递增区间是，单调递减是.
[问题导引2] 结合正弦函数的周期性，它还有哪些单调区间？
提示： 在[－，]及的每一个端点上分别加上±2π，±4π，±6π，…，都是它的单调区间．
[问题导引3] 正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
提示： 存在．最大值和最小值分别是1和－1.
正、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单调性 增区间 ，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z
ymin＝－1 x＝－＋2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z
[点拨] 对单调区间的理解
(1)k取Z内的每一个值，都对应着一个增区间及减区间，这些区间是断开的．
(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数．
(3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点．
(链接教材P206例4)
比较下列各组数的大小．
(1)cos ，cos ；(2)sin 110°，sin 150°.
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
即时练1.不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)sin 194°与 cos 160°.
应用1 正、余弦(型)函数的单调性
(链接教材P206例5)
求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos ；
(2)y＝3sin .
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间从而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．
即时练2.函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A．[－，] B．[，]
C．[π，] D．[，2π]
即时练3.下列函数中，在区间(，π)上恒正且是增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
应用2 正、余弦(型)函数的值域(最值)
(链接教材P205例3)
求下列函数的最值，并求取最大值和最小值时x的值．
(1)y＝1－3cos 2x；
(2)y＝－2sin (2x－)，x∈[0，].
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
即时练4.当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin (x＋)有( )
A．最大值1，最小值－1
B．最大值1，最小值－
C．最大值2，最小值－2
D．最大值2，最小值－1
即时练5.求函数y＝cos2x－sinx，x∈[－，]的最值．
1．(多选)已知f(x)＝－sin x，则下列区间是函数的单调递减区间的是( )
A． B．
C． D．
2．函数f(x)＝3－2cos 4x的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．sin ________sin (填“>”或“<”).
4．求函数f(x)＝cos (x－)在区间[0，π]上的单调递减区间．
课时作业(四十八) 正弦、余弦函数的单调性与最值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈[－，π]的值域是( )
A．[1，3] B．[－1，3] C．[－3，1] D．[－1，1]
2．下列区间中使y＝sin x和y＝cos x都是减函数的是( )
A．[－，0] B．[0，]
C．[，π] D．[π，]
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos |x| B．y＝cos |－x|
C．y＝sin (x－) D．y＝－sin
4．下列结论正确的是( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cos 130°>cos 200° D．cos (－40°)5．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递减的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
6．函数y＝3cos (x－)在x＝________时，y取最大值．
7．函数y＝sin (－x)(x∈[0，π])上的单调递增区间为________．
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
＝
9．比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos .
10．求函数y＝－cos 的单调递增区间．
[能力提升]
11．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A． B． C．2π D．4π
12．(多选)对于函数f(x)＝下列说法不正确的是( )
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π13．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝________．
由解得
14．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝sin .
(1)当x∈R时，求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
16．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f()＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)课时作业(四十八) 正弦、余弦函数的单调性与最值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈[－，π]的值域是( )
A．[1，3] B．[－1，3] C．[－3，1] D．[－1，1]
B [因为x∈[－，π]，所以sin x∈[－1，1].
所以－2sin x＋1∈[－1，3].故选B．]
2．下列区间中使y＝sin x和y＝cos x都是减函数的是( )
A．[－，0] B．[0，]
C．[，π] D．[π，]
C [x∈[－，0]时，y＝sin x和y＝cos x都是增函数；x∈[0，]时，y＝sin x是增函数，y＝cos x是减函数；x∈[，π]时，y＝sin x和y＝cos x都是减函数，选C．]
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos |x| B．y＝cos |－x|
C．y＝sin (x－) D．y＝－sin
C [y＝cos |x|在(0，)上是减函数，排除A；
y＝cos |－x|＝cos |x|，排除B；y＝sin (x－)
＝－sin (－x)＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin 在(0，π)上是单调递减的，排除D．]
4．下列结论正确的是( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cos 130°>cos 200° D．cos (－40°)C [由cos 130°＝cos (180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos (180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x∈(0°，90°)时，函数y＝cos x是减函数，所以cos 50°－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.]
5．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递减的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
AB [因为函数y＝sin x在(，π)上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在(，)上是单调递减的，故A正确；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．]
6．函数y＝3cos (x－)在x＝________时，y取最大值．
解析： 当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z).
答案： 4kπ＋(k∈Z)
7．函数y＝sin (－x)(x∈[0，π])上的单调递增区间为________．
解析： y＝－sin (x－)，当x∈[0，π]时，－≤x－≤.当≤x－≤，即≤x≤π时，y＝sin (x－)单调递减，此时该区间是y＝sin (－x)的单调递增区间．
答案： [，π]
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
解析： ∵y＝|sin x|＋sin x
＝
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，
即函数的值域为[0，2].
答案： [0，2]
9．比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos .
解析： (1)∵函数y＝sin x在[，π]上单调递减，且＜＜＜π，∴sin ＞sin .
(2)cos ＝cos (2π－)＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
∵函数y＝cos x在上单调递减，且0＜＜＜，∴cos ＞cos ，即cos ＞cos .
10．求函数y＝－cos 的单调递增区间．
解析： 函数y＝－cos 的单调递增区间即为函数y＝cos 的单调递减区间，
令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为，k∈Z.
[能力提升]
11．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A． B． C．2π D．4π
C [如图，当x∈[a1，b]时，值域为且b－a最大．当x∈[a2，b]时，
值域为，且b－a最小．∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＋＋＝2π.]
12．(多选)对于函数f(x)＝下列说法不正确的是( )
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋πABC [画出函数f(x)的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是[－，1]，当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π13．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝________．
解析： ∵y＝a－b cos x(b＞0)，∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由解得
答案：
14．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
解析： ∵y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∴只有当－π＜a≤0时，满足条件．故a的取值范围是(－π，0].
答案： (－π，0]
15．已知函数f(x)＝sin .
(1)当x∈R时，求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
解析： (1)f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当x∈时，－≤2x－≤，所以当2x－＝－，即x＝－时，函数f(x)取得最小值－，当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.
16．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f()＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)
解析： (1)由f(x)≤对x∈R恒成立，知2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z).
∵|φ|＜π，∴φ＝或φ＝－.
又∵f()＞f(π)，∴φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin .令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(3)f(x)＝sin (2x＋φ)不一定是奇函数，若f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数，此时φ＝kπ＋(k∈Z).课时作业(四十八) 正弦、余弦函数的单调性与最值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈[－，π]的值域是( )
A．[1，3] B．[－1，3] C．[－3，1] D．[－1，1]
2．下列区间中使y＝sin x和y＝cos x都是减函数的是( )
A．[－，0] B．[0，]
C．[，π] D．[π，]
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos |x| B．y＝cos |－x|
C．y＝sin (x－) D．y＝－sin
4．下列结论正确的是( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cos 130°>cos 200° D．cos (－40°)5．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递减的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
6．函数y＝3cos (x－)在x＝________时，y取最大值．
7．函数y＝sin (－x)(x∈[0，π])上的单调递增区间为________．
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
＝
9．比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos .
10．求函数y＝－cos 的单调递增区间．
[能力提升]
11．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A． B． C．2π D．4π
12．(多选)对于函数f(x)＝下列说法不正确的是( )
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π13．若函数y＝a－b cos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，则a＝________．
由解得
14．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝sin .
(1)当x∈R时，求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值及最小值，并指出相应x的值．
16．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤对x∈R恒成立，且f()＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)
