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第五章
三角函数
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
正数
最小正周期
2π
2π
奇
偶
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十七）
谢谢观看！
y
-2T-T
0
不
2π
X
定义域是否
是
关于原点对称
f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)
否
此函数非奇非偶
判断函数的奇偶性5.4.2 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
知识点一 函数的周期性
[问题导引] 对于正弦函数y＝sin x，当x∈[0，2π]时与当x∈[2π，4π]时图象有什么区别？对于余弦函数y＝cos x呢？
提示： 它们形状和大小一样，只是位置不同．
1．周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
[点拨] 对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦、余弦函数的周期性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
(链接教材P201例2)
求下列函数的周期．
(1)f(x)＝cos ；
(2)f(x)＝|sin x|.
解析： (1)法一 定义法
∵f(x)＝cos ＝cos
＝cos ＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)＝cos 的周期T＝π.
法二 公式法
∵y＝cos ，∴ω＝2.又T＝＝＝π.
∴函数f(x)＝cos 的周期T＝π.
(2)法一 定义法
∵f(x)＝|sin x|，∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，∴f(x)的周期为π.
法二 图象法
∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
即时练1.函数f(x)＝sin 的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
D [函数f(x)＝sin 的最小正周期T＝＝4π.]
即时练2.已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是________．
解析： ∵f(x)的周期为1.5，
∴f(10)＝f(6×1.5＋1)＝f(1)＝20.
答案： 20
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
[问题导引] 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．这个事实，可以直观地看出y＝sin x，y＝cos x具有什么性质？
提示： 正弦函数y＝sin x是R上的奇函数，余弦函数y＝cos x是R上的偶函数．
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
奇偶性 奇函数 偶函数
对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0)(k∈Z)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin ；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝x2cos .
解析： (1)f(x)＝sin ＝－cos x，x∈R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－cos
＝－cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin 是偶函数．
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域为R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数．
(3)f(x)＝x2cos ＝－x2sin x，x∈R，因为 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f(x)，所以函数f(x)＝x2cos 为奇函数．
判断函数奇偶性的方法
即时练3.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos －x3·sin x.
(2)f(x)＝＋.
解析： (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
因为f(x)＝cos x－x3·sin x，
所以f(－x)＝cos (－x)－(－x)3·sin (－x)
＝cos x－x3·sin x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)由得cos x＝，此时f(x)＝0，f(x)的定义域为.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
三角函数的奇偶性与周期性的应用
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f 的值．
解析： ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f ＝f ＝f .
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f ＝f ＝sin ＝.∴f ＝.
[一题多变]
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，则f 的值为________．
解析： f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－.
答案： －
2．(变设问)若本例条件不变，则f的值为____________．
解析： f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝.
答案：
1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而解决求值问题．
2．常用推论
(1)若f(x＋T)＝f(x)，则函数周期为T；
(2)若f(x＋T)＝－f(x)，则函数周期为2T；
(3)若f(x＋T)＝，则函数周期为2T；
(4)若f(x＋T)＝－，则函数周期为2T.
即时练4.若f(x)是奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，求f 的值．
解析： 因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x)的最小正周期为2，
所以f ＝f ＝f .
又因为f(x)为奇函数，且x∈(－1，0)时，
f(x)＝2x＋1，
所以f ＝－f
＝－＝0，故f ＝0.
1．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
A [由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．]
2．下列函数中，最小正周期为4π的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos 2x
C [A项，y＝sin x的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cos x的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin 的最小正周期为4π，故C项符合题意；D项，y＝cos 2x的最小正周期为π，故D项不符合题意．故选C．]
3．函数f(x)＝sin ，x∈R的最小正周期为________．
解析： 由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.
答案： 4
4．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，求f(x)的解析式．
解析： 当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin (－x)＝－sin x．
∵f(－x)＝f(x)，∴当x<0时，f(x)＝－sin x.
∴f(x)＝sin |x|.
课时作业(四十七) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝x·cos x( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
A [f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)·cos (－x)＝－x·cos x＝－f(x)，∴f(x)＝x·cos x为奇函数．]
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B． C．π D．
C [∵sin (x＋π)＝－sin x，|sin x|＝|－sin x|，
∴f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为π.故选C．]
3．函数y＝cos (2x＋3π)是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
B [函数y＝cos (2x＋3π)＝cos (2x＋π)＝－cos 2x，则函数是周期为π的偶函数．故选B．]
4．(多选)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin |2x| D．y＝|sin x|
BD [A项，y＝sin ，函数周期为2π，非奇非偶函数，排除；B项，y＝sin ＝－cos 2x，函数周期为π，偶函数，满足；C项，y＝sin |2x|，函数无周期性，偶函数，排除；D项，y＝|sin x|，函数周期为π，偶函数，满足．故选BD．]
5．(多选)已知函数f(x)＝－sin x(x∈R)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)为偶函数
D．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称
BD [函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；函数f(x)＝－sin x满足f(－x)＝－sin (－x)＝sin x＝－(－sin x)＝－f(x).所以f(x)是奇函数，C错误；又因为f＝－sin＝1.故B正确；因为f(2π)＝－sin 2π＝0.故D正确，故选BD．]
6．函数f(x)＝2sin ，x∈R的最小正周期为________．
解析： 由已知得f(x)的最小正周期T＝＝1.
答案： 1
7．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，
则f＝________．
解析： 因为T＝，所以f＝f
＝f＝－f＝－(－1)＝1.
答案： 1
8．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．
解析： 因为f(a)＝a3cos a＋1＝11，所以a3cos a＝10，所以f(－a)＝－a3cos (－a)＋1＝－a3cos a＋1＝－9.
答案： －9
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)f(x)＝＋.
解析： (1)∵x∈R，f(x)＝cos cos (π＋x).
＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x.
∴f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)
＝－sin 2x cos x＝－f(x).
∴函数f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域为R.
∵f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解析： (1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
[能力提升]
11．函数f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，f(x)是___________________
函数(填“奇”或“偶”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．
解析： f(x)＝sin ＝－cos ωx.所以
f(－x)＝－cos (－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，又T＝π，所以＝π，所以ω＝±2.
答案： 偶 ±2
12．函数y＝sin x－2的图象对称中心为________，对称轴方程为________．
解析： 函数y＝sin x－2的图象是由y＝sin x的图象沿y轴向下平移2个单位而得到．因此y＝sin x的图象的对称中心(kπ，0)也向下平移2个单位得到y＝sin x－2的对称中心，即(kπ，－2)(k∈Z).对称轴方程不变仍为x＝kπ＋(k∈Z).
答案： (kπ，2)(k∈Z) x＝kπ＋(k∈Z)
13．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，
且满足f(x)＝
则f ＝________．
解析： f ＝f ＝f ＝sin ＝.
答案：
14．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
解析： f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
答案： ＋1
15．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)
＝－(f(x)≠0).
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
解析： (1)证明：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)
＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期．
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.
16．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
解析： (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x).
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
又当x∈时，x＋π∈，f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又f(x)周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.5.4.2 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
知识点一 函数的周期性
[问题导引] 对于正弦函数y＝sin x，当x∈[0，2π]时与当x∈[2π，4π]时图象有什么区别？对于余弦函数y＝cos x呢？
提示： 它们形状和大小一样，只是位置不同．
1．周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
[点拨] 对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．正弦、余弦函数的周期性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
(链接教材P201例2)
求下列函数的周期．
(1)f(x)＝cos ；
(2)f(x)＝|sin x|.
求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
即时练1.函数f(x)＝sin 的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
即时练2.已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是________．
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
[问题导引] 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．这个事实，可以直观地看出y＝sin x，y＝cos x具有什么性质？
提示： 正弦函数y＝sin x是R上的奇函数，余弦函数y＝cos x是R上的偶函数．
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
奇偶性 奇函数 偶函数
对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0)(k∈Z)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin ；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝x2cos .
解析： (1)f(x)＝sin ＝－
判断函数奇偶性的方法
即时练3.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos －x3·sin x.
(2)f(x)＝＋.
三角函数的奇偶性与周期性的应用
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f 的值．
[一题多变]
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，则f 的值为________．
2．(变设问)若本例条件不变，则f的值为____________．
1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而解决求值问题．
2．常用推论
(1)若f(x＋T)＝f(x)，则函数周期为T；
(2)若f(x＋T)＝－f(x)，则函数周期为2T；
(3)若f(x＋T)＝，则函数周期为2T；
(4)若f(x＋T)＝－，则函数周期为2T.
即时练4.若f(x)是奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，求f 的值．
1．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．下列函数中，最小正周期为4π的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos 2x
3．函数f(x)＝sin ，x∈R的最小正周期为________．
4．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，求f(x)的解析式．
课时作业(四十七) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数f(x)＝x·cos x( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B． C．π D．
3．函数y＝cos (2x＋3π)是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
4．(多选)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin |2x| D．y＝|sin x|
5．(多选)已知函数f(x)＝－sin x(x∈R)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)为偶函数
D．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称
6．函数f(x)＝2sin ，x∈R的最小正周期为________．
7．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，
则f＝________．
8．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)f(x)＝＋.
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
11．函数f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，f(x)是___________________
函数(填“奇”或“偶”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．
12．函数y＝sin x－2的图象对称中心为________，对称轴方程为________．
13．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，
且满足f(x)＝
则f ＝________．
14．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
15．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)
＝－(f(x)≠0).
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
16．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈ 时，f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在 上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．课时作业(四十七) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝x·cos x( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
A [f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)·cos (－x)＝－x·cos x＝－f(x)，∴f(x)＝x·cos x为奇函数．]
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B． C．π D．
C [∵sin (x＋π)＝－sin x，|sin x|＝|－sin x|，
∴f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为π.故选C．]
3．函数y＝cos (2x＋3π)是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
B [函数y＝cos (2x＋3π)＝cos (2x＋π)＝－cos 2x，则函数是周期为π的偶函数．故选B．]
4．(多选)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin |2x| D．y＝|sin x|
BD [A项，y＝sin ，函数周期为2π，非奇非偶函数，排除；B项，y＝sin ＝－cos 2x，函数周期为π，偶函数，满足；C项，y＝sin |2x|，函数无周期性，偶函数，排除；D项，y＝|sin x|，函数周期为π，偶函数，满足．故选BD．]
5．(多选)已知函数f(x)＝－sin x(x∈R)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)为偶函数
D．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称
BD [函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；函数f(x)＝－sin x满足f(－x)＝－sin (－x)＝sin x＝－(－sin x)＝－f(x).所以f(x)是奇函数，C错误；又因为f＝－sin＝1.故B正确；因为f(2π)＝－sin 2π＝0.故D正确，故选BD．]
6．函数f(x)＝2sin ，x∈R的最小正周期为________．
解析： 由已知得f(x)的最小正周期T＝＝1.
答案： 1
7．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，
则f＝________．
解析： 因为T＝，所以f＝f
＝f＝－f＝－(－1)＝1.
答案： 1
8．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．
解析： 因为f(a)＝a3cos a＋1＝11，所以a3cos a＝10，所以f(－a)＝－a3cos (－a)＋1＝－a3cos a＋1＝－9.
答案： －9
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)f(x)＝＋.
解析： (1)∵x∈R，f(x)＝cos cos (π＋x).
＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x.
∴f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)
＝－sin 2x cos x＝－f(x).
∴函数f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域为R.
∵f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解析： (1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
[能力提升]
11．函数f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，f(x)是___________________
函数(填“奇”或“偶”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．
解析： f(x)＝sin ＝－cos ωx.所以
f(－x)＝－cos (－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，又T＝π，所以＝π，所以ω＝±2.
答案： 偶 ±2
12．函数y＝sin x－2的图象对称中心为________，对称轴方程为________．
解析： 函数y＝sin x－2的图象是由y＝sin x的图象沿y轴向下平移2个单位而得到．因此y＝sin x的图象的对称中心(kπ，0)也向下平移2个单位得到y＝sin x－2的对称中心，即(kπ，－2)(k∈Z).对称轴方程不变仍为x＝kπ＋(k∈Z).
答案： (kπ，2)(k∈Z) x＝kπ＋(k∈Z)
13．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，
且满足f(x)＝
则f ＝________．
解析： f ＝f ＝f ＝sin ＝.
答案：
14．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
解析： f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
答案： ＋1
15．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)
＝－(f(x)≠0).
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
解析： (1)证明：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)
＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期．
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.
16．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
解析： (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x).
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
又当x∈时，x＋π∈，f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又f(x)周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.课时作业(四十七) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数f(x)＝x·cos x( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B． C．π D．
3．函数y＝cos (2x＋3π)是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
4．(多选)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin |2x| D．y＝|sin x|
5．(多选)已知函数f(x)＝－sin x(x∈R)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)为偶函数
D．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称
6．函数f(x)＝2sin ，x∈R的最小正周期为________．
7．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，
则f＝________．
8．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)f(x)＝＋.
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
11．函数f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，f(x)是___________________
函数(填“奇”或“偶”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．
12．函数y＝sin x－2的图象对称中心为________，对称轴方程为________．
13．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，
且满足f(x)＝
则f ＝________．
14．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
15．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)
＝－(f(x)≠0).
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
16．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈ 时，f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在 上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
