(共37张PPT)
第五章
三角函数
(0，0)
(π，0)
(2π，0)
(π，－1)
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十六）
谢谢观看！
在「0,2π]内先分别找出确定所求函数图象的
列表
五个关键点；在表中列出相应的五个点的坐标
根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中
描点
猫出相应的点
用平滑的曲线将所猫出的五个关键点连接起
连线
来，便得到所求函数的图象5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[学习目标] 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法.2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.3.会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题．
教材研读 基础落实
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
[问题导引1] 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示： 如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
[问题导引2] 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？
提示：
如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象．
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)
[点拨]
(1)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
(2)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
(链接教材P199例1)
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π].
解析： (1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
即时练1.利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解析： (1)取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
(2)描点连线，如图所示．
正、余弦函数图象的简单应用
求函数y＝的定义域．
解析： 由2sin x－1≥0得sin x≥，
画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为y＝sin x图象与直线y＝的交点及上方部分的集合，即函数定义域为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
[一题多变]
(变条件)本例中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？
解析： 由2cos x－1≥0得cos x≥，
画出y＝cos x的图象和直线y＝.
观察图象可知函数的定义域为
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象．
(2)写出适合不等式且在区间[0，2π]上的解集．
(3)根据公式一写出不等式的解集．
即时练2.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
解析： 在同一平面直角坐标系中作函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－如图所示，由图知两函数图象有2个交点．
答案： 2
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，π，2π B．0，，，π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
B [由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.]
2．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x)
B．f(x)＝sin 与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (－x)
D．f(x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x
D [A项，∵g(x)＝sin (π＋x)＝－sin x，
f(x)＝sin x，所以不正确；
B项，∵f(x)＝sin ＝－cos x，
g(x)＝sin ＝cos x，所以不正确；
C项，∵g(x)＝sin (－x)＝－sin x，f(x)＝sin x，所以不正确．D项正确．]
3．已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题：
(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)|BD|＝________，|AE|＝________．
答案： (1)(－2π，0)
(2)2π
4．在[0，2π]上，求使cos x≤－成立的x的取值集合．
解析： 画出y＝cos x在[0，2π]上的简图，如图所示．
由于cos x＝－时，x＝或x＝.
由图象可知，在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为.
课时作业(四十六) 正弦函数、余弦函数的图象
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．不等式sin x>0，x∈[0，2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．
B [由y＝sin x在[0，2π]的图象可得．]
2．函数y＝－cos x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A． B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1)
B [用五点作图法作出函数y＝－cos x(x＞0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1).]
3．函数y＝sin |x|的图象是( )
B [因为函数y＝sin |x|是偶函数，且x≥0时，sin |x|＝sin x．故选B．]
4．(多选)下列对y＝2cos x的图象描述正确的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝2与直线y＝－2之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
ABD [由y＝2cos x的图象可知A，B，D项正确，y＝2cos x图象的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．故选ABD．]
5．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是________________________________________________________________________．
解析： x依次取0，，π，，2π得五个关键点(0，0)，，(π，2)，，(2π，0).
答案： (0，0)，，(π，2)，，(2π，0)
6．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是________________．
解析： 令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π.又∵x∈[0，2π]，故x＝或π.
答案： ，
7．用五点法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
解析： (1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1).
(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图所示．
[能力提升]
8．(多选)下列命题中，真命题的是( )
A．y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|的图象与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x的图象与y＝cos (－x)的图象相同
BD [对于B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于D，y＝cos (－x)＝cos x，故这两个函数图象相同，作图(图略)可知A、C均是假命题．]
9．在(0，2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．∪
C [在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x，x∈(0，2π)与y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x∈时，sin x＞cos x．故选C．]
10．函数y＝的定义域是____________．
解析： 要使函数有意义，只需2cos x－≥0，即cos x≥.画出余弦函数的部分图象如图，
易得所求定义域为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
11．若函数y＝sin x，x∈的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析： 如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为－＝2π，宽为1的矩形的面积，
∴S＝2π.
答案： 2π
12．作出函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出y的取值范围；
(2)若函数图象与直线y＝在x∈[0，π]上有两个交点，求a的取值范围．
解析： 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2＋sin x 2 3 2 1 2
描点，连线，如图．
(1)由图知，y∈[1，3].
(2)由图知，当2≤＜3时，函数图象与直线y＝在[0，π]上有两个交点，即－5＜a≤－3，故a的取值范围是(－5，－3].5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[学习目标] 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法.2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.3.会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题．
教材研读 基础落实
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
[问题导引1] 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示： 如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
[问题导引2] 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？
提示：
如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象．
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)
[点拨]
(1)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
(2)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
(链接教材P199例1)
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π].
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
即时练1.利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
正、余弦函数图象的简单应用
求函数y＝的定义域．
[一题多变]
(变条件)本例中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？
用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象．
(2)写出适合不等式且在区间[0，2π]上的解集．
(3)根据公式一写出不等式的解集．
即时练2.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，π，2π B．0，，，π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
2．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x)
B．f(x)＝sin 与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (－x)
D．f(x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x
3．已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题：
(1)点A的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)|BD|＝________，|AE|＝________．
4．在[0，2π]上，求使cos x≤－成立的x的取值集合．
课时作业(四十六) 正弦函数、余弦函数的图象
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．不等式sin x>0，x∈[0，2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．
2．函数y＝－cos x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A． B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1)
3．函数y＝sin |x|的图象是( )
4．(多选)下列对y＝2cos x的图象描述正确的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝2与直线y＝－2之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
5．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是________________________________________________________________________．
6．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是________________．
7．用五点法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
[能力提升]
8．(多选)下列命题中，真命题的是( )
A．y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|的图象与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x的图象与y＝cos (－x)的图象相同
9．在(0，2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．∪
10．函数y＝的定义域是____________．
11．若函数y＝sin x，x∈的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
12．作出函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出y的取值范围；
(2)若函数图象与直线y＝在x∈[0，π]上有两个交点，求a的取值范围．课时作业(四十六) 正弦函数、余弦函数的图象
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．不等式sin x>0，x∈[0，2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．
B [由y＝sin x在[0，2π]的图象可得．]
2．函数y＝－cos x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A． B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1)
B [用五点作图法作出函数y＝－cos x(x＞0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1).]
3．函数y＝sin |x|的图象是( )
B [因为函数y＝sin |x|是偶函数，且x≥0时，sin |x|＝sin x．故选B．]
4．(多选)下列对y＝2cos x的图象描述正确的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝2与直线y＝－2之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
ABD [由y＝2cos x的图象可知A，B，D项正确，y＝2cos x图象的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，故C项错误．故选ABD．]
5．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是________________________________________________________________________．
解析： x依次取0，，π，，2π得五个关键点(0，0)，，(π，2)，，(2π，0).
答案： (0，0)，，(π，2)，，(2π，0)
6．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是________________．
解析： 令sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π.又∵x∈[0，2π]，故x＝或π.
答案： ，
7．用五点法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
解析： (1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1).
(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图所示．
[能力提升]
8．(多选)下列命题中，真命题的是( )
A．y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|的图象与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x的图象与y＝cos (－x)的图象相同
BD [对于B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于D，y＝cos (－x)＝cos x，故这两个函数图象相同，作图(图略)可知A、C均是假命题．]
9．在(0，2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．∪
C [在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x，x∈(0，2π)与y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x∈时，sin x＞cos x．故选C．]
10．函数y＝的定义域是____________．
解析： 要使函数有意义，只需2cos x－≥0，即cos x≥.画出余弦函数的部分图象如图，
易得所求定义域为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
11．若函数y＝sin x，x∈的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析： 如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为－＝2π，宽为1的矩形的面积，
∴S＝2π.
答案： 2π
12．作出函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出y的取值范围；
(2)若函数图象与直线y＝在x∈[0，π]上有两个交点，求a的取值范围．
解析： 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2＋sin x 2 3 2 1 2
描点，连线，如图．
(1)由图知，y∈[1，3].
(2)由图知，当2≤＜3时，函数图象与直线y＝在[0，π]上有两个交点，即－5＜a≤－3，故a的取值范围是(－5，－3].课时作业(四十六) 正弦函数、余弦函数的图象
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．不等式sin x>0，x∈[0，2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．
2．函数y＝－cos x(x＞0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A． B．(π，1) C．(0，1) D．(2π，1)
3．函数y＝sin |x|的图象是( )
4．(多选)下列对y＝2cos x的图象描述正确的是( )
A．在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝2与直线y＝－2之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
5．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是________________________________________________________________________．
6．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是________________．
7．用五点法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
[能力提升]
8．(多选)下列命题中，真命题的是( )
A．y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|的图象与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x的图象与y＝cos (－x)的图象相同
9．在(0，2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．∪
10．函数y＝的定义域是____________．
11．若函数y＝sin x，x∈的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
12．作出函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出y的取值范围；
(2)若函数图象与直线y＝在x∈[0，π]上有两个交点，求a的取值范围．
