(共33张PPT)
第五章
三角函数
cos α
sin α
cos α
－sin α
余弦(正弦)
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十五）
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y个
Ps
空
P
Q
A
0
1
X第2课时 诱导公式五、六
知识点 诱导公式五、六
[问题导引] 如图，作P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角－ α与角 α有什么关系？
提示： 它们的终边关于y＝x对称．
1．诱导公式五、六
— 公式五 公式六
终边关系 角－ α与角 α的终边关于直线y＝x对称 角＋ α与角 α的终边垂直
图形
公式 sin ＝cos__α，cos ＝sin__α sin ＝cos__α，cos ＝－sin__α
2.诱导公式五、六用语言概括
(1)函数值：± α的正弦(余弦)值，分别等于 α的余弦(正弦)函数值．
(2)符号：函数值前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号．
[点拨] 公式五、六的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：± α的正弦(余弦)函数值，分别等于 α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号．
(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．
(链接教材P193例4)
化简：.
解析： ∵sin (4π－ α)＝sin (－ α)＝－sin α，
cos ＝cos
＝cos
＝－sin α，
sin ＝sin
＝－sin
＝－cos α.
∴原式＝＝－＝－tan2α.
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少．
(2)函数的种类尽可能的少．
(3)分母不含三角函数的符号．
(4)能求值的一定要求值．
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
即时练1.化简：sin (－ α－5π)cos －sin cos ( α－2π).
解析： 原式＝sin (－ α－π)cos －sin cos [－(2π－ α)]
＝sin [－( α＋π)]cos ＋sin cos (2π－ α)
＝－sin ( α＋π)sin α＋cos αcos α＝sin2α＋cos2α＝1.
应用1 利用诱导公式求值
(链接教材P193例5)
已知cos ＝，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin .
解析： (1)sin ＝sin
＝cos ＝.
(2)sin ＝sin
＝－sin ＝－cos ＝－.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－ α与＋ α，＋ α与－ α，－ α与＋ α等互余，＋ θ与－ θ，＋ θ与－ θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
即时练2.已知sin (π＋ α)＝，则cos 的值为( )
A． B．－
C． D．－
A [由sin (π＋ α)＝得sin α＝－，所以cos ＝cos ＝－sin α＝，故选A．]
即时练3.已知sin ＝，求cos ·sin 的值．
解析： cos ·sin
＝cos ·sin
＝sin ·sin
＝×＝.
应用2 诱导公式的综合应用
已知f( θ)
＝.
(1)化简f( θ)；
(2)若sin θ＝，且 θ∈，求f( θ)的值．
解析： (1)f( θ)
＝
＝
＝＝－cos θ.
(2)由sin θ＝，且 θ∈，
得cos θ＝－
＝－＝－.
所以f(θ)＝－cos θ＝.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
即时练4.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根， α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解析： 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α
＝－＝－.
1．若sin (π－ α)＝－，那么cos (－ α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
A [因为sin (π－ α)＝－，所以sin α＝－.
所以cos (－ α)＝－sin α＝.
故选A．]
2．已知cos (＋φ)＝，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B． C．－ D．
C [由cos (＋φ)＝－sin φ＝，得sin φ＝－.又|φ|＜，∴φ＝－，∴tan φ＝－tan ＝－.故选C．]
3．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析： sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案： 0
4．化简：·sin ( α－π)·cos (2π－ α).
解析： 原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
课时作业(四十五) 诱导公式五、六
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．如果cos (π＋A)＝－，那么sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
B [∵cos (π＋A)＝－cos A＝－，
∴cos A＝，
∴sin ＝cos A＝.]
2．已知sin ＝，则cos 的值为( )
A． B．－ C． D．－
D [cos ＝sin
＝sin ＝－sin ＝－.]
3．已知角θ的终边经过点(3，－4)，则＝( )
A． B．－ C． D．－
C [由三角函数的定义可得tan θ＝－，因此＝
＝－＝.故选C．]
4．已知sin ＝－，则cos ＝( )
A． B．－ C． D．－
A [sin ＝sin ＝
－sin ＝－，所以sin ＝.
故cos ＝cos ＝sin (＋ α)＝.故选A．]
5．已知sin (π＋α)＝－，其中 α是第二象限角，则sin ＝________．
解析： 由sin ＝－，得sin α＝.
又∵ α为第二象限角，∴cos α＝－，
∴sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝－.
答案： －
6．已知cos α＝，则sin ( α－)cos (＋ α)tan (π－ α)＝________．
解析： sin ( α－)cos (＋ α)tan (π－ α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
答案：
7．求证：
＝.
证明： 因为左边＝
＝＝
＝＝，右边＝＝＝，
所以左边＝右边，故原等式成立．
[能力提升]
8．在△ABC中，sin (－A)＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [由sin (－A)＝3sin (π－A)可得cos A＝3sin A，
即cos A－3sin A＝0，
所以tan A＝，
又0
再由cos A＝－cos (π－B)可得cos A＝cos B，
所以cos B＝，
又0所以C＝，
所以△ABC为直角三角形．
故选B．]
9．已知cos (75°＋ α)＝，则sin ( α－15°)＋cos (105°－ α)的值是( )
A． B． C．－ D．－
D [∵cos (75°＋ α)＝，∴sin ( α－15°)＋cos (105°－ α)＝sin [( α＋75°)－90°]＋cos [180°－( α＋75°)]＝－cos (75°＋ α)－cos (75°＋ α)＝－.故选D．]
10．已知sin ( α－3π)＝2cos ( α－4π)，则tan α＝_______________________；
＝________．
解析： ∵sin ( α－3π)＝2cos ( α－4π)，∴－sin (3π－ α)＝2cos (4π－ α)，
∴－sin(π－ α)＝2cos (－ α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0，∴tan α＝－2.
∴原式＝＝＝＝－.
答案： －2 －
11．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________．
解析： 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋＝1＋1＋＝.
答案：
12．已知f(θ)＝
＋.
(1)化简f(θ)；
(2)若sin (3π－ θ)＝，求f(θ)的值．
解析： (1)f( θ)＝
＋
＝＋＝＋＝＝.
(2)因为sin (3π－ θ)＝－，所以sin θ＝－，所以f( θ)＝＝8.第2课时 诱导公式五、六
知识点 诱导公式五、六
[问题导引] 如图，作P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角－ α与角 α有什么关系？
提示： 它们的终边关于y＝x对称．
1．诱导公式五、六
— 公式五 公式六
终边关系 角－ α与角 α的终边关于直线y＝x对称 角＋ α与角 α的终边垂直
图形
公式 sin ＝cos__α，cos ＝sin__α sin ＝cos__α，cos ＝－sin__α
2.诱导公式五、六用语言概括
(1)函数值：± α的正弦(余弦)值，分别等于 α的余弦(正弦)函数值．
(2)符号：函数值前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号．
[点拨] 公式五、六的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：± α的正弦(余弦)函数值，分别等于 α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号．
(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．
(链接教材P193例4)
化简：.
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少．
(2)函数的种类尽可能的少．
(3)分母不含三角函数的符号．
(4)能求值的一定要求值．
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
即时练1.化简：sin (－ α－5π)cos －sin cos ( α－2π).
应用1 利用诱导公式求值
(链接教材P193例5)
已知cos ＝，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin .
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－ α与＋ α，＋ α与－ α，－ α与＋ α等互余，＋ θ与－ θ，＋ θ与－ θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
即时练2.已知sin (π＋ α)＝，则cos 的值为( )
A． B．－
C． D．－
即时练3.已知sin ＝，求cos ·sin 的值．
应用2 诱导公式的综合应用
已知f( θ)
＝.
(1)化简f( θ)；
(2)若sin θ＝，且 θ∈，求f( θ)的值．
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
即时练4.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根， α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
1．若sin (π－ α)＝－，那么cos (－ α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
2．已知cos (＋φ)＝，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．sin 95°＋cos 175°的值为________．
4．化简：·sin ( α－π)·cos (2π－ α).
课时作业(四十五) 诱导公式五、六
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．如果cos (π＋A)＝－，那么sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知sin ＝，则cos 的值为( )
A． B．－ C． D．－
3．已知角θ的终边经过点(3，－4)，则＝( )
A． B．－ C． D．－
4．已知sin ＝－，则cos ＝( )
A． B．－ C． D．－
5．已知sin (π＋α)＝－，其中 α是第二象限角，则sin ＝________．
6．已知cos α＝，则sin ( α－)cos (＋ α)tan (π－ α)＝________．
7．求证：
＝.
8．在△ABC中，sin (－A)＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．已知cos (75°＋ α)＝，则sin ( α－15°)＋cos (105°－ α)的值是( )
A． B． C．－ D．－
＋cos ＝－cos (75°＋ α)－cos (75°＋ α)＝－.故选D．]
10．已知sin ( α－3π)＝2cos ( α－4π)，则tan α＝_______________________；
＝________．
11．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________．
12．已知f(θ)＝
＋.
(1)化简f(θ)；
(2)若sin (3π－ θ)＝，求f(θ)的值．课时作业(四十五) 诱导公式五、六
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．如果cos (π＋A)＝－，那么sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
B [∵cos (π＋A)＝－cos A＝－，
∴cos A＝，
∴sin ＝cos A＝.]
2．已知sin ＝，则cos 的值为( )
A． B．－ C． D．－
D [cos ＝sin
＝sin ＝－sin ＝－.]
3．已知角θ的终边经过点(3，－4)，则＝( )
A． B．－ C． D．－
C [由三角函数的定义可得tan θ＝－，因此＝
＝－＝.故选C．]
4．已知sin ＝－，则cos ＝( )
A． B．－ C． D．－
A [sin ＝sin ＝
－sin ＝－，所以sin ＝.
故cos ＝cos ＝sin (＋ α)＝.故选A．]
5．已知sin (π＋α)＝－，其中 α是第二象限角，则sin ＝________．
解析： 由sin ＝－，得sin α＝.
又∵ α为第二象限角，∴cos α＝－，
∴sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝－.
答案： －
6．已知cos α＝，则sin ( α－)cos (＋ α)tan (π－ α)＝________．
解析： sin ( α－)cos (＋ α)tan (π－ α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
答案：
7．求证：
＝.
证明： 因为左边＝
＝＝
＝＝，右边＝＝＝，
所以左边＝右边，故原等式成立．
[能力提升]
8．在△ABC中，sin (－A)＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [由sin (－A)＝3sin (π－A)可得cos A＝3sin A，
即cos A－3sin A＝0，
所以tan A＝，
又0再由cos A＝－cos (π－B)可得cos A＝cos B，
所以cos B＝，
又0所以C＝，
所以△ABC为直角三角形．
故选B．]
9．已知cos (75°＋ α)＝，则sin ( α－15°)＋cos (105°－ α)的值是( )
A． B． C．－ D．－
D [∵cos (75°＋ α)＝，∴sin ( α－15°)＋cos (105°－ α)＝sin [( α＋75°)－90°]＋cos [180°－( α＋75°)]＝－cos (75°＋ α)－cos (75°＋ α)＝－.故选D．]
10．已知sin ( α－3π)＝2cos ( α－4π)，则tan α＝_______________________；
＝________．
解析： ∵sin ( α－3π)＝2cos ( α－4π)，∴－sin (3π－ α)＝2cos (4π－ α)，
∴－sin(π－ α)＝2cos (－ α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0，∴tan α＝－2.
∴原式＝＝＝＝－.
答案： －2 －
11．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________．
解析： 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋＝1＋1＋＝.
答案：
12．已知f(θ)＝
＋.
(1)化简f(θ)；
(2)若sin (3π－ θ)＝，求f(θ)的值．
解析： (1)f( θ)＝
＋
＝＋＝＋＝＝.
(2)因为sin (3π－ θ)＝－，所以sin θ＝－，所以f( θ)＝＝8.课时作业(四十五) 诱导公式五、六
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．如果cos (π＋A)＝－，那么sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知sin ＝，则cos 的值为( )
A． B．－ C． D．－
3．已知角θ的终边经过点(3，－4)，则＝( )
A． B．－ C． D．－
4．已知sin ＝－，则cos ＝( )
A． B．－ C． D．－
5．已知sin (π＋α)＝－，其中 α是第二象限角，则sin ＝________．
6．已知cos α＝，则sin ( α－)cos (＋ α)tan (π－ α)＝________．
7．求证：
＝.
8．在△ABC中，sin (－A)＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．已知cos (75°＋ α)＝，则sin ( α－15°)＋cos (105°－ α)的值是( )
A． B． C．－ D．－
＋cos ＝－cos (75°＋ α)－cos (75°＋ α)＝－.故选D．]
10．已知sin ( α－3π)＝2cos ( α－4π)，则tan α＝_______________________；
＝________．
11．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________．
12．已知f(θ)＝
＋.
(1)化简f(θ)；
(2)若sin (3π－ θ)＝，求f(θ)的值．