(共35张PPT)
第五章
三角函数
－sin α
－cos α
tan α
原点
x轴
－sin α
cos α
－tan α
y轴
sin α
－cos α
－tan α
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十四）
谢谢观看！
“负化正”
用公式一或三来转化
“大化小”
用公式一将角化为0°到360°间的角
“小化锐”
用公式二或四将大于90°的角转化为锐角
“锐求值”
得到锐角的三角函数后求值5．3 诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四
知识点 诱导公式二、三、四
[问题导引] 如图，设角α，π＋ α，－ α，π－ α的终边与单位圆O的交点分别为P，P1，P2，P3，则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？
提示： P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数，P与P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，P与P3的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
诱导公式二、三、四
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋ α与角 α的终边关于原点对称 sin (π＋ α)＝－sin_α，cos (π＋ α)＝－cos_α，tan (π＋ α)＝tan_α
公式三 角－ α与角 α的终边关于x轴对称 sin (－ α)＝－sin_α，cos (－ α)＝cos_α，tan (－ α)＝－tan_α
公式四 角π－ α与角 α的终边关于y轴对称 sin (π－ α)＝sin_α，cos (π－ α)＝－cos_α，tan (π－ α)＝－tan_α
(链接教材P189例1)
求下列各三角函数值：
(1)cos ；(2)tan (－855°)；(3)tan ＋sin .
解析： (1)cos ＝cos ＝cos
＝cos ＝－cos ＝－.
(2)tan (－855°)＝－tan 855°
＝－tan (2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan (180°－45°)
＝tan 45°＝1.
(3)原式＝tan ＋sin
＝－tan －sin
＝－1－＝－.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
即时练1.计算：
(1)sin (－)；
(2)sin (－60°)＋cos 225°＋tan 135°；
(3)sin ·cos ·tan .
解析： (1)原式＝－sin ＝－sin (2π＋)
＝－sin ＝－.
(2)原式＝－sin 60°＋cos (180°＋45°)＋tan (180°－45°)
＝－－cos 45°－tan 45°＝－－－1
＝－.
(3)原式＝sin (π＋)cos (4π＋)tan (π＋)
＝－sin cos tan
＝－××1＝－.
应用1 化简求值问题
(链接教材P190例2)
化简：
(1)；
(2).
解析： (1)原式＝
＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
三角函数式化简常用的方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ± α，π±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角 α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
即时练2.化简下列各式：
(1)；
(2).
解析： (1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝－＝.
应用2 给值(式)求值问题
已知cos ＝，求
(1)cos 的值；
(2)sin2的值．
解析： (1)因为cos ＝cos [π－]＝－cos ＝－.
所以cos ＝－.
(2)sin2＝sin2
＝sin2
＝1－cos2
＝1－＝.
解决条件求值问题的技巧
即时练3.已知sin (π＋ α)＝，且 α是第四象限角，则cos ( α－2π)的值是( )
A．－ B． C．－ D．
B [∵sin (π＋ α)＝，且sin (π＋ α)＝－sin α，
∴sin α＝－，又 α是第四象限角，
∴cos ( α－2π)＝cos α＝
＝＝.]
即时练4.已知tan ＝，则tan 的值为________．
解析： tan ＝－tan
＝－tan ＝－.
答案： －
1．cos 150°等于( )
A． B． C．－ D．－
D [由诱导公式可得cos 150°＝cos (180°－30°)＝－cos 30°＝－.故选D．]
2．已知角 α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin ( α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β D．cos (2π－ α)＝－cos β
C [由角 α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－ α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.]
3．化简：sin (－ α)cos (π＋ α)tan (2π＋ α)＝________．
解析： 原式＝(－sin α)(－cos α)tan α
＝sin αcos α＝sin2α.
答案： sin2α
4．求下列各三角函数式的值．
(1)tan ；
(2)sin 555°＋cos (－435°).
解析： (1)tan ＝tan (2π＋)
＝tan ＝tan (π－)
＝－tan ＝－.
(2)因为sin 555°＝sin (360°＋180°＋15°)
＝sin (180°＋15°)＝－sin 15°，
cos (－435°)＝cos 435°
＝cos (360°＋75°)＝cos 75°
＝cos (90°－15°)
＝sin 15°，所以原式＝－sin 15°＋sin 15°＝0.
课时作业(四十四) 诱导公式二、三、四
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．sin 的值是( )
A． B．－ C． D．－
D [由题意可得sin ＝－sin ＝－.故选D．]
2．sin 315°＋sin (－480°)＋cos (－330°)的值为( )
A． B．－ C．－ D．
C [原式＝sin (360°－45°)＋sin (－360°－120°)＋cos (－360°＋30°)
＝sin (－45°)＋sin (－120°)＋cos 30°
＝－sin 45°＋sin (－180°＋60°)＋cos 30°
＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°
＝－－＋
＝－.
故选C．]
3．已知sin (＋ α)＝，则sin (－ α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
C [由－ α＝π－知sin ＝sin [π－(＋ α)]＝sin (＋ α)＝.故选C．]
4．已知 α为锐角，且2tan (π－ α)－3sin (－β)＋5＝0，tan (π＋ α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． B． C． D．
C [由 α为锐角，且2tan (π－ α)－3sin (－β)＋5＝0，可得2tan α－3sin β－5＝0 ①.由tan (π＋ α)＋6sin (π＋β)－1＝0，可得tan α－6sin β－1＝0②.①×2－②得3tan α－9＝0，∴tan α＝3，即＝3.
∵sin2α＋cos2α＝1.∴sin2α＝.又α为锐角，
∴sin α＞0，∴sin α＝.故选C．]
5．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
AB [A正确；B正确，＝＝cos α；
C错，＝＝－tan α；
D错，
＝＝－1.]
6．tan 690°＝________．
解析： tan 690°＝tan (2×360°－30°)
＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
答案： －
7．如图所示，角 θ的终边与单位圆交于点P(－，)，则cos (π－ θ)的值为________．
解析： 由三角函数定义知，cos θ＝－，所以cos (π－ θ)＝－cos θ＝.
答案：
8．化简：·tan (2π－ α)＝________．
解析： 原式＝·tan (－ α)＝·(－tan α)＝－·tan α＝－1.
答案： －1
9．化简下列各式：
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
解析： (1)sin cos π
＝－sin cos
＝sin cos ＝.
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°)
＝－sin (180°＋60°＋2×360°)cos (30°＋4×360°)＋cos (180°＋60°)sin (180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
10．已知＝2，求的值．
解析： ∵＝2，
∴tan (3π－ α)＝2，∴tan α＝－2.
又
＝＝＝，
把tan α＝－2代入，得原式＝.
[能力提升]
11．下列三角函数式：
①sin ；②cos ；
③sin ；④cos ；
⑤sin .其中n∈Z，则函数值与sin 的值相同的是( )
A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤
C [①中，sin ＝sin ≠sin ；
②中，cos ＝cos ＝sin ；
③中，sin ＝sin ；
④中，cos ＝cos ＝－cos ≠sin ；
⑤中，sin ＝sin ＝－sin (π＋)＝sin .]
12．(多选)定义：角 θ与φ都是任意角，若满足 θ＋φ＝π，则 θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋ α)＝－，下列角β中，可能与角 α“广义互补”的是( )
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．cos (2π－β)＝－
ABD [∵sin (π＋ α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若 α＋β＝π，则β＝π－ α.
A中，sin β＝sin (π－ α)＝sin α＝.故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝cos (2π－ α)＝cos α＝±，故B符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，即C不符合条件；
D中，cos (2π－β)＝cos [2π－(π－ α)]＝cos (π＋ α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选ABD．]
13．cos ＋cos ＋cos ＋cos 的值为________．
解析： 原式＝cos ＋cos ＋cos (π－)＋cos (π－)＝cos ＋cos ＋(－cos )＋(－cos )＝0.
答案： 0
14．已知f(x)＝则f＝________，f＋f＝________．
解析： ∵f＝sin ＝sin ＝，
f＝f－1＝f－2
＝sin －2＝－，∴f＋f＝－＝－2.
答案： －2
15．已知sin (α＋β)＝1，试求tan (2α＋β)＋tan β的值．
解析： 因为sin (α＋β)＝1，所以 α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，所以 α＝2kπ＋－β(k∈Z).
故tan (2α＋β)＋tan β＝tan ＋tan β
＝tan (4kπ＋π－2β＋β)＋tan β＝tan (4kπ＋π－β)＋tan β＝tan (π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.
16．化简下面各式．
(1)(k∈Z)；
(2).
解析： (1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式
＝
＝＝＝－1.
综上所述，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝－1.5．3 诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四
知识点 诱导公式二、三、四
[问题导引] 如图，设角α，π＋ α，－ α，π－ α的终边与单位圆O的交点分别为P，P1，P2，P3，则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？
提示： P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数，P与P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，P与P3的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
诱导公式二、三、四
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋ α与角 α的终边关于原点对称 sin (π＋ α)＝－sin_α，cos (π＋ α)＝－cos_α，tan (π＋ α)＝tan_α
公式三 角－ α与角 α的终边关于x轴对称 sin (－ α)＝－sin_α，cos (－ α)＝cos_α，tan (－ α)＝－tan_α
公式四 角π－ α与角 α的终边关于y轴对称 sin (π－ α)＝sin_α，cos (π－ α)＝－cos_α，tan (π－ α)＝－tan_α
(链接教材P189例1)
求下列各三角函数值：
(1)cos ；(2)tan (－855°)；(3)tan ＋sin .
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
即时练1.计算：
(1)sin (－)；
(2)sin (－60°)＋cos 225°＋tan 135°；
(3)sin ·cos ·tan .
应用1 化简求值问题
(链接教材P190例2)
化简：
(1)；
(2).
三角函数式化简常用的方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ± α，π±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角 α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
即时练2.化简下列各式：
(1)；
(2).
应用2 给值(式)求值问题
已知cos ＝，求
(1)cos 的值；
(2)sin2的值．
解决条件求值问题的技巧
即时练3.已知sin (π＋ α)＝，且 α是第四象限角，则cos ( α－2π)的值是( )
A．－ B． C．－ D．
即时练4.已知tan ＝，则tan 的值为________．
1．cos 150°等于( )
A． B． C．－ D．－
2．已知角 α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin ( α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β D．cos (2π－ α)＝－cos β
3．化简：sin (－ α)cos (π＋ α)tan (2π＋ α)＝________．
4．求下列各三角函数式的值．
(1)tan ；
(2)sin 555°＋cos (－435°).
课时作业(四十四) 诱导公式二、三、四
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．sin 的值是( )
A． B．－ C． D．－
2．sin 315°＋sin (－480°)＋cos (－330°)的值为( )
A． B．－ C．－ D．
3．已知sin (＋ α)＝，则sin (－ α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．已知 α为锐角，且2tan (π－ α)－3sin (－β)＋5＝0，tan (π＋ α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． B． C． D．
5．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
6．tan 690°＝________．
7．如图所示，角 θ的终边与单位圆交于点P(－，)，则cos (π－ θ)的值为________．
8．化简：·tan (2π－ α)＝________．
9．化简下列各式：
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
10．已知＝2，求的值．
11．下列三角函数式：
①sin ；②cos ；
③sin ；④cos ；
⑤sin .其中n∈Z，则函数值与sin 的值相同的是( )
A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤
12．(多选)定义：角 θ与φ都是任意角，若满足 θ＋φ＝π，则 θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋ α)＝－，下列角β中，可能与角 α“广义互补”的是( )
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．cos (2π－β)＝－
13．cos ＋cos ＋cos ＋cos 的值为________．
14．已知f(x)＝则f＝________，f＋f＝________．
15．已知sin (α＋β)＝1，试求tan (2α＋β)＋tan β的值．
16．化简下面各式．
(1)(k∈Z)；
(2).课时作业(四十四) 诱导公式二、三、四
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．sin 的值是( )
A． B．－ C． D．－
D [由题意可得sin ＝－sin ＝－.故选D．]
2．sin 315°＋sin (－480°)＋cos (－330°)的值为( )
A． B．－ C．－ D．
C [原式＝sin (360°－45°)＋sin (－360°－120°)＋cos (－360°＋30°)
＝sin (－45°)＋sin (－120°)＋cos 30°
＝－sin 45°＋sin (－180°＋60°)＋cos 30°
＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°
＝－－＋
＝－.
故选C．]
3．已知sin (＋ α)＝，则sin (－ α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
C [由－ α＝π－知sin ＝sin [π－(＋ α)]＝sin (＋ α)＝.故选C．]
4．已知 α为锐角，且2tan (π－ α)－3sin (－β)＋5＝0，tan (π＋ α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． B． C． D．
C [由 α为锐角，且2tan (π－ α)－3sin (－β)＋5＝0，可得2tan α－3sin β－5＝0 ①.由tan (π＋ α)＋6sin (π＋β)－1＝0，可得tan α－6sin β－1＝0②.①×2－②得3tan α－9＝0，∴tan α＝3，即＝3.
∵sin2α＋cos2α＝1.∴sin2α＝.又α为锐角，
∴sin α＞0，∴sin α＝.故选C．]
5．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
AB [A正确；B正确，＝＝cos α；
C错，＝＝－tan α；
D错，
＝＝－1.]
6．tan 690°＝________．
解析： tan 690°＝tan (2×360°－30°)
＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
答案： －
7．如图所示，角 θ的终边与单位圆交于点P(－，)，则cos (π－ θ)的值为________．
解析： 由三角函数定义知，cos θ＝－，所以cos (π－ θ)＝－cos θ＝.
答案：
8．化简：·tan (2π－ α)＝________．
解析： 原式＝·tan (－ α)＝·(－tan α)＝－·tan α＝－1.
答案： －1
9．化简下列各式：
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
解析： (1)sin cos π
＝－sin cos
＝sin cos ＝.
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°)
＝－sin (180°＋60°＋2×360°)cos (30°＋4×360°)＋cos (180°＋60°)sin (180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
10．已知＝2，求的值．
解析： ∵＝2，
∴tan (3π－ α)＝2，∴tan α＝－2.
又
＝＝＝，
把tan α＝－2代入，得原式＝.
[能力提升]
11．下列三角函数式：
①sin ；②cos ；
③sin ；④cos ；
⑤sin .其中n∈Z，则函数值与sin 的值相同的是( )
A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤
C [①中，sin ＝sin ≠sin ；
②中，cos ＝cos ＝sin ；
③中，sin ＝sin ；
④中，cos ＝cos ＝－cos ≠sin ；
⑤中，sin ＝sin ＝－sin (π＋)＝sin .]
12．(多选)定义：角 θ与φ都是任意角，若满足 θ＋φ＝π，则 θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋ α)＝－，下列角β中，可能与角 α“广义互补”的是( )
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．cos (2π－β)＝－
ABD [∵sin (π＋ α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若 α＋β＝π，则β＝π－ α.
A中，sin β＝sin (π－ α)＝sin α＝.故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝cos (2π－ α)＝cos α＝±，故B符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，即C不符合条件；
D中，cos (2π－β)＝cos [2π－(π－ α)]＝cos (π＋ α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选ABD．]
13．cos ＋cos ＋cos ＋cos 的值为________．
解析： 原式＝cos ＋cos ＋cos (π－)＋cos (π－)＝cos ＋cos ＋(－cos )＋(－cos )＝0.
答案： 0
14．已知f(x)＝则f＝________，f＋f＝________．
解析： ∵f＝sin ＝sin ＝，
f＝f－1＝f－2
＝sin －2＝－，∴f＋f＝－＝－2.
答案： －2
15．已知sin (α＋β)＝1，试求tan (2α＋β)＋tan β的值．
解析： 因为sin (α＋β)＝1，所以 α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，所以 α＝2kπ＋－β(k∈Z).
故tan (2α＋β)＋tan β＝tan ＋tan β
＝tan (4kπ＋π－2β＋β)＋tan β＝tan (4kπ＋π－β)＋tan β＝tan (π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.
16．化简下面各式．
(1)(k∈Z)；
(2).
解析： (1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式
＝
＝＝＝－1.
综上所述，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝－1.课时作业(四十四) 诱导公式二、三、四
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．sin 的值是( )
A． B．－ C． D．－
2．sin 315°＋sin (－480°)＋cos (－330°)的值为( )
A． B．－ C．－ D．
3．已知sin (＋ α)＝，则sin (－ α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．已知 α为锐角，且2tan (π－ α)－3sin (－β)＋5＝0，tan (π＋ α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． B． C． D．
5．(多选)下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
6．tan 690°＝________．
7．如图所示，角 θ的终边与单位圆交于点P(－，)，则cos (π－ θ)的值为________．
8．化简：·tan (2π－ α)＝________．
9．化简下列各式：
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
10．已知＝2，求的值．
11．下列三角函数式：
①sin ；②cos ；
③sin ；④cos ；
⑤sin .其中n∈Z，则函数值与sin 的值相同的是( )
A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤
12．(多选)定义：角 θ与φ都是任意角，若满足 θ＋φ＝π，则 θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋ α)＝－，下列角β中，可能与角 α“广义互补”的是( )
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．cos (2π－β)＝－
13．cos ＋cos ＋cos ＋cos 的值为________．
14．已知f(x)＝则f＝________，f＋f＝________．
15．已知sin (α＋β)＝1，试求tan (2α＋β)＋tan β的值．
16．化简下面各式．
(1)(k∈Z)；
(2).
