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第五章
三角函数
半径长
αR
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十一）
谢谢观看！
正角的弧度数是一个
弧度数
负角的弧度数是一个
零角的弧度数是
弧度数
的计算
a=
角度化弧度
弧度化角度
360°=2πrad
2Trad=360°
180°=πrad
πrad=180°
T
1=
rad≈0.01745rad
1rad=(180)°≈57.30°
180
=57°18
7
度数×
=弧度数
弧度数×(10)°=度数
元
(1)原则：牢记180°=πrad,充分利用1°=
180
ad和1ai-()远行换食.
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n,则
rad.
[提醒](1)用“弧度”为单位度量角时，“孤度”
二字或“rad”可以省略不写.
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写
成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写
成小数.5．1.2 弧度制
[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.理解弧度制下弧长与面积公式．
知识点一 度量角的两种单位制
[问题导引1] 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
提示： 周角的等于1度．
[问题导引2] 角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？
提示： 有不同的单位制，即弧度制．
1．度量角的两种单位制
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
[点拨] (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
2．弧度数的计算
下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
A [对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．]
即时练1.若三角形三内角之比为3∶4∶5，则三内角的弧度数分别是________．
解析： 设三角形三内角的弧度数分别为3k，4k，5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
答案： ，，
知识点二 弧度与角度的互化
(链接教材P173例4、P174例5)
将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
解析： (1)20°＝20× rad＝ raD．
(2)－15°＝－15× rad＝－ raD．
(3)π rad＝×180°＝105°.
(4)－π rad＝－×180°＝－396°.
即时练2.将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；
(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)π＝×180°＝15 330°.
(2)－＝－×180°＝－75°.
(3)10°＝10×＝.
(4)－855°＝－855×＝－.
知识点三 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l, α(0< α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝_αR．
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2．
(链接教材P174例6)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解析： 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0< θ<2π)，
弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，
解之得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，
此时， θ＝8 rad>2π rad舍去．
当R＝4时，l＝2，
此时， θ＝＝(rad).
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad．
关于弧度制下扇形问题的解决方法
(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值．
(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．
即时练3.弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析： 因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.
答案： 4 6π
即时练4.已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为________．
解析： 因为120°＝，扇形AOB的面积为，所以＝αr2＝×r2，解得r＝2.
答案： 2
用弧度制表示角
已知角α＝2 010°.
(1)将 α改写成 θ＋2kπ(k∈Z，0≤ θ<2π)的形式，并指出 α是第几象限角；
(2)在区间[0，5π)上找出与 α终边相同的角．
解析： (1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.又π<<，
角 α与角的终边相同，
故 α是第三象限角．
(2)与 α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z).
又0≤γ<5π，所以k＝0，1.
当k＝0时，γ＝；
当k＝1时，γ＝.
1．弧度制下与角 α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角 α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}，即与角 α终边相同的角可以表示成 α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
即时练5.若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
D [∵＝2kπ＋(k∈Z).∴ α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z).当k为奇数时，的终边在
y轴的非正半轴上； 当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D．]
即时练6.若角 α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角 α的取值范围是( )
A． B．
C． D．(k∈Z)
D [阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以 α的取值范围是(k∈Z).]
1．将弧度化成角度为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [∵π rad＝180°，即1 rad＝°，∴ rad＝×°＝120°.故选C．]
2．下列各对角中，终边相同的是( )
A．， B．－，
C．，－ D．－，－
D [A错误，＝6π＋，＝10π－，终边不相同；
B错误，＝6π＋，其终边与－的终边不相同；C错误，的终边在y轴的非正半轴上，而－的终边在y轴的非负半轴上，所以终边不相同；D正确 ，
因为－＝－2π－，所以－和－的终边相同，故选D．]
3．在直径为20 cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为____________cm，面积为____________cm2.
解析： 因为150°＝150×＝，r＝10(cm)，
所以l＝×10＝(cm).
S＝lr＝×π×10＝π(cm2).
答案： π
4．把下列角化为2kπ＋ α(0≤ α<2π，k∈Z)的形式：
(1)；(2)－315°.
解析： (1)因为0≤<2π，所以＝4π＋.
(2)因为－315°＝－315×＝－＝－2π＋，0≤<2π，所以－315°＝－2π＋.
课时作业(四十一) 弧度制
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知扇形的面积为，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A． B． C． D．
C [设扇形的圆心角是 α，则＝ α×12，解得 α＝，故选C．]
2．下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是 rad
B． rad化成角度是30°
C．1°化成弧度是 rad
D．1 rad化成角度是°
D [对于A选项，60°化成弧度是 rad，故A不正确；
对于B选项， rad化成角度是15°，故B不正确；
对于C选项，1°化成弧度是 rad，故C不正确；
对于D选项，1 rad化成角度是°，故D正确．故选D．]
3．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π C．π D．－π
B [显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度数为×2π＝－π.]
4．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
ABC [根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D中应为“长度等于半径长的圆弧，而不是弦”．故D错误，选ABC．]
5．(多选)下列结论正确的为( )
A．若 α，β的终边相同，则 α－β的终边在x轴的非负半轴上
B．已知集合M＝，P＝{x|x＝k·45°＋45°，k∈Z}，则M?P
C．若 α＝－2 rad，则 α的终边在第二象限
D．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为
AB [∵ α，β终边相同，∴ α＝k·360°＋β(k∈Z)，
∴ α－β＝k·360°(k∈Z)，
∴ α－β的终边在x轴的非负半轴上，A正确．
∵M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，
P＝{x|x＝(k＋1)45°，k∈Z}，
∴M?P，B正确；
∵－π<－2<－，∴－2 rad角的终边在第三象限，C不正确；
设圆的半径为r，则圆的内接正三角形的边长为r，| α|＝＝，D不正确．]
6．－105°化为弧度为________，化为角度为________．
解析： －105°＝－105×＝－π，
π＝π×°＝660°.
答案： －π 660°
7．弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为________．
解析： 设扇形的圆心角为 α，半径为R，则扇形的弧长为 αR＝π，①
扇形的面积为 αR2＝3π，②
由①②解得R＝6, α＝，
所以这个扇形的圆心角为.
答案：
8．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角 θ的集合为_______．
解析： 终边落在射线OA上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即 θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即 θ＝－＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分内(包括边界)的角 θ的集合为{ θ|－＋2kπ≤ θ≤＋2kπ，k∈Z}．
答案： { θ|－＋2kπ≤ θ≤＋2kπ，k∈Z}
9．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解析： 已知扇形的圆心角 α＝60°＝，半径r＝10 cm，则弧长l＝ α·r＝×10＝(cm)，
面积S＝lr＝××10＝(cm2).
10．(1)将－1 120°写成2kπ＋ α(k∈Z)的形式，其中0≤ α＜2π；
(2)写出与(1)中角 α终边相同的角β的集合，并写出在[－4π，0]中的角β.
解析： (1)－1 120°＝－4×360°＋320°＝－8π＋π.
(2)与(1)中角 α终边相同的角β的集合为.
∵β∈[－4π，0]，
∴当k＝－1时，β＝－2π＋＝－，
当k＝－2时，β＝－4π＋＝－.
[能力提升]
11．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
B [设原扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为 α，则由扇形的面积公式，可知扇形的面积变为原来的4倍．由 α＝＝，可知扇形的圆心角不变．故选B．]
12．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A． B． C． D．π
B [设从动轮N逆时针旋转 θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝× θ，解得 θ＝，故选B．]
13．若角 α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么 α与β间的关系为( )
A． α＋β＝0 B． α－β＝0
C． α＋β＝2kπ(k∈Z) D． α－β＝＋2kπ(k∈Z)
D [∵ α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴ α－β＝＋2(k1－k2)π.
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴ α－β＝＋2kπ(k∈Z).]
14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图，是一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A．704 cm2 B．352 cm2 C．1 408 cm2 D．320 cm2
A [如图，设∠AOB＝ θ，OA＝OB＝r cm，
由弧长公式可得，解得r＝，所以S扇面＝S扇形O CD－S扇形OAB＝×64×(＋16)－×24×＝704(cm2).故选A．]
15．已知一扇形的中心角为 α，所在圆的半径为R.
(1)若 α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为12 cm，问当 α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
解析： (1)l＝ αR＝×6＝2π(cm)，
即扇形的弧长为2π cm.
(2)依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R，
扇形的面积S＝lR＝(12－2R)R＝－R2＋6R，
所以当R＝3 cm时，S有最大值，
此时弧长l＝6 cm，得 α＝＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
16．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中扇形面积的大小．
解析： (1)∵△OAB是顶角为、腰长为2的等腰三角形，∴A＝B＝，OM＝ON＝1.
方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋，
方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋，
∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋)－(2＋)|＝2－.
(2)方案一中扇形的面积S1＝××22＝，
方案二中扇形的面积S2＝××12＝，
∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等．5．1.2 弧度制
[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.理解弧度制下弧长与面积公式．
知识点一 度量角的两种单位制
[问题导引1] 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
提示： 周角的等于1度．
[问题导引2] 角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？
提示： 有不同的单位制，即弧度制．
1．度量角的两种单位制
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
[点拨] (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
2．弧度数的计算
下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
即时练1.若三角形三内角之比为3∶4∶5，则三内角的弧度数分别是________．
知识点二 弧度与角度的互化
(链接教材P173例4、P174例5)
将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
即时练2.将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；
(3)10°；(4)－855°.
知识点三 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l, α(0< α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝_αR．
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2．
(链接教材P174例6)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
关于弧度制下扇形问题的解决方法
(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值．
(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．
即时练3.弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
即时练4.已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为________．
用弧度制表示角
已知角α＝2 010°.
(1)将 α改写成 θ＋2kπ(k∈Z，0≤ θ<2π)的形式，并指出 α是第几象限角；
(2)在区间[0，5π)上找出与 α终边相同的角．
1．弧度制下与角 α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角 α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}，即与角 α终边相同的角可以表示成 α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
即时练5.若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
即时练6.若角 α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角 α的取值范围是( )
A． B．
C． D．(k∈Z)
1．将弧度化成角度为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．下列各对角中，终边相同的是( )
A．， B．－，
C．，－ D．－，－
3．在直径为20 cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为____________cm，面积为____________cm2.
4．把下列角化为2kπ＋ α(0≤ α<2π，k∈Z)的形式：
(1)；(2)－315°.
课时作业(四十一) 弧度制
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知扇形的面积为，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A． B． C． D．
2．下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是 rad
B． rad化成角度是30°
C．1°化成弧度是 rad
D．1 rad化成角度是°
3．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π C．π D．－π
4．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
5．(多选)下列结论正确的为( )
A．若 α，β的终边相同，则 α－β的终边在x轴的非负半轴上
B．已知集合M＝，P＝{x|x＝k·45°＋45°，k∈Z}，则M?P
C．若 α＝－2 rad，则 α的终边在第二象限
D．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为
6．－105°化为弧度为________，化为角度为________．
7．弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为________．
8．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角 θ的集合为_______．
9．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
10．(1)将－1 120°写成2kπ＋ α(k∈Z)的形式，其中0≤ α＜2π；
(2)写出与(1)中角 α终边相同的角β的集合，并写出在[－4π，0]中的角β.
[能力提升]
11．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
12．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A． B． C． D．π
13．若角 α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么 α与β间的关系为( )
A． α＋β＝0 B． α－β＝0
C． α＋β＝2kπ(k∈Z) D． α－β＝＋2kπ(k∈Z)
14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图，是一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A．704 cm2 B．352 cm2 C．1 408 cm2 D．320 cm2
15．已知一扇形的中心角为 α，所在圆的半径为R.
(1)若 α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为12 cm，问当 α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
16．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中扇形面积的大小．课时作业(四十一) 弧度制
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知扇形的面积为，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A． B． C． D．
C [设扇形的圆心角是 α，则＝ α×12，解得 α＝，故选C．]
2．下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是 rad
B． rad化成角度是30°
C．1°化成弧度是 rad
D．1 rad化成角度是°
D [对于A选项，60°化成弧度是 rad，故A不正确；
对于B选项， rad化成角度是15°，故B不正确；
对于C选项，1°化成弧度是 rad，故C不正确；
对于D选项，1 rad化成角度是°，故D正确．故选D．]
3．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π C．π D．－π
B [显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度数为×2π＝－π.]
4．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
ABC [根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D中应为“长度等于半径长的圆弧，而不是弦”．故D错误，选ABC．]
5．(多选)下列结论正确的为( )
A．若 α，β的终边相同，则 α－β的终边在x轴的非负半轴上
B．已知集合M＝，P＝{x|x＝k·45°＋45°，k∈Z}，则M?P
C．若 α＝－2 rad，则 α的终边在第二象限
D．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为
AB [∵ α，β终边相同，∴ α＝k·360°＋β(k∈Z)，
∴ α－β＝k·360°(k∈Z)，
∴ α－β的终边在x轴的非负半轴上，A正确．
∵M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，
P＝{x|x＝(k＋1)45°，k∈Z}，
∴M?P，B正确；
∵－π<－2<－，∴－2 rad角的终边在第三象限，C不正确；
设圆的半径为r，则圆的内接正三角形的边长为r，| α|＝＝，D不正确．]
6．－105°化为弧度为________，化为角度为________．
解析： －105°＝－105×＝－π，
π＝π×°＝660°.
答案： －π 660°
7．弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为________．
解析： 设扇形的圆心角为 α，半径为R，则扇形的弧长为 αR＝π，①
扇形的面积为 αR2＝3π，②
由①②解得R＝6, α＝，
所以这个扇形的圆心角为.
答案：
8．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角 θ的集合为_______．
解析： 终边落在射线OA上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即 θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即 θ＝－＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分内(包括边界)的角 θ的集合为{ θ|－＋2kπ≤ θ≤＋2kπ，k∈Z}．
答案： { θ|－＋2kπ≤ θ≤＋2kπ，k∈Z}
9．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解析： 已知扇形的圆心角 α＝60°＝，半径r＝10 cm，则弧长l＝ α·r＝×10＝(cm)，
面积S＝lr＝××10＝(cm2).
10．(1)将－1 120°写成2kπ＋ α(k∈Z)的形式，其中0≤ α＜2π；
(2)写出与(1)中角 α终边相同的角β的集合，并写出在[－4π，0]中的角β.
解析： (1)－1 120°＝－4×360°＋320°＝－8π＋π.
(2)与(1)中角 α终边相同的角β的集合为.
∵β∈[－4π，0]，
∴当k＝－1时，β＝－2π＋＝－，
当k＝－2时，β＝－4π＋＝－.
[能力提升]
11．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
B [设原扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为 α，则由扇形的面积公式，可知扇形的面积变为原来的4倍．由 α＝＝，可知扇形的圆心角不变．故选B．]
12．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A． B． C． D．π
B [设从动轮N逆时针旋转 θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝× θ，解得 θ＝，故选B．]
13．若角 α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么 α与β间的关系为( )
A． α＋β＝0 B． α－β＝0
C． α＋β＝2kπ(k∈Z) D． α－β＝＋2kπ(k∈Z)
D [∵ α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴ α－β＝＋2(k1－k2)π.
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴ α－β＝＋2kπ(k∈Z).]
14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图，是一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A．704 cm2 B．352 cm2 C．1 408 cm2 D．320 cm2
A [如图，设∠AOB＝ θ，OA＝OB＝r cm，
由弧长公式可得，解得r＝，所以S扇面＝S扇形O CD－S扇形OAB＝×64×(＋16)－×24×＝704(cm2).故选A．]
15．已知一扇形的中心角为 α，所在圆的半径为R.
(1)若 α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为12 cm，问当 α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
解析： (1)l＝ αR＝×6＝2π(cm)，
即扇形的弧长为2π cm.
(2)依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R，
扇形的面积S＝lR＝(12－2R)R＝－R2＋6R，
所以当R＝3 cm时，S有最大值，
此时弧长l＝6 cm，得 α＝＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
16．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中扇形面积的大小．
解析： (1)∵△OAB是顶角为、腰长为2的等腰三角形，∴A＝B＝，OM＝ON＝1.
方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋，
方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋，
∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋)－(2＋)|＝2－.
(2)方案一中扇形的面积S1＝××22＝，
方案二中扇形的面积S2＝××12＝，
∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等．课时作业(四十一) 弧度制
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知扇形的面积为，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A． B． C． D．
2．下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是 rad
B． rad化成角度是30°
C．1°化成弧度是 rad
D．1 rad化成角度是°
3．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π C．π D．－π
4．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
5．(多选)下列结论正确的为( )
A．若 α，β的终边相同，则 α－β的终边在x轴的非负半轴上
B．已知集合M＝，P＝{x|x＝k·45°＋45°，k∈Z}，则M?P
C．若 α＝－2 rad，则 α的终边在第二象限
D．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为
6．－105°化为弧度为________，化为角度为________．
7．弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为________．
8．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角 θ的集合为_______．
9．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
10．(1)将－1 120°写成2kπ＋ α(k∈Z)的形式，其中0≤ α＜2π；
(2)写出与(1)中角 α终边相同的角β的集合，并写出在[－4π，0]中的角β.
[能力提升]
11．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
12．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A． B． C． D．π
13．若角 α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么 α与β间的关系为( )
A． α＋β＝0 B． α－β＝0
C． α＋β＝2kπ(k∈Z) D． α－β＝＋2kπ(k∈Z)
14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图，是一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A．704 cm2 B．352 cm2 C．1 408 cm2 D．320 cm2
15．已知一扇形的中心角为 α，所在圆的半径为R.
(1)若 α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为12 cm，问当 α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
16．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中扇形面积的大小．
