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第五章
三角函数
端点
逆时针
顺时针
没有做任何
正角
负角
零角
α＝β
α＋β
相反角
－ α
(－β)
原点
x
终边
象限角
坐标轴上
整数个周角
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（四十）
谢谢观看！5．1.1 任意角
[学习目标] 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．
知识点一 任意角的概念
[问题导引1] 当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？
提示： 不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针．
[问题导引2] 跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，运动员转过多少度的角？
提示： 540 .
1．任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
名称 定义 图形
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
(3)任意角：任意角包括正角、负角和零角．
2．角的加法
(1)若两角 α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称_α＝β．
(2)设 α，β是任意两个角，把角 α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是_α＋β．
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角 α的相反角记为－_α， α－β＝ α＋(－β)．
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90° 的角都是锐角．( )
(2)终边与始边重合的角为零角．( )
(3)大于90° 的角都是钝角．( )
(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120 .( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角．正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样．
即时练1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC等于________．
解析： 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°.
答案： －150°
即时练2.下列所示图形中，γ＝ α＋β的是________；γ＝ α－β的是________．
解析： 在①中， α与γ的始边相同， α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝ α＋β.在②中， α与γ的始边相同， α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝ α＋(－β)＝ α－β.同理可知，③中γ＝ α－β，④中γ＝ α＋β.
答案： ①④ ②③
知识点二 象限角与终边相同的角
[问题导引] 给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示： 给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30° 的终边和390° 的终边相同，它们正好相差了360° 的整数倍．
1．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．终边相同的角
所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和．
[点拨]对于集合S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z}的理解要注意三点：
(1)角 α为任意角，“k∈Z”不能省略．
(2)k·360°与 α中间要用“＋”连接，k·360°－ α可理解成k·360°＋(－ α).
(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
给出下列四个命题：
①－75° 角是第四象限角；
②260° 角是第三象限角；
③475° 角是第二象限角；
④－315° 角是第一象限角．
其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [①②显然正确；③正确，∵475° 角与115° 角的终边相同，115° 角是第二象限角，∴475° 角是第二象限角；④正确，∵－315° 角与45° 角的终边相同，45° 角是第一象限角，∴－315° 角是第一象限角．故真命题有4个．]
象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念，把角转化到0° ～360° 范围内，转化后的角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(链接教材P170例1)已知 α＝－1 845° ，在与 α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360° ～720° 之间的角．
解析： 因为－1 845° ＝－45° ＋(－5)×360 °，所以－1 845 °角与－45°角的终边相同，所以与角 α终边相同的角的集合是{β|β＝－45 °＋k·360°，k∈Z}．
(1)最小的正角为315 °.
(2)最大的负角为－45 °.
(3)－360 °～720 °之间的角分别是－45 °，315 °，675 °.
1．求终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角．
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合．
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
即时练3.在0° ～360° 范围内找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)－120°；(2)660°.
解析： (1)因为－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240° 角，它是第三象限角．
(2)因为660°＝300°＋360°，所以在0°～360° 范围内，与660° 角终边相同的角是300°角，它是第四象限角．
象限角和区间(域)角
(1)若角 α的终边落在如图所示的阴影部分中，试写出其集合．
(2)已知 α是第二象限角，求角所在的象限．
解析： (1)以OA为终边的角为75°＋k·360°(k∈Z)，以OB为终边的角为k·360°－30°(k∈Z)，
因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{ α|k·360° －30°＜ α＜k·360°＋75°，k∈Z}．
(2)∵ α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜ α＜k·360°＋180°(k∈Z).∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°(k∈Z).当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角．∴为第一或第三象限角．
1．表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角 α和β，所以{x| α＜x＜β}，其中β－ α＜360°.
第三步：起始、终止边界对应角 α，β，再加上360°的整数倍，即得区域角的集合．
2．分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．
(2)由 α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．
如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
即时练4.若角 α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{ α|k·180°＋45°≤ α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角 α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )
C [当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤ α≤n·360°＋90°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤ α≤n·360°＋270°，故选C．]
即时练5.终边在直线y＝－x上的角 α的取值集合是( )
A．{ α| α＝n·360°＋135°，n∈Z}
B．{ α| α＝n·360°－45°，n∈Z}
C．{ α| α＝n·180°＋225°，n∈Z}
D．{ α| α＝n·180°－45°，n∈Z}
D [角 α的取值集合为{ α| α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{ α| α＝k·360°－45°，k∈Z}＝{ α| α＝(2k＋1)·180°－45°，k∈Z}∪{ α| α＝2k·180°－45°，k∈Z}＝{ α| α＝n·180°－45°，n∈Z}，故选D．]
1．已知750°< α<800°，那么是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
A [因为750°< α<800°，所以375°<<400°，所以角终边位于第一象限，故选A．]
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
B [∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°角与750°角的终边相同．]
3．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120° C．240° D．－240°
D [按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B．故选D．]
4．在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
(1){ α|30°＋k·360°≤ α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
(2){ α|30°＋k·180°≤ α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
解析： (1)根据任意角的定义，画出集合{ α|30°＋k·360°≤ α≤60°＋k·360°，k∈Z}对应的区域如图所示．
(2)根据任意角的定义，画出集合{ α|30°＋k·180°≤ α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图所示．
课时作业(四十) 任意角
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．设 α＝－300°，则与 α终边相同的角的集合为( )
A．{ α| α＝k·360°＋300°，k∈Z}
B．{ α| α＝k·360°＋60°，k∈Z}
C．{ α| α＝k·360°＋30°，k∈Z}
D．{ α| α＝k·360°－60°，k∈Z}
B [因为 α＝－300°＝－360°＋60°，所以角 α的终边与60°角的终边相同，故选B．]
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．60° D．－60°
D [利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×2＝ 60°，即分针走过的角度是－60°.]
3．若角2 α与240°角的终边相同，则 α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
B [因为角2 α与240°角的终边相同，所以2 α＝240°＋k·360°，k∈Z，则 α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B．]
4．若角 α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{ α|k·180°＋60°≤ α≤k·180°＋120°，k∈Z}中的角 α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )
C [当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋60°≤ α≤n·360°＋120°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋240°≤ α≤n·360°＋300°，故选C．]
5．若角 α，β的终边相同，则 α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴上 B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上 D．y轴的非正半轴上
A [由于角 α，β的终边相同，所以 α＝k·360°＋β，k∈Z，所以 α－β＝k·360°，k∈Z，则 α－β的终边在x轴的非负半轴上，故选A．]
6．已知角 α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则 α的值为________．
解析： 由角 α按逆时针方向旋转，可知 α为正角，又旋转量为480°，∴ α＝480°.
答案： 480°
7．1 112° 角是第________象限角．
解析： 因为1 112°＝360°×3＋32°，所以1 112°角与32°角的终边相同，均为第一象限角．
答案： 一
8．若 α满足180°＜ α＜360°，5α与α有相同的始边，且有相同的终边，则α＝________．
解析： ∵5α＝ α＋k·360°，k∈Z，∴ α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°＜ α＜360°，∴ α＝270°.
答案： 270°
9．在与530° 终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720° 到－360° 之间的角．
解析： 与530° 终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360° ＜k·360°＋530° ＜0° 且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0° ＜k·360°＋530° ＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720° ≤k·360°＋530° ≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.
10．已知集合{ α| α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
(1)该集合中有几种终边不相同的角？
(2)该集合中有几个在－360°～360°范围内的角？
(3)写出该集合中的第三象限角．
解析： (1)由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°≤k·90°＋45°≤360°，得－≤k≤.又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
所以在给定的角的集合中在－360°～360°范围内的角共有8个．
(3)给定的角的集合中第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
[能力提升]
11．(多选)如果 α是第三象限的角，则下列结论中正确的是( )
A．－ α为第二象限角
B．180°－ α为第二象限角
C．180°＋ α为第一象限角
D．90°＋ α为第四象限角
ACD [由 α是第三象限角，得k·360°＋180°< α12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角 α可能是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
AC [由题意知k·360°<2 α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°< α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°< α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以 α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°< α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以 α在第三象限．所以 α是第一或第三象限角．故选AC．]
13．已知角 α，β都是锐角，且角 α＋β的终边与－280°角的终边相同，角 α－β的终边与670°角的终边相同，则 α＝________，β＝________．
解析： 由题意可知， α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
因为 α，β都是锐角，
所以0°< α＋β<180°.
取k＝1，得 α＋β＝80°.①
因为 α－β＝670°＋k·360°，k∈Z, α，β都是锐角，
所以－90°< α－β<90°.
取k＝－2，得 α－β＝－50°.②
由①②，得 α＝15°，β＝65°.
答案： 15° 65°
14．设角 α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是________．
解析： 依题意，以射线OP1为终边的角γ＝k1·360°＋180°－ α，k1∈Z，从而以射线OP2为终边的角β＝m·360°－90°－(k1·360°＋180°－ α)＝(m－k1－1)·360°＋90°＋ α＝k·360°＋90°＋ α，其中m，k1，k∈Z.
答案： {β|β＝k·360°＋90°＋ α，k∈Z}．
15．在平面直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解析： (1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°，故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{ α| α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{ α| α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
16．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为 θ(0°＜ θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
解析： 根据题意知，14秒钟后，点P在角14 θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14 θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2 θ＋45°＜270°，即67.5°＜ θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，
∴所求的 θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴ θ在第一象限或第二象限．5．1.1 任意角
[学习目标] 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．
知识点一 任意角的概念
[问题导引1] 当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？
提示： 不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要逆时针转动分针．
[问题导引2] 跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，运动员转过多少度的角？
提示： 540 .
1．任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
名称 定义 图形
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
(3)任意角：任意角包括正角、负角和零角．
2．角的加法
(1)若两角 α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称_α＝β．
(2)设 α，β是任意两个角，把角 α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是_α＋β．
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角 α的相反角记为－_α， α－β＝ α＋(－β)．
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90° 的角都是锐角．( )
(2)终边与始边重合的角为零角．( )
(3)大于90° 的角都是钝角．( )
(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120 .( )
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角．正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样．
即时练1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC等于________．
即时练2.下列所示图形中，γ＝ α＋β的是________；γ＝ α－β的是________．
知识点二 象限角与终边相同的角
[问题导引] 给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示： 给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30° 的终边和390° 的终边相同，它们正好相差了360° 的整数倍．
1．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．终边相同的角
所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和．
[点拨]对于集合S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z}的理解要注意三点：
(1)角 α为任意角，“k∈Z”不能省略．
(2)k·360°与 α中间要用“＋”连接，k·360°－ α可理解成k·360°＋(－ α).
(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
给出下列四个命题：
①－75° 角是第四象限角；
②260° 角是第三象限角；
③475° 角是第二象限角；
④－315° 角是第一象限角．
其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念，把角转化到0° ～360° 范围内，转化后的角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(链接教材P170例1)已知 α＝－1 845° ，在与 α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360° ～720° 之间的角．
1．求终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角．
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合．
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
即时练3.在0° ～360° 范围内找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)－120°；(2)660°.
象限角和区间(域)角
(1)若角 α的终边落在如图所示的阴影部分中，试写出其集合．
(2)已知 α是第二象限角，求角所在的象限．
1．表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角 α和β，所以{x| α＜x＜β}，其中β－ α＜360°.
第三步：起始、终止边界对应角 α，β，再加上360°的整数倍，即得区域角的集合．
2．分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．
(2)由 α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．
如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
即时练4.若角 α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{ α|k·180°＋45°≤ α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角 α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )
即时练5.终边在直线y＝－x上的角 α的取值集合是( )
A．{ α| α＝n·360°＋135°，n∈Z}
B．{ α| α＝n·360°－45°，n∈Z}
C．{ α| α＝n·180°＋225°，n∈Z}
D．{ α| α＝n·180°－45°，n∈Z}
1．已知750°< α<800°，那么是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
3．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120° C．240° D．－240°
4．在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
(1){ α|30°＋k·360°≤ α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
(2){ α|30°＋k·180°≤ α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
课时作业(四十) 任意角
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．设 α＝－300°，则与 α终边相同的角的集合为( )
A．{ α| α＝k·360°＋300°，k∈Z}
B．{ α| α＝k·360°＋60°，k∈Z}
C．{ α| α＝k·360°＋30°，k∈Z}
D．{ α| α＝k·360°－60°，k∈Z}
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．60° D．－60°
3．若角2 α与240°角的终边相同，则 α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
4．若角 α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{ α|k·180°＋60°≤ α≤k·180°＋120°，k∈Z}中的角 α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )
5．若角 α，β的终边相同，则 α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴上 B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上 D．y轴的非正半轴上
6．已知角 α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则 α的值为________．
7．1 112° 角是第________象限角．
8．若 α满足180°＜ α＜360°，5α与α有相同的始边，且有相同的终边，则α＝________．
9．在与530° 终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720° 到－360° 之间的角．
10．已知集合{ α| α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
(1)该集合中有几种终边不相同的角？
(2)该集合中有几个在－360°～360°范围内的角？
(3)写出该集合中的第三象限角．
11．(多选)如果 α是第三象限的角，则下列结论中正确的是( )
A．－ α为第二象限角
B．180°－ α为第二象限角
C．180°＋ α为第一象限角
D．90°＋ α为第四象限角
12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角 α可能是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
13．已知角 α，β都是锐角，且角 α＋β的终边与－280°角的终边相同，角 α－β的终边与670°角的终边相同，则 α＝________，β＝________．
14．设角 α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是________．
15．在平面直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y＝x(x≥0)上．
16．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为 θ(0°＜ θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．课时作业(四十) 任意角
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．设 α＝－300°，则与 α终边相同的角的集合为( )
A．{ α| α＝k·360°＋300°，k∈Z}
B．{ α| α＝k·360°＋60°，k∈Z}
C．{ α| α＝k·360°＋30°，k∈Z}
D．{ α| α＝k·360°－60°，k∈Z}
B [因为 α＝－300°＝－360°＋60°，所以角 α的终边与60°角的终边相同，故选B．]
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．60° D．－60°
D [利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×2＝ 60°，即分针走过的角度是－60°.]
3．若角2 α与240°角的终边相同，则 α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
B [因为角2 α与240°角的终边相同，所以2 α＝240°＋k·360°，k∈Z，则 α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B．]
4．若角 α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{ α|k·180°＋60°≤ α≤k·180°＋120°，k∈Z}中的角 α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )
C [当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋60°≤ α≤n·360°＋120°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋240°≤ α≤n·360°＋300°，故选C．]
5．若角 α，β的终边相同，则 α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴上 B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上 D．y轴的非正半轴上
A [由于角 α，β的终边相同，所以 α＝k·360°＋β，k∈Z，所以 α－β＝k·360°，k∈Z，则 α－β的终边在x轴的非负半轴上，故选A．]
6．已知角 α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则 α的值为________．
解析： 由角 α按逆时针方向旋转，可知 α为正角，又旋转量为480°，∴ α＝480°.
答案： 480°
7．1 112° 角是第________象限角．
解析： 因为1 112°＝360°×3＋32°，所以1 112°角与32°角的终边相同，均为第一象限角．
答案： 一
8．若 α满足180°＜ α＜360°，5α与α有相同的始边，且有相同的终边，则α＝________．
解析： ∵5α＝ α＋k·360°，k∈Z，∴ α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°＜ α＜360°，∴ α＝270°.
答案： 270°
9．在与530° 终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720° 到－360° 之间的角．
解析： 与530° 终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360° ＜k·360°＋530° ＜0° 且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0° ＜k·360°＋530° ＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720° ≤k·360°＋530° ≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.
10．已知集合{ α| α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
(1)该集合中有几种终边不相同的角？
(2)该集合中有几个在－360°～360°范围内的角？
(3)写出该集合中的第三象限角．
解析： (1)由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°≤k·90°＋45°≤360°，得－≤k≤.又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
所以在给定的角的集合中在－360°～360°范围内的角共有8个．
(3)给定的角的集合中第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
[能力提升]
11．(多选)如果 α是第三象限的角，则下列结论中正确的是( )
A．－ α为第二象限角
B．180°－ α为第二象限角
C．180°＋ α为第一象限角
D．90°＋ α为第四象限角
ACD [由 α是第三象限角，得k·360°＋180°< α12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角 α可能是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
AC [由题意知k·360°<2 α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°< α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°< α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以 α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°< α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以 α在第三象限．所以 α是第一或第三象限角．故选AC．]
13．已知角 α，β都是锐角，且角 α＋β的终边与－280°角的终边相同，角 α－β的终边与670°角的终边相同，则 α＝________，β＝________．
解析： 由题意可知， α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
因为 α，β都是锐角，
所以0°< α＋β<180°.
取k＝1，得 α＋β＝80°.①
因为 α－β＝670°＋k·360°，k∈Z, α，β都是锐角，
所以－90°< α－β<90°.
取k＝－2，得 α－β＝－50°.②
由①②，得 α＝15°，β＝65°.
答案： 15° 65°
14．设角 α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是________．
解析： 依题意，以射线OP1为终边的角γ＝k1·360°＋180°－ α，k1∈Z，从而以射线OP2为终边的角β＝m·360°－90°－(k1·360°＋180°－ α)＝(m－k1－1)·360°＋90°＋ α＝k·360°＋90°＋ α，其中m，k1，k∈Z.
答案： {β|β＝k·360°＋90°＋ α，k∈Z}．
15．在平面直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解析： (1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°，故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{ α| α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{ α| α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
16．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为 θ(0°＜ θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
解析： 根据题意知，14秒钟后，点P在角14 θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14 θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2 θ＋45°＜270°，即67.5°＜ θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，
∴所求的 θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴ θ在第一象限或第二象限．课时作业(四十) 任意角
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．设 α＝－300°，则与 α终边相同的角的集合为( )
A．{ α| α＝k·360°＋300°，k∈Z}
B．{ α| α＝k·360°＋60°，k∈Z}
C．{ α| α＝k·360°＋30°，k∈Z}
D．{ α| α＝k·360°－60°，k∈Z}
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．60° D．－60°
3．若角2 α与240°角的终边相同，则 α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
4．若角 α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{ α|k·180°＋60°≤ α≤k·180°＋120°，k∈Z}中的角 α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )
5．若角 α，β的终边相同，则 α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴上 B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上 D．y轴的非正半轴上
6．已知角 α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则 α的值为________．
7．1 112° 角是第________象限角．
8．若 α满足180°＜ α＜360°，5α与α有相同的始边，且有相同的终边，则α＝________．
9．在与530° 终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720° 到－360° 之间的角．
10．已知集合{ α| α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
(1)该集合中有几种终边不相同的角？
(2)该集合中有几个在－360°～360°范围内的角？
(3)写出该集合中的第三象限角．
11．(多选)如果 α是第三象限的角，则下列结论中正确的是( )
A．－ α为第二象限角
B．180°－ α为第二象限角
C．180°＋ α为第一象限角
D．90°＋ α为第四象限角
12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角 α可能是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
13．已知角 α，β都是锐角，且角 α＋β的终边与－280°角的终边相同，角 α－β的终边与670°角的终边相同，则 α＝________，β＝________．
14．设角 α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是________．
15．在平面直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y＝x(x≥0)上．
16．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为 θ(0°＜ θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
