3.4.1 函数与方程（1）
教学目标：
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．
教学重点：
函数零点存在性的判断．
教学难点：
数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．
教学方法：
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：在第3.2.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；
2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？
二、学生活动
1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象填空：
（1）k 0，b 0；
（2）方程kx＋b＝0的解是 ；
（3）不等式kx＋b＜0的解集 ；
2．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空：
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的解是 ；
（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ；
ax2＋bx＋c＜0的解集为 ．
三、建构数学
1．函数y＝f (x)零点的定义；
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间关系：
△＝b2－4ac △＞0 △＝0 △＜0
ax2＋bx＋c＝0的根
y＝ax2＋bx＋c的图象
y＝ax2＋bx＋c的零点
3．函数零点存在的条件：函数y＝f (x) ( http: / / www.21cnjy.com )在区间[a，b]上不间断，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
四、数学运用
例1 函数y＝f (x)(x[－5，3] ( http: / / www.21cnjy.com ))的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x)的零点及不等式f (x)＞0与f (x)＜0的解集．
例2 求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．
例3 判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
例4 求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
练习：（1）函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______ ．
（2）若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是___________；
（3）二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ；
（4）已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝___ __．
五、要点归纳与方法小结
1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．
六、作业
课本P97－习题2，5．
x
y
O
－2
图1
O
x1
x2
x
y
O
x1＝x2
x
y
O
x
y
y
x
O
－5
－3
－1
1
33.4.1 函数与方程（2）
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．
教学重点：
用二分法求方程的近似解；
教学难点：
二分法原理的理解．
教学方法：
讲授法与合作交流相结合．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；
（2）给出函数f (x)＝lgx＋x－3存在零点的区间；
2．问题：如何求方程lgx＝3－x的近似解？
二、学生活动
用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．
三、建构数学
1． 对于区间[a，b]上连续不断，且f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地
把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
（1）确定f(a) f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；
（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；
（3）判断零点范围：若f ( http: / / www.21cnjy.com )(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a) f(x1)＜0，则零点x1(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；
（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．
四、数学运用
例1 求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．
例2 借助计算器用二分法求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)
变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．
练习
1．确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(kZ)：
（1）函数f (x)＝x3－3x－3有零点的区间是 ．
（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是 ．
（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是 ．
（4）函数f (x)＝lgx＋x－3有零点的区间是 ．
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是 ．
3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．
五、要点归纳与方法小结
1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
六、作业
P96练习第1，2，3题．3.4.1 函数与方程（3）
教学目标：
1．进一步理解二分法原理，能够结合函数的图象求函数的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及数形结合在实际问题中的应用．
2．通过本节内容的学习，渗透无限逼近的数学思想及数学方法．
教学重点：
用图象法求方程的近似解；
教学难点：
图象与二分法相结合．
教学方法：
讲授法与合作交流相结合．
教学过程：
一、问题情境
1．复习二分法定义及一般过程；
2．二分法求方程近似解的前提是确定根存在的区间，如何能迅速地确定呢？
二、学生活动
利用函数图象确定方程lgx＝3－x解所在的区间．
三、建构数学
1．方程的解的几何解释：方程f(x)＝g(x)的解，就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标．
2．图象法解方程：利用两个函数的图象，可精略地估算出方程f(x)＝g(x)的近似解，这就是图象法解方程．
注：（1）在精确度要求不高时，可用图象法求解；
（2）在精确度要求较高时，先用图象法确定解存在的区间，再用二分法求解．
3．数形结合：数形结合思想是一 ( http: / / www.21cnjy.com )种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微。”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。
四、数学运用
例1 利用函数图象确定方程lgx＝3－x的近似解．
例2 在同一坐标系作出函数y＝x3与y＝3x－1的图象，利用图象写出方程x3－3x＋1＝0的近似解(精确到0.1)．
变式训练：
（1）用二分法求方程的近似解(精确到0.1)．
（2）用Excel求方程的近似解(精确到0.1)．
例3 在同一坐标系中作出函数y＝2x与y＝4－x的图象，利用图象写出方程的近似解(精确到0.1)．
练习：
（1）方程lgx＝x－5的大于1的根在区间(a，a＋1)内，则正整数a＝ ．再
结合二分法，得lgx＝x－5的近似解约为 （精确到0.1）．
（2）用两种方法解方程2x2＝3x－1．
五、要点归纳与方法小结
1．方程解的几何解释；
2．先用图象确定范围，再用二分法求方程的近似解；
3．数形结合思想．
六、作业
课本P97－7，9．
