2.1.1 函数的概念和图象（1）
教学目标：
1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解 ( http: / / www.21cnjy.com )函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应；
2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；
3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．
教学重点：
两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 ．
2．问题．
在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？
如图，A(－2，0)，B(2，0)，点C在 ( http: / / www.21cnjy.com )直线y＝2上移动．则△ABC的面积S与点C的横坐标x之间的变化关系如何表达？面积S是C的横坐标x的函数么？
二、学生活动
1．复述初中所学函数的概念；
2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解；
3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质．
三、数学建构
1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；
问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：
（1）这一变化过程中，有哪几个变量？
（2）这几个变量的范围分别是多少？
问题2 略．
问题3 略（详见23页）．
2．函数：一般地，设A、B是两个非空的数集 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．其中，所有输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系；
（2）函数的本质是一种对应；
（3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格
（4）对应是建立在A、B两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f(x)＝2x，(x＝0)．
3．函数y＝f(x)的定义域：
（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；
（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没
有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．
四、数学运用
例1．判断下列对应是否为集合A 到 B的函数：
（1）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；
（2）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；
（3）A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x．
练习：判断下列对应是否为函数：
（1）x→，x≠0，x∈R；
（2）x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.
例2 求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝；（2）g(x)＝＋.
例3 下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？
A．y＝x与y＝()2； B．y＝与y＝；
C．y＝2x－1(x∈R)与y＝2t－1(t∈R)； D．y＝·与y＝
练习：课本26页练习1～4，6．
五、回顾小结
1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应(A→B)
2．函数的对应本质；
3．函数的对应法则和定义域．
六、作业：
课堂作业：课本31页习题2.1（1）第1，2两题．
x
y
y＝2
O
A
B
C
t/h
/℃
O
2
2
6
10
24
20
10
函数的本质是对应，但并非所有的对应都是函数，一个必须是建立在两个非空数集间的对应，二是对应只能是单值对应．
判断两个函数是否为同一函数，一看对应法则，二看定义域．2.1.1 函数的概念和图象（2）
教学目标：
1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；
2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；
3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．
教学重点：
用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复述函数及函数的定义域的概念．
2．问题．
概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？
二、学生活动
1．理解函数的值域的概念；
2．能利用观察法求简单函数的值域；
3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．
三、数学建构
1．函数的值域：
（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之
为函数的值域；
（2）值域是集合B的子集．
2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；
四、数学运用
（一）例题．
例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．
例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．
（1）x∈{－1，0，1，2，3}；
（2）x∈R；
（3）x∈[－1，3]；
（4）x∈(－1，2]；
（5）x∈(－1，1)．
例3 求下列函数的值域：
①y＝； ②y＝．
例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．
（二）练习．
（1）求下列函数的值域：
①y＝2－x2； ②y＝3－|x|．
（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．
（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．
（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．
（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．
五、回顾小结
函数的对应本质，函数的定义域与值域；
利用分解的思想研究复合函数．
六、作业
课本P31-5，8，9．2.1.1 函数的概念和图象（3）
教学目标：
1．进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；
2．通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；
3．通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考．
4．理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想．
教学重点：
作函数的图象．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象．
2．问题．
是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？
二、学生活动
1．回忆初中作函数图象的步骤；
2．按初中的作图步骤作出函数f(x)＝x－1，f(x)＝ x2－1，f(x)＝等函数的图象；
3．思考课本29页的思考题并给出答案；
4．阅读课本29页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象．
三、数学建构
1．函数的图象：一般地，我们将自变量的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象．
（1）函数的图象是由一系列点形成的 ( http: / / www.21cnjy.com )点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；
（2）函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值；
（3）每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．
2．利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；
3．用Excel帮助作图
（1）赋值；
（2）命令函数；
（3）进行函数运算；
（4）选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表．
四、数学运用
1．例题．
例1 画出下列函数的图象：
（1）f(x)＝x＋1；
（2）f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
（3）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；
（4）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．
例2 从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
人口数(百万) 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246
把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象．
例3 试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；
（2）若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．
2．练习：
（1）课本30页练习1，2，3；
（2）作出下列函数的图象；
①f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；②f(x)＝|x－1|－|x＋1|；③f(x)＝x|2－x|．
五、回顾小结
1．函数图象的作法；
2．函数的作图是利用局部来反映全部；
3．函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动．
六、作业
课堂作业：课本31页第3小题；
课外作业：利用Excel帮助研究函数f(x)与f(x＋a)、f(x)＋a的关系．
