3.1.2 指数函数（1）
教学目标：
1．掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围），会作指数函数的图象；
2．能归纳出指数函数的几个基本性质，并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力．
教学重点：
指数函数的定义、图象和性质．
教学难点：
指数函数性质的归纳．
教学过程：
一、创设情境
课本第59页的细胞分裂问题和第64页的古莲子中的14C的衰变问题．
二、学生活动
（1）阅读课本64页内容；
（2）动手画函数的图象．
三、数学建构
1．指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R，值域为(0，＋)．
练习：
（1）观察并指出函数y＝x2与函数y＝2x有什么区别？
（2）指出函数y＝2·3x，y＝2x+3，y＝32x，y＝4 x，y＝a x(a＞0，且a≠1)中哪些是指数函数，哪些不是，为什么？
思考：为什么要强调a＞0，且a≠1？a≠1自然将所有的正数分为两部分
(0，1)和(1，＋)，这两个区间对函数的性质会有什么影响呢？
2．指数函数的图象和性质．
（1）在同一坐标系画出的图象，观察并总结函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质．
图象
定义域
值域
性质
（2）借助于计算机技术，在同一坐标系画出y＝10x，，，等函数的图象，进一步验证函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，并探讨函数y＝ax与y＝a x (a＞0，且a≠1)之间的关系．
四、数学应用
（一）例题：
1．比较下列各组数的大小：
（1） （2） （3）
2．求下列函数的定义域和值域：
（1） （2） （3）
3．已知函数f(x)＝，g(x)＝(a＞0且a≠1) ，若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．
（二）练习：
判断下列函数是否是指数函数：①y＝2·3x；②y＝3x 1；③y＝x3；
④y＝－3x；⑤y＝(－3)x；⑥y＝x；⑦y＝3x2；⑧y＝xx；⑨y＝(2a－1)x(a＞，且a≠1)．
（2）若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则它的单调性为 ．
课后思考题：求函数的值域，并判断其奇偶性和单调性．
五、小结
1．指数函数的定义（研究了对a的限定以及定义域和值域）．
2．指数函数的图象．
3．指数函数的性质：
（1）定点：（0，1）；
（2）单调性：a＞1，单调增；0＜a＜1，单调减．
六、作业
课本P70习题3.1（2）5，7．
1
O
x
y
1
O
x
y3.1.2 指数函数（3）
教学目标：
进一步理解指数函数及其性质，能运用指数函数模型，解决实际问题．
教学重点：
用指数函数模型解决实际问题．
教学难点：
指数函数模型的建构．
教学过程：
一、情境创设
1．某工厂今年的年产值为a万元 ( http: / / www.21cnjy.com )，为了增加产值，今年增加了新产品的研发，预计从明年起，年产值每年递增15%，则明年的产值为 万元，后年的产值为 万元．若设x年后实现产值翻两番，则得方程 ．
二、数学建构
指数函数是常见的数学模型，也是重要的数学模型，常见于工农业生产，环境治理以及投资理财等．
递增的常见模型为y＝(1＋p%)x(p＞0)；递减的常见模型则为y＝(1－p%)x(p＞0)．
三、数学应用
例1 某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
例2 某医药研究所开发一种新药，据检测 ( http: / / www.21cnjy.com )：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为y(微克)，与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat的图象．试根据图象，求出函数y＝ f(t)的解析式．
例3 某位公民按定期三年，年利率为2.70%的方式把5000元存入银行．问三年后这位公民所得利息是多少元？
例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元．
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
（复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息方法）
小结：银行存款往往采用单利计算方式，而分 ( http: / / www.21cnjy.com )期付款、按揭则采用复利计算．这是因为在存款上，为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力，同时也是为了提高储户的长期存款的积极性，往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的过程中，由于每次存入的现金存期不一样，故需要采用复利计算方式．比如“本金为a元，每期还b元，每期利率为r”，第一期还款时本息和应为a(1＋p%)，还款后余额为a(1＋p%)－b，第二次还款时本息为(a(1＋p%)－b)(1＋p%)，再还款后余额为(a(1＋p%)－b)(1＋p%)－b＝a(1＋p%)2－b(1＋p%)－b，……，第n次还款后余额为a(1＋p%)n－b(1＋p%)n 1－b(1＋p%)n 2－……－b．这就是复利计算方式．
例5 2000～2002年， ( http: / / www.21cnjy.com )我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．
练习：
1．（1）一电子元件去年生产某种规格的 ( http: / / www.21cnjy.com )电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；
（2）一电子元件去年生产某种规格的 ( http: / / www.21cnjy.com )电子元件的成本是a元/个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年下降p%，试写出此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式．
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂成个 ．
3．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x，则得方程 ．
四、小结：
1．指数函数模型的建立；
2．单利与复利；
3．用图象近似求解．
五、作业：
课本P71-10，16题．
A(1，8)
y
O
t
B(7，1)
C3.1.2 指数函数（2）
教学目标：
1．进一步理解指数函数的性质；
2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；
教学重点：
指数函数的性质的应用；
教学难点：
指数函数图象的平移变换．
教学过程：
一、情境创设
1．复习指数函数的概念、图象和性质
练习：函数y＝ax(a＞0且a≠1)的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为 ．若a＞1，则当x＞0时，y 1；而当x＜0时，y 1．若0＜a＜1，则当x＞0时，y 1；而当x＜0时，y 1．
2．情境问题：指数函数的性质除了比 ( http: / / www.21cnjy.com )较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a＞0且a≠1，函数y＝ax的图象恒过(0，1)，那么对任意的a＞0且a≠1，函数y＝a2x 1的图象恒过哪一个定点呢？
二、数学应用与建构
例1 解不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．
例2 说明下列函数的图象与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）； （2）； （3）； （4）．
小结：指数函数的平移规律：y＝f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)左右平移 y＝f(x＋k)(当k＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移 y＝f(x)＋h(当h＞0时，向上平移，反之向下平移)．
练习：
（1）将函数f (x)＝3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数 的图象．
（2）将函数f (x)＝3 x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数 的图象．
（3）将函数图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是 ．
（4）对任意的a＞0且a≠1，函数y＝a2x ( http: / / www.21cnjy.com ) 1的图象恒过的定点的坐标是 ．函数y＝a2x－1的图象恒过的定点的坐标是 ．
小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．
（5）如何利用函数f(x)＝2x的图象，作出函数y＝2 x 和y＝2|x 2|的图象？
（6）如何利用函数f(x)＝2x的图象，作出函数y＝|2x－1|的图象？
小结：函数图象的对称变换规律．
例3 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f(x)＝1－2x，试画出此函数的图象．
例4 求函数的最小值以及取得最小值时的x值．
小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．
练习：
（1）函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于 ；
（2）函数y＝2 x 的值域为 ；
（3）设a＞0且a≠1，如果y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值为14，求a的值；
（4）当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围．
三、小结
1．指数函数的性质及应用；
2．指数型函数的定点问题；
3．指数型函数的草图及其变换规律．
四、作业：
课本P71-11，12，15题．
五、课后探究
（1）函数f(x)的定义域为(0，1)，则函数的定义域为 ．
（2）对于任意的x1，x2R ，若函数f(x)＝2x ，试比较的大小．
