北师大版数学九上第一章1.1菱形的性质与判定 测试卷B卷（含解析）

北师大版数学 九上 第一章 1.1菱形的现在与判定测试卷B卷
选择题（共30分）
1.如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
2.如图，在菱形中，对角线，分别为16和12，于点E，则（　　）
A． B． C．10 D．8
3.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，旋转后点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（　　）
A． B． C． D．
5.如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（　　）．
A． B． C．2 D．
6.一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（　　）
A． B． C．35 D．
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，，，若AD=2，则四边形CODE的周长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．4
8.如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，则的度数是（　　）
A．60° B．75 C．80° D．110°
9.如图，菱形ABCD中的边长为1，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′CD′，B′C′交CD于点E，连接AE，CC′，则下列结论：①ΔAB′E≌ΔADE；②EC=ED；③AE⊥CC′；④四边形AB′ED的周长为 +2.其中符合题意结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
填空题（共24分）
11.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为　 　cm2．
12.已知菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，则它的面积是　 　cm2
13.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　 　（只填写一个条件）.
14.中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得，，直线交两对边与E、F，则EF的长为　 　cm．
15.如图，在菱形中，，．点E、F同时从A、C两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点即停止）．点的速度为，点的速度为，经过后恰为等边三角形，则此时的值为　 　．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③.其中正确的结论是　 　.（填写所有正确结论的序号）
解答题（共46分）
17.（8分）如图，在 中， ， 于点 ， 平分 ，分别交 、 于点 、 ， 于点 ，连接 ，求证：四边形 是菱形．
18.（8分）如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
19.（10分）如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
20.（10分）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．
21.（10分）如图所示，在梯形中，，E是中点，，， ，，点P是边上一动点，设的长为x.
（1）当x的值为　 　时，以点为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为　 　时，以点为顶点的四边形是平行四边形；
（3）点P在上运动的过程中，以点为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
北师大版数学 九上 第一章 1.1菱形的现在与判定测试卷B卷
选择题（共30分）
1.如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AE∥FC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形.
故答案为：C
2.如图，在菱形中，对角线，分别为16和12，于点E，则（　　）
A． B． C．10 D．8
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形是菱形
∴且平分对角线
又∵，
∴AO=8，BO=6，
∴
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，等于底乘高
∴
∴
故答案为：A．
3.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，旋转后点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是菱形，点A坐标为（6，0），
∴OA=OC=BC=6，
又∵∠AOC=60°，
∴点C坐标为，
∴点B坐标为
绕原点O旋转180°后，点B关于原点对称，
∴旋转后点B的坐标为.
故答案为：B.
4.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
∵点A（9，0），点C（0，3），
∴OA=9，OC=3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=9，BC∥OA，∠COE=90°，
∵BF=OE=4，
∴CF=AE=9-4=5，
∴四边形AECF是平行四边形，
在Rt△OCE中，∠COE=90°，OE=4，OC=3，
∴CE=5，
∴CE=AE=5，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AC·EF=2AE·OC=2×5×3=30.
故答案为：D.
5.如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（　　）．
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：过点B作BF⊥DC，垂足为F，BF交AC与点E．
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，
∴BC＝2，∠FBC＝30°，∠DCA＝30°．
∴EF＝EC．
∴BF＝BE+EF＝BE+EC
由垂线段最短可知：当BF⊥DC，时，FB有最小值，即
∴最小值＝BF＝BC＝×4＝
故答案为：B
6.一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（　　）
A． B． C．35 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：设平行四边形ABCD的对角线交于点O，且，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴平行四边形ABCD的面积为，
故答案为：B.
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，，，若AD=2，则四边形CODE的周长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，
所以OA=OD=OC=OB，∠AOD=60°，
所以△AOD是等边三角形，
所以OD=AD=2．
因为，，
所以四边形ODEC是平行四边形，
因为OD=OC，
所以四边形ODEC是菱形，
所以四边形的周长等于4OD=4AD，
因为AD=2，
所以四边形CODE的周长为8，
故答案为：C．
8.如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，则的度数是（　　）
A．60° B．75 C．80° D．110°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，
∴BF=DF，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴DF=CF，
∴∠CDF=∠DCF=35°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠ADF=110°-35°=75°，
故答案为：B．
9.如图，菱形ABCD中的边长为1，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′CD′，B′C′交CD于点E，连接AE，CC′，则下列结论：①ΔAB′E≌ΔADE；②EC=ED；③AE⊥CC′；④四边形AB′ED的周长为 +2.其中符合题意结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连结对角线 ， ，∴ ，
∵菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′CD′，
∴ ， ， 三点共线，
， ， 三点共线，
∴
∴
由题目已知和菱形的性质可得：
∴
∴
∴ ，②不符合题意；
在 和 中
∴ ≌
∴
∴由 ，
∴ ≌
∴①符合题意；
∴ 为 的角平分线，
∴ （三线合一）
∴③符合题意；
∵ ，
∴
在菱形ABCD中，
∴
∴在 中，
，
∴四边形AB′ED的周长为：
=
∴④不符合题意
综上所述，正确的有①③，
故答案为：B
10．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
∴AB=BC=4，AB CE′=8 ，
∴CE′=2 ，
在Rt△BCE′中，BE′= ，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 ，
故答案为：B．
填空题（共24分）
11.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为　 　cm2．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是＝24（cm2），
故答案为：24．
12.已知菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，则它的面积是　 　cm2
【答案】6
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由已知得，菱形的面积为 ．
故答案为
13.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　 　（只填写一个条件）.
【答案】AB=BC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
14.中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得，，直线交两对边与E、F，则EF的长为　 　cm．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，CD∥AB，
∵，，
∴ ，
∴，
设AB边的高为h，
∴菱形ABCD的面积等于，
即，解得：，
∵，
∴．
故答案为：
15.如图，在菱形中，，．点E、F同时从A、C两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点即停止）．点的速度为，点的速度为，经过后恰为等边三角形，则此时的值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，AD=AB，
∴∠ADB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AD.
若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°，DE=DF，
∴∠ADE=∠BDF.
∵AD=BD，∠ADE=∠BDF，DE=DF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE=BF.
∵点E的速度为2cm/s，点F的速度为4cm/s，
∴AE=2tcm，CF=4tcm，
∴BF=BC-CF=10-4t，
∴2t=10-4t，
解得t=.
故答案为：.
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③.其中正确的结论是　 　.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD=AB=FE，AF=AC=FC，DF=BC=EC.
在△ADF和△FEC中，
，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形.
∵AB=AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，结论③正确.
故答案为：①②③.
解答题（共46分）
17.（8分）如图，在 中， ， 于点 ， 平分 ，分别交 、 于点 、 ， 于点 ，连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
18.（8分）如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
【答案】证明：菱形，
，
，
在和中，
，
，
．
19.（10分）如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形EFGH的形状是菱形，理由如下：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中， ，
∴(ASA)
∴OE=OG．
同理可证OF=OH．
∵，
∴四边形为菱形．
20.（10分）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．
【答案】证明：如图，
∵AC平分∠BAM，AM∥BN，
∴，．
∴．
∴．
又∵BD⊥AC于点O，
∴．
在△AOD和△COB中，
，
∴．
∴．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵BA=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
21.（10分）如图所示，在梯形中，，E是中点，，， ，，点P是边上一动点，设的长为x.
（1）当x的值为　 　时，以点为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为　 　时，以点为顶点的四边形是平行四边形；
（3）点P在上运动的过程中，以点为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
【答案】（1）3或8
（2）1或11
（3）解：点P在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形，
理由如下：
①当点P在点E左侧时，如下图，过点作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即此时以为顶点的四边形不能构成菱形；
②当点P在点E右侧时，如下图，过点D作于点H，
由（1）可知，当时，四边形为平行四边形，
此时，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴四边形为菱形.
综上所述，点P在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）分别过A、D作于M，于N
∵
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴，