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第二章 匀速圆周运动
第3节 圆周运动的实例分析
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续表
越小
越大
向心加速度
高
垂直轨道向上
圆心
重力
支持力
圆心
向心力
×
√
知识方法 探究
随堂达标 训练
课时作业(6)
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米第3节 圆周运动的实例分析
课程内容要求 核心素养提炼
1．学会根据汽车通过拱桥建立模型，分析竖直面内的圆周运动问题．2．学会根据“旋转秋千”和火车转弯建立模型，分析水平面内的圆周运动问题．3．知道离心运动，会分析离心运动发生的原因、危害和应用． 1．物理观念：圆周运动分类，离心运动．2．科学思维：根据现实生活中的圆周运动建立模型，分析解决问题．3．科学态度与责任：体会圆周运动在现实生活中的实际应用．
[对应学生用书P30]
凸形桥和凹形桥的对比
汽车过凸形桥最高点 汽车过凹形桥最低点
受力分析
向心力 F合＝mg－N＝m F合＝N－mg＝m
对桥的压力 N′＝mg－m N′＝mg＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
[思考]
把地球看作一个巨大的拱形桥，当汽车的速度增大时，地面对它的支持力怎样变化？汽车有可能飞离地球吗？
提示 速度增大，由N＝mg－m可知支持力减小，当速度大到一定程度时，汽车有可能飞离地球．
1．“旋转秋千”
(1)简化模型：圆锥摆(受力如图所示).
(2)向心力分析：mg tan θ＝mω2r(r＝l sin θ)
2．火车转弯
(1)运动特点：火车在弯道上运动时可看作圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)轨道设计：转弯处外轨略高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力N的方向是垂直轨道向上，它与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力．
(3)向心力的来源：依据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供．
[思考]
如图所示，铁路转弯处的轨道，为什么要设计得外高内低？
提示 让重力和支持力的合力提供向心力，减轻了轮缘对外轨的挤压．
1．定义：原来做圆周运动的物体沿切线方向飞出或远离圆心的运动．
2．原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需的向心力．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)离心运动是由做圆周运动的物体受离心力造成的．(×)
(2)洗衣机脱水利用了离心运动的原理．(√)
[对应学生用书P31]
探究点一 汽车通过拱形桥问题的分析
如图，甲、乙为汽车在凸形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车在拱形桥上行驶时可以看作圆周运动．
试根据上述情景讨论以下问题：
(1)当汽车行驶到凸形桥的最高点时，向心力由什么力提供？汽车对桥面的压力有什么特点？
提示 当汽车行驶到凸形桥的最高点时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg－N＝m；此时车对桥面的压力N′＝mg－m，即车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态．
(2)汽车对桥面的压力与车速有什么关系？试分析汽车在最高点行驶的最大速度．
提示 由N′＝mg－m可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小；当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg＝m eq \f(v,R) 可得vmax＝；如果汽车的速度v>，汽车将离开桥面．
(3)当汽车行驶到凹形桥的最低点时，向心力由什么力提供？汽车对桥面的压力有什么特点？
提示 当汽车行驶到凹形桥的最低点时，重力与支持力的合力提供向心力，即N－mg＝m；此时车对桥面的压力N′＝mg＋m，即车对桥面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越大．
汽车过拱形桥时，在最高点受重力和支持力，两者的合力充当向心力，如图所示，汽车在最高点满足关系mg－N＝m，即N＝mg－m.
(1)当v＝时，N＝0.
(2)当0≤v<时，0(3)当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．
这个模型的临界条件为vmax＝，此时车对桥面的压力为零．
如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，若桥面承受的压力不超过3.0×105 N，则汽车允许的最大速率是多少？(g取10 m/s2)
解析 如图所示，由受力分析可知，汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，此时车对桥面的压力最大．
由牛顿第三定律可知，当桥面对汽车的支持力N1＝3.0×105 N时，根据牛顿第二定律有N1－mg＝m
即v＝＝ m/s＝10 m/s<＝10 m/s
故在凸形桥的最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10 m/s.
答案 10 m/s
[题后总结] 本题中汽车先过凹形桥再过凸形桥，过凹形桥最低点时不能超过桥面能承受的压力，过凸形桥最高点时不能脱离桥面，综合分析才能求出允许的最大速率．
[训练1] 如图所示，一辆质量为500 kg的汽车通过一座半径为50 m的圆弧形拱桥顶部．g取10 m/s2.
(1)若汽车以6 m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
(2)若汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？
(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少是多大？(地球半径R＝6.4×103 km)
解析 (1)根据牛顿第二定律得
mg－N＝m
所以N＝mg－m＝4 640 N
(2)压力恰好为零，重力充当向心力，则
mg＝m eq \f(v,r)
解得v1＝10 m/s
(3)重力充当向心力，所以有mg＝m eq \f(v,R)
解得vmin＝8×103 m/s.
答案 (1)4 640 N (2)10 m/s
(3)8×103 m/s
探究点二 “旋转秋千”问题的分析
游乐场中的一种“旋转秋千”装置如图所示，若干个安全座椅通过长度不等的缆绳悬挂在旋转圆盘的边缘，启动时，旋转圆盘以某一恒定的角速度转动，座椅也随之围绕竖直的中心轴旋转．试分析以下问题：
(1)座椅在水平面内做圆周运动的向心力由哪些力提供？
提示 重力和绳子拉力的合力．
(2)该装置可简化为如右图所示的模型，则缆绳与中心轴的夹角与哪些物理量有关？
提示 由mg tan θ＝mω2r和r＝l sin θ可得cos θ＝，由此可知夹角θ与角速度ω和绳长l有关．
(3)两个体重不同的人分别坐在同一座椅上时，缆绳与中心轴的夹角θ相同吗？
提示 由(2)分析可知夹角θ与质量m无关，故夹角θ相同．
“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型，即物体在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面．对物体进行受力分析，并由力的分解和几何关系可推导它的动力学关系式．
游乐园一种叫“飞椅”的游乐项目，如图所示，长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力．
(1)钢绳的拉力大小是多少？
(2)如果转盘的角速度足够大，那么是否可以使钢绳呈水平拉直状态？
解析 (1)对座椅受力分析，如图所示．
竖直方向上有F cos θ＝mg
水平方向有F sin θ＝mω2(r＋L sin θ)
解得F＝ ，F＝
(2) 钢绳拉力的竖直分量等于座椅所受的重力，若钢绳成水平拉直，则钢绳在竖直方向上没有分力，故即使角速度足够大，也不可以使钢绳呈水平拉直状态．
[训练2] (多选)如图所示，A、B是“旋转秋千”中的两个座椅，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响．当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，悬挂A的绳与竖直方向的夹角比悬挂B的绳与竖直方向的夹角小．下列说法正确的是( )
A．A的线速度比B的线速度大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．A的转动半径小于B的转动半径
D．A与B的转动周期相等
CD [对座椅受力分析，如图所示．由题图知，A离中心轴更近，即A的转动半径小于B的转动半径，故C正确；A、B两个座椅具有相同的角速度，根据公式v＝ωr，A的转动半径小于B的半径，则A的线速度小于B的线速度，故A错误；根据公式a＝ω2r，A的转动半径小于B的半径，A、B两个座椅具有相同的角速度，则A的向心加速度小于B的向心加速度，故B错误；根据公式T＝，A、B两个座椅具有相同的角速度，故A与B的转动周期相等，故D正确．]
探究点三 火车转弯问题的分析
如图所示，一辆火车正在转弯，可认为火车转弯时在做圆周运动，因而需要向心力．试分析以下问题：
(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致什么样的后果？
提示 如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮对轮缘产生的挤压力来提供(如图甲所示)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，极易使铁轨和车轮受损．
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有什么样的优点．
提示 如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙所示)，从而减轻轮缘与外轨的挤压．
(3)根据第(2)问中的探究，火车速度为多大时恰好对外轨和内轨都没有侧压力？
提示 重力和支持力的合力提供向心力，即mg tan θ＝m，故v＝.
1．当火车行驶速度v等于弯道的设计速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．
2．当火车行驶速度v与弯道的设计速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
(1)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
(2)当火车行驶速度v一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h＝10 cm，弯道半径为r＝625 m，轨道斜面长l＝1 435 mm，则这段弯道的设计速度v0是多大？并讨论当火车速度大于v0时对外轨的侧压力和小于v0时对内轨的侧压力．(g取10 m/s2)
解析 当火车以设计速度v0运动时，其受力如图所示，其中G与N的合力F＝mg tan θ提供火车转弯时的向心力，又F＝m eq \f(v,r) ，
所以mg tan θ＝m eq \f(v,r)
当θ很小时，取sin θ＝tan θ＝，代入上式有v0＝ ＝ m/s≈20.87 m/s≈75 km/h
当v>v0时，外轨对外轮边缘产生垂直轨道向内的弹力(侧压力)F外，此时火车受力如图所示，设火车的质量为m，根据牛顿第二定律得
N sin θ＋F外cos θ＝m
N cos θ＝F外sin θ＋mg
联立上述两式解得F外＝mcos θ－mg sin θ
由此看出，火车的速度v越大，F外越大，铁轨越容易损坏．
当vN sin θ－F内cos θ＝m
N cos θ＋F内sin θ＝mg
联立解得F内＝mg sin θ－mcos θ
可以看出，v越小，F内越大，内轨的磨损也越大．
答案 75 km/h mcos θ－mg sin θ
mg sin θ－mcos θ
[题后总结] 火车转弯问题的分析技巧
(1)弯道设计的速度恰好满足重力和支持力的合力提供向心力，这时火车对内、外轨都没有侧压力，根据mg tan θ＝m，可得v＝.
(2)对铁路来讲，轨道倾角θ很小，tan θ≈sin θ＝，经过这样的近似处理，问题将大大简化．
(3)当火车不按设计速度行驶时，若大于设计速度，则对外轨有侧压力；若小于设计速度，则对内轨有侧压力．
[训练3]
(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发的地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v，但只要不超出某一值，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v的值变小
AC [当汽车行驶的速度为v时，路面对汽车没有侧向摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，故A正确；当速度稍大于v时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到指向内侧的静摩擦力，当静摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，故C正确；同理，当速度稍小于v时，车辆不会向内侧滑动，故B错误；v的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，故D错误．]
探究点四 离心运动的实例分析
如图所示，滑冰运动员以飞快的速度转弯，如果身体控制不当，人很容易发生侧摔．根据此现象思考以下问题：
(1)有人说，物体做离心运动是由于受到“离心力”的作用．你认为这种说法正确吗？
提示 不正确．物体做离心运动是因为当物体所受的合外力突然消失或不足以提供所需的向心力时，物体做远离圆心的运动，物体并不受“离心力”，其运动方向也不是沿半径方向向外运动，而是沿切线方向或沿曲率半径逐渐增大的曲线远离圆心．
(2)产生离心运动的原因是什么？
提示 做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当F1．若F合＝mω2r或F合＝m，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
2．若F合>mω2r或F合>m，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”．
3．若F合4．F合＝0，则物体沿切线方向飞出．
一辆摩托车在转弯时的情形如图所示．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯时有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的过程，下列说法正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B [摩托车受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，故A错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果摩托车向外滑动，说明提供的合力小于需要的向心力，故B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，故C、D错误．]
[训练4] (多选)假定雨伞的伞面完全水平，旋转时，其上一部分水滴被甩出来．下列关于伞面上水滴的受力和运动情况的说法正确的是( )
A．越靠近转轴的水滴，越难被甩出来
B．水滴离开雨伞时是沿半径方向离心而去
C．水滴离开雨伞后，相对于地面的运动为平抛运动
D．雨伞转得越快，水滴落地的时间就越长
AC [在转动雨伞时，伞上的水滴均是同轴转动，向心力由黏附力提供，F＝mω2r，越靠近转轴，F越小，故A正确；当所需的向心力大于黏附力时，水滴做离心运动，脱离伞后做平抛运动，故B、D错误，C正确．]
[对应学生用书P35]
1．(火车转弯)火车在倾斜的轨道上转弯，弯道的倾角为θ，半径为R，则火车内、外轨都不受轮缘挤压时的转弯速率是( )
A． B．
C． D．
C [火车转弯且轮缘不受挤压时，受到支持力和重力作用而做匀速圆周运动，两个力的合力方向指向水平圆周的圆心，如图所示，根据牛顿第二定律有：mg tan θ＝m，得v＝，C正确．]
2．(汽车通过拱形桥)建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥或凹形桥，其主要原因是( )
A．节省建筑材料，以减少建桥成本
B．汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比水平或凸形桥的压力大，故凹形桥易损坏
C．建造凹形桥特别困难
D．无法确定
B [在凸形桥上，车桥之间的压力小于车的重力；在凹形桥上，车桥之间的压力大于车的重力，故凹形桥易损坏．]
3．(“旋转秋千”)游乐场中有一种叫“旋转秋千”的设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞．若将人和座椅看成质点，简化为如图所示的模型，不计空气阻力，当人做匀速圆周运动时，图中l和d不变，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力对座椅做功
B．θ角越大，人和座椅的角速度越大
C．θ角越大，绳子拉力越小
D．θ角越大，人和座椅的线速度越小
B [绳子的拉力与线速度方向垂直，则拉力对座椅不做功，故A错误；对人和座椅，根据牛顿第二定律有mg tan θ＝mω2(d＋l sin θ)，解得ω＝＝，则可知θ越大，人和座椅的角速度越大，故B正确；绳子的拉力T＝，则θ越大，绳子拉力越大，故C错误；对人和座椅，由牛顿第二定律可得mg tan θ＝，解得v＝，则θ越大，人和座椅的线速度越大，故D错误．]
4．(离心运动)(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )
A.若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动
BC [若拉力突然变大，则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A错误；若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B正确，D错误；若拉力消失，小球因惯性沿切线飞出，C正确．]
课时作业(6) 圆周运动的实例分析
[对应学生用书P112]
1. 如图所示，某同学能让笔绕O点匀速转动，A 是笔尖上的点，B是A和O的中点．A、B 两点线速度大小分别是vA、vB，角速度大小分别是ωA、ωB，向心加速度大小分别是aA、aB，周期大小分别是TA、TB，则( )
A．vA＝2vB B．ωA＝2ωB
C．aA＝aB D．TA＝2TB
A [笔杆上的各个点都做同轴转动，所以角速度是相等的，由题意可知rB＝rA，根据v＝ωr可知vA＝2vB，故A正确，B错误；由向心加速度公式a＝ω2r可知aA＝2aB，故C错误；笔杆上的各个点都做同轴转动，所以周期是相等的，故D错误．]
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
C [火车在水平面内运动，则在竖直方向上受力平衡，即铁轨对火车的支持力FN的竖直分量与重力平衡(FNcos θ＝mg)，可得FN＝，故C正确，D错误；铁轨对火车的支持力FN的水平分量为FNsin θ＝mg tan θ，因为火车在弯道半径为R的转弯处的速度v＝，所以火车转弯时需要的向心力F＝＝mg tan θ，可知支持力的水平分量正好等于向心力大小，则火车轮缘对内外轨道无挤压，故A、B错误．]
3．(多选)如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，下列说法正确的是( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
BCD [一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－N＝m，故支持力N＝mg－m，即支持力小于重力，故A错误，B、D正确；当汽车的速度v＝时，汽车所受支持力为零，故C正确．]
4．如图所示，竖直面内有一圆弧面，其半径为R.质量为m的物体在拉力作用下沿圆弧面以恒定的速率v滑行，拉力的方向始终保持与物体的速度方向一致．已知物体与圆弧之间的动摩擦因数为μ，则物体通过圆弧面最高点P位置时拉力的大小为( )
A．μmg B．μm(g－)
C． D．m(μg－)
B [物体做匀速圆周运动，通过最高点时，沿半径方向mg－N＝m，沿切线方向，拉力F＝μN′(N′＝N)，所以F＝μm(g－)，故B正确．]
5．如图所示，在光滑轨道上，小球从左侧最高点滚下，经过右侧圆弧部分的最高点时恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
D [小球运动到最高点时，若恰好不脱离轨道，小球与轨道间压力为零，则小球只受重力作用，由重力充当向心力，故D正确．]
6．如图所示，某游乐园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒．若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
C [由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．]
7．公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手．”这样做的目的是( )
A．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒
B．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒
C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒
D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒
C [车辆转弯时车上的乘客有做离心运动的趋势，故在车辆转弯时，乘客可能向转弯的外侧倾倒，故C正确．]
8．(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
BD [座舱的周期T＝＝，A错误；根据线速度与角速度的关系得v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力的合力提供向心力，且合力大小F合＝mω2R，合力方向时刻在变化，因为座舱的重力大小、方向均不变，所以座舱所受摩天轮作用力的大小时刻在变化，故C错误，D正确．]
9．一名链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg 的链球，链球每1 s 转一圈，转动半径为1.5 m，取π＝3.14.求：
(1)链球的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小．
解析 (1)链球的角速度ω＝，故线速度为
v＝rω＝＝3π m/s＝9.42 m/s.
(2)根据向心力公式F＝m可得
F＝ N≈236.6 N.
答案 (1)9.42 m/s (2)236.6 N
10．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量相等的8名同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，某时刻甲正好在最高点，乙处于最低点．则此时( )
A．甲与乙的线速度相同
B．甲与乙的加速度相同
C．甲与乙的所受的合外力大小相等
D．“摩天轮”对甲、乙的作用力大小相等
C [由于“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，所以线速度大小相同，甲线速度方向向左，乙线速度方向向右，故A错误；根据a＝可知，加速度大小相同，甲加速度方向竖直向下，乙加速度方向竖直向上，故B错误；根据F＝可知，所受合外力大小相等，故C正确；对甲有mg－N1＝m，对乙有N2－mg＝m，则N1≠N2，即“摩天轮”对他们作用力大小不相等，故D错误．]
11．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低，如图所示，汽车的运动可看成半径为R的水平面内的匀速圆周运动．已知内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向(垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的速度应等于( )
A. B.
C. D.
B [设路面的倾角为θ，要使车轮与路面之间的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时，由路面的支持力与重力的合力提供汽车的向心力，作出汽车的受力图，如图所示．根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m，由数学知识可得tan θ＝，联立解得v＝ ，B正确．]
12．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？(g取9.8 m/s2)
解析 火车受到的支持力和重力的合力指向轨道圆心并提供向心力，如图所示．图中h为两轨高度差，d为两轨间距，α为轨道倾角，mg tan α＝m，则tan α＝；又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为tan α＝sin α＝.因此＝，又v＝72 km/h＝20 m/s，则h＝＝ m≈0.195 m.
答案 0.195 m
13．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度(即不出现侧向摩擦力时的速度)；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
解析 (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N两个力的作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，则有mg tan θ＝m eq \f(v,r)
解得v0＝＝ m/s＝20 m/s.
(2)当汽车以最大速度通过弯道时，受力分析如图乙所示．将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝N cos θ，N2＝N sin θ，
f1＝f sin θ，f2＝f cos θ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为
F向＝ mg＝ mg
根据F向＝m可得
v＝＝ m/s
＝15 m/s.
答案 (1)20 m/s (2)15 m/s第3节 圆周运动的实例分析
课程内容要求 核心素养提炼
1．学会根据汽车通过拱桥建立模型，分析竖直面内的圆周运动问题．2．学会根据“旋转秋千”和火车转弯建立模型，分析水平面内的圆周运动问题．3．知道离心运动，会分析离心运动发生的原因、危害和应用． 1．物理观念：圆周运动分类，离心运动．2．科学思维：根据现实生活中的圆周运动建立模型，分析解决问题．3．科学态度与责任：体会圆周运动在现实生活中的实际应用．
凸形桥和凹形桥的对比
汽车过凸形桥最高点 汽车过凹形桥最低点
受力分析
向心力 F合＝mg－N＝m F合＝N－mg＝m
对桥的压力 N′＝mg－m N′＝mg＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
把地球看作一个巨大的拱形桥，当汽车的速度增大时，地面对它的支持力怎样变化？汽车有可能飞离地球吗？
1．“旋转秋千”
(1)简化模型：圆锥摆(受力如图所示).
(2)向心力分析：mg tan θ＝mω2r(r＝l sin θ)
2．火车转弯
(1)运动特点：火车在弯道上运动时可看作圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)轨道设计：转弯处外轨略高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力N的方向是垂直轨道向上，它与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力．
(3)向心力的来源：依据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供．
如图所示，铁路转弯处的轨道，为什么要设计得外高内低？
1．定义：原来做圆周运动的物体沿切线方向飞出或远离圆心的运动．
2．原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需的向心力．
(对的画“√”，错的画“×”)
(1)离心运动是由做圆周运动的物体受离心力造成的．(×)
(2)洗衣机脱水利用了离心运动的原理．(√)
探究点一 汽车通过拱形桥问题的分析
如图，甲、乙为汽车在凸形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车在拱形桥上行驶时可以看作圆周运动．
试根据上述情景讨论以下问题：
(1)当汽车行驶到凸形桥的最高点时，向心力由什么力提供？汽车对桥面的压力有什么特点？
(2)汽车对桥面的压力与车速有什么关系？试分析汽车在最高点行驶的最大速度．
(3)当汽车行驶到凹形桥的最低点时，向心力由什么力提供？汽车对桥面的压力有什么特点？
汽车过拱形桥时，在最高点受重力和支持力，两者的合力充当向心力，如图所示，汽车在最高点满足关系mg－N＝m，即N＝mg－m.
(1)当v＝时，N＝0.
(2)当0≤v<时，0(3)当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．
这个模型的临界条件为vmax＝，此时车对桥面的压力为零．
如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，若桥面承受的压力不超过3.0×105 N，则汽车允许的最大速率是多少？(g取10 m/s2)
由牛顿第三定律可知，当桥面对汽车的支持力N1＝3.0×105 N时，根据牛顿第二定律有N1－mg＝m
即v＝＝ m/s＝10 m/s<＝10 m/s
故在凸形桥的最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10 m/s.
本题中汽车先过凹形桥再过凸形桥，过凹形桥最低点时不能超过桥面能承受的压力，过凸形桥最高点时不能脱离桥面，综合分析才能求出允许的最大速率．
如图所示，一辆质量为500 kg的汽车通过一座半径为50 m的圆弧形拱桥顶部．g取10 m/s2.
(1)若汽车以6 m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
(2)若汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？
(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少是多大？(地球半径R＝6.4×103 km)
mg－N＝m
所以N＝mg－m＝4 640 N
(2)压力恰好为零，重力充当向心力，则
mg＝m eq \f(v,r)
解得v1＝10 m/s
(3)重力充当向心力，所以有mg＝m eq \f(v,R)
解得vmin＝8×103 m/s.
(3)8×103 m/s
探究点二 “旋转秋千”问题的分析
游乐场中的一种“旋转秋千”装置如图所示，若干个安全座椅通过长度不等的缆绳悬挂在旋转圆盘的边缘，启动时，旋转圆盘以某一恒定的角速度转动，座椅也随之围绕竖直的中心轴旋转．试分析以下问题：
(1)座椅在水平面内做圆周运动的向心力由哪些力提供？
(2)该装置可简化为如右图所示的模型，则缆绳与中心轴的夹角与哪些物理量有关？
(3)两个体重不同的人分别坐在同一座椅上时，缆绳与中心轴的夹角θ相同吗？
“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型，即物体在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面．对物体进行受力分析，并由力的分解和几何关系可推导它的动力学关系式．
游乐园一种叫“飞椅”的游乐项目，如图所示，长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力．
(1)钢绳的拉力大小是多少？
(2)如果转盘的角速度足够大，那么是否可以使钢绳呈水平拉直状态？
(多选)如图所示，A、B是“旋转秋千”中的两个座椅，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响．当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，悬挂A的绳与竖直方向的夹角比悬挂B的绳与竖直方向的夹角小．下列说法正确的是( )
A．A的线速度比B的线速度大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．A的转动半径小于B的转动半径
D．A与B的转动周期相等
探究点三 火车转弯问题的分析
如图所示，一辆火车正在转弯，可认为火车转弯时在做圆周运动，因而需要向心力．试分析以下问题：
(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致什么样的后果？
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有什么样的优点．
(3)根据第(2)问中的探究，火车速度为多大时恰好对外轨和内轨都没有侧压力？
1．当火车行驶速度v等于弯道的设计速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．
2．当火车行驶速度v与弯道的设计速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
(1)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
(2)当火车行驶速度v一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h＝10 cm，弯道半径为r＝625 m，轨道斜面长l＝1 435 mm，则这段弯道的设计速度v0是多大？并讨论当火车速度大于v0时对外轨的侧压力和小于v0时对内轨的侧压力．(g取10 m/s2)
火车转弯问题的分析技巧
(1)弯道设计的速度恰好满足重力和支持力的合力提供向心力，这时火车对内、外轨都没有侧压力，根据mg tan θ＝m，可得v＝.
(2)对铁路来讲，轨道倾角θ很小，tan θ≈sin θ＝，经过这样的近似处理，问题将大大简化．
(3)当火车不按设计速度行驶时，若大于设计速度，则对外轨有侧压力；若小于设计速度，则对内轨有侧压力．
(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发的地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v，但只要不超出某一值，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v的值变小
探究点四 离心运动的实例分析
如图所示，滑冰运动员以飞快的速度转弯，如果身体控制不当，人很容易发生侧摔．根据此现象思考以下问题：
(1)有人说，物体做离心运动是由于受到“离心力”的作用．你认为这种说法正确吗？
(2)产生离心运动的原因是什么？
1．若F合＝mω2r或F合＝m，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
2．若F合>mω2r或F合>m，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”．
3．若F合4．F合＝0，则物体沿切线方向飞出．
一辆摩托车在转弯时的情形如图所示．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯时有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的过程，下列说法正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
(多选)假定雨伞的伞面完全水平，旋转时，其上一部分水滴被甩出来．下列关于伞面上水滴的受力和运动情况的说法正确的是( )
A．越靠近转轴的水滴，越难被甩出来
B．水滴离开雨伞时是沿半径方向离心而去
C．水滴离开雨伞后，相对于地面的运动为平抛运动
D．雨伞转得越快，水滴落地的时间就越长
1．(火车转弯)火车在倾斜的轨道上转弯，弯道的倾角为θ，半径为R，则火车内、外轨都不受轮缘挤压时的转弯速率是( )
A． B．
C． D．
2．(汽车通过拱形桥)建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥或凹形桥，其主要原因是( )
A．节省建筑材料，以减少建桥成本
B．汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比水平或凸形桥的压力大，故凹形桥易损坏
C．建造凹形桥特别困难
D．无法确定
3．(“旋转秋千”)游乐场中有一种叫“旋转秋千”的设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞．若将人和座椅看成质点，简化为如图所示的模型，不计空气阻力，当人做匀速圆周运动时，图中l和d不变，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力对座椅做功
B．θ角越大，人和座椅的角速度越大
C．θ角越大，绳子拉力越小
D．θ角越大，人和座椅的线速度越小
4．(离心运动)(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )
A.若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动
课时作业(6) 圆周运动的实例分析
1. 如图所示，某同学能让笔绕O点匀速转动，A 是笔尖上的点，B是A和O的中点．A、B 两点线速度大小分别是vA、vB，角速度大小分别是ωA、ωB，向心加速度大小分别是aA、aB，周期大小分别是TA、TB，则( )
A．vA＝2vB B．ωA＝2ωB
C．aA＝aB D．TA＝2TB
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
3．(多选)如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，下列说法正确的是( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
4．如图所示，竖直面内有一圆弧面，其半径为R.质量为m的物体在拉力作用下沿圆弧面以恒定的速率v滑行，拉力的方向始终保持与物体的速度方向一致．已知物体与圆弧之间的动摩擦因数为μ，则物体通过圆弧面最高点P位置时拉力的大小为( )
A．μmg B．μm(g－)
C． D．m(μg－)
5．如图所示，在光滑轨道上，小球从左侧最高点滚下，经过右侧圆弧部分的最高点时恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
6．如图所示，某游乐园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒．若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
7．公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手．”这样做的目的是( )
A．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒
B．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒
C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒
D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒
8．(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
9．一名链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg 的链球，链球每1 s 转一圈，转动半径为1.5 m，取π＝3.14.求：
(1)链球的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小．
10．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量相等的8名同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，某时刻甲正好在最高点，乙处于最低点．则此时( )
A．甲与乙的线速度相同
B．甲与乙的加速度相同
C．甲与乙的所受的合外力大小相等
D．“摩天轮”对甲、乙的作用力大小相等
11．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低，如图所示，汽车的运动可看成半径为R的水平面内的匀速圆周运动．已知内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向(垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的速度应等于( )
A. B.
C. D.
12．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？(g取9.8 m/s2)
13．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度(即不出现侧向摩擦力时的速度)；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．课时作业(6) 圆周运动的实例分析
[对应学生用书P112]
1. 如图所示，某同学能让笔绕O点匀速转动，A 是笔尖上的点，B是A和O的中点．A、B 两点线速度大小分别是vA、vB，角速度大小分别是ωA、ωB，向心加速度大小分别是aA、aB，周期大小分别是TA、TB，则( )
A．vA＝2vB B．ωA＝2ωB
C．aA＝aB D．TA＝2TB
A [笔杆上的各个点都做同轴转动，所以角速度是相等的，由题意可知rB＝rA，根据v＝ωr可知vA＝2vB，故A正确，B错误；由向心加速度公式a＝ω2r可知aA＝2aB，故C错误；笔杆上的各个点都做同轴转动，所以周期是相等的，故D错误．]
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
C [火车在水平面内运动，则在竖直方向上受力平衡，即铁轨对火车的支持力FN的竖直分量与重力平衡(FNcos θ＝mg)，可得FN＝，故C正确，D错误；铁轨对火车的支持力FN的水平分量为FNsin θ＝mg tan θ，因为火车在弯道半径为R的转弯处的速度v＝，所以火车转弯时需要的向心力F＝＝mg tan θ，可知支持力的水平分量正好等于向心力大小，则火车轮缘对内外轨道无挤压，故A、B错误．]
3．(多选)如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，下列说法正确的是( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
BCD [一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－N＝m，故支持力N＝mg－m，即支持力小于重力，故A错误，B、D正确；当汽车的速度v＝时，汽车所受支持力为零，故C正确．]
4．如图所示，竖直面内有一圆弧面，其半径为R.质量为m的物体在拉力作用下沿圆弧面以恒定的速率v滑行，拉力的方向始终保持与物体的速度方向一致．已知物体与圆弧之间的动摩擦因数为μ，则物体通过圆弧面最高点P位置时拉力的大小为( )
A．μmg B．μm(g－)
C． D．m(μg－)
B [物体做匀速圆周运动，通过最高点时，沿半径方向mg－N＝m，沿切线方向，拉力F＝μN′(N′＝N)，所以F＝μm(g－)，故B正确．]
5．如图所示，在光滑轨道上，小球从左侧最高点滚下，经过右侧圆弧部分的最高点时恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
D [小球运动到最高点时，若恰好不脱离轨道，小球与轨道间压力为零，则小球只受重力作用，由重力充当向心力，故D正确．]
6．如图所示，某游乐园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒．若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
C [由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．]
7．公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手．”这样做的目的是( )
A．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒
B．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒
C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒
D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒
C [车辆转弯时车上的乘客有做离心运动的趋势，故在车辆转弯时，乘客可能向转弯的外侧倾倒，故C正确．]
8．(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
BD [座舱的周期T＝＝，A错误；根据线速度与角速度的关系得v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力的合力提供向心力，且合力大小F合＝mω2R，合力方向时刻在变化，因为座舱的重力大小、方向均不变，所以座舱所受摩天轮作用力的大小时刻在变化，故C错误，D正确．]
9．一名链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg 的链球，链球每1 s 转一圈，转动半径为1.5 m，取π＝3.14.求：
(1)链球的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小．
解析 (1)链球的角速度ω＝，故线速度为
v＝rω＝＝3π m/s＝9.42 m/s.
(2)根据向心力公式F＝m可得
F＝ N≈236.6 N.
答案 (1)9.42 m/s (2)236.6 N
10．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量相等的8名同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，某时刻甲正好在最高点，乙处于最低点．则此时( )
A．甲与乙的线速度相同
B．甲与乙的加速度相同
C．甲与乙的所受的合外力大小相等
D．“摩天轮”对甲、乙的作用力大小相等
C [由于“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，所以线速度大小相同，甲线速度方向向左，乙线速度方向向右，故A错误；根据a＝可知，加速度大小相同，甲加速度方向竖直向下，乙加速度方向竖直向上，故B错误；根据F＝可知，所受合外力大小相等，故C正确；对甲有mg－N1＝m，对乙有N2－mg＝m，则N1≠N2，即“摩天轮”对他们作用力大小不相等，故D错误．]
11．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低，如图所示，汽车的运动可看成半径为R的水平面内的匀速圆周运动．已知内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向(垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的速度应等于( )
A. B.
C. D.
B [设路面的倾角为θ，要使车轮与路面之间的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时，由路面的支持力与重力的合力提供汽车的向心力，作出汽车的受力图，如图所示．根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m，由数学知识可得tan θ＝，联立解得v＝ ，B正确．]
12．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？(g取9.8 m/s2)
解析 火车受到的支持力和重力的合力指向轨道圆心并提供向心力，如图所示．图中h为两轨高度差，d为两轨间距，α为轨道倾角，mg tan α＝m，则tan α＝；又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为tan α＝sin α＝.因此＝，又v＝72 km/h＝20 m/s，则h＝＝ m≈0.195 m.
答案 0.195 m
13．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度(即不出现侧向摩擦力时的速度)；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
解析 (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N两个力的作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，则有mg tan θ＝m eq \f(v,r)
解得v0＝＝ m/s＝20 m/s.
(2)当汽车以最大速度通过弯道时，受力分析如图乙所示．将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝N cos θ，N2＝N sin θ，
f1＝f sin θ，f2＝f cos θ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为
F向＝ mg＝ mg
根据F向＝m可得
v＝＝ m/s
＝15 m/s.
答案 (1)20 m/s (2)15 m/s课时作业(6) 圆周运动的实例分析
1. 如图所示，某同学能让笔绕O点匀速转动，A 是笔尖上的点，B是A和O的中点．A、B 两点线速度大小分别是vA、vB，角速度大小分别是ωA、ωB，向心加速度大小分别是aA、aB，周期大小分别是TA、TB，则( )
A．vA＝2vB B．ωA＝2ωB
C．aA＝aB D．TA＝2TB
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
3．(多选)如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，下列说法正确的是( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
4．如图所示，竖直面内有一圆弧面，其半径为R.质量为m的物体在拉力作用下沿圆弧面以恒定的速率v滑行，拉力的方向始终保持与物体的速度方向一致．已知物体与圆弧之间的动摩擦因数为μ，则物体通过圆弧面最高点P位置时拉力的大小为( )
A．μmg B．μm(g－)
C． D．m(μg－)
5．如图所示，在光滑轨道上，小球从左侧最高点滚下，经过右侧圆弧部分的最高点时恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
6．如图所示，某游乐园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒．若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
7．公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手．”这样做的目的是( )
A．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒
B．提醒包括坐着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒
C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒
D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒
8．(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
9．一名链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg 的链球，链球每1 s 转一圈，转动半径为1.5 m，取π＝3.14.求：
(1)链球的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小．
10．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量相等的8名同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，某时刻甲正好在最高点，乙处于最低点．则此时( )
A．甲与乙的线速度相同
B．甲与乙的加速度相同
C．甲与乙的所受的合外力大小相等
D．“摩天轮”对甲、乙的作用力大小相等
11．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低，如图所示，汽车的运动可看成半径为R的水平面内的匀速圆周运动．已知内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向(垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的速度应等于( )
A. B.
C. D.
12．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？(g取9.8 m/s2)
13．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度(即不出现侧向摩擦力时的速度)；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
