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第二章 匀速圆周运动
第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
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圆心
向心力
几个力的合力
力的作用效果
速度的方向
向心力
指向圆心
×
√
知识方法 探究
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课时作业(5)
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米第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道向心力和向心加速度的概念，理解向心力是根据力的效果命名的力．2．知道向心力和向心加速度的方向．3．学会探究向心力的大小的方法，掌握向心力公式．4．了解变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点． 1．物理观念：向心力、向心加速度．2．科学思维：分析圆周运动受力问题．3．科学探究：探究向心力的大小与物体的质量、角速度和轨道半径之间的关系．
[对应学生用书P25]
1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫作向心力．
2．向心力来源：可以是弹力或其他性质的力，可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供．
3．性质：向心力是按力的作用效果命名的力，只改变速度的方向．
[思考]
如图所示，用手抡动绳子，使绳上物体在水平面内做匀速圆周运动，物体受几个力作用？向心力是由什么力提供的？
提示 物体受重力、绳子的拉力，这两个力的合力提供向心力．
1．探究实验
向心力演示器如图所示．
匀速转动手柄1，可以使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供．球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．
探究过程中可采用控制变量法：
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
探究结论：Fn＝mω2r.
2．向心力公式
(1)F＝mω2r．
(2)F＝m.
[思考]
如图是圆锥摆的示意图．思考以下问题：
(1)摆球受哪几个力作用？
提示 两个力，即重力和绳子拉力．
(2)摆球做匀速圆周运动的向心力是多大？
提示 F＝mg tan θ.
(3)当摆球的线速度增大时，半径怎样变化？
提示 根据mg tan θ＝m可得g tan θ＝，线速度增大，半径增大．
1．定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下产生的加速度．
2．方向：与向心力的方向相同，总是指向圆心．
3．公式：a＝或a＝ω2r．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)匀速圆周运动的加速度始终不变，是匀变速运动．(×)
(2)匀速圆周运动的加速度大小不变．(√)
[对应学生用书P26]
探究点一 向心力来源的分析
有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，探究以下问题：
(1)将座椅看作质点，分析座椅受到的力，并正交分解．
提示 座椅受重力和拉力，如图所示．
(2)将拉力F分解后，指出两个分力的作用效果．
提示 F在竖直方向上的分力与重力平衡，在水平方向上的分力提供座椅做匀速圆周运动的向心力．
1．向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力．
2．向心力的特点：若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定．
3．非匀速圆周运动的向心力：若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合力在半径方向上的分力，而合力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．
如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动．
(1)关于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
(2)如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否仍指向圆心？
解析 小强的向心力由其受力中沿半径方向的合力提供．
(1)由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因而他会受到摩擦力作用，且摩擦力充当向心力，A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动，半径不变，当圆盘角速度变小时，由F＝mω2r可知，所需向心力变小，摩擦力变小，故D错误．
(2)由于小强的运动在水平面内，小强在竖直方向上受力必平衡，当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则摩擦力不再指向圆心．
答案 (1)C (2)不指向圆心
[题后总结] 明确向心力的来源是解决圆周运动问题的关键．分析向心力来源的步骤是：
(1)首先确定圆周运动的圆周所在的平面，其次找出圆心的位置；
(2)分析做圆周运动的物体所受的力，并作出受力图；
(3)这些力在指向圆心方向的合力就是向心力；
(4)还可利用公式F＝m＝mω2r＝mr求解向心力．
[训练1] 下列对圆锥摆的受力分析正确的是( )
D [圆锥摆所需的向心力由合外力提供，方向指向圆周运动的圆心，但向心力不是物体实际受到的力，圆锥摆的摆球受重力和绳的拉力作用，其合力提供向心力，只有D正确．]
[训练2] (多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，提供运动中小球所需向心力的是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [分析向心力来源时沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图．如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力．故C、D正确．]
探究点二
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示．其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
提示 B点和C点为同轴转动，角速度相同，根据a＝ω2r，向心加速度与半径成正比．
A点和B点为链条传动，线速度相同，根据a＝，向心加速度与半径成反比．
1．向心加速度不同形式的各种表达式
2．理解向心加速度的大小变化规律
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．a与r的关系图像如图所示．
由a r图像可以看出：a与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
右图为一个皮带传动装置的示意图(皮带下打滑)，轮A和轮B共轴固定在一起组成一个塔形轮，各轮半径之比RA∶RB∶RC∶RD＝2∶1∶1∶2.则在传动过程中，轮C边缘上一点和轮D边缘上一点的线速度大小之比为______，角速度之比为________，向心加速度之比为________．
解析 轮A和轮C边缘上各点的线速度大小相等，有vA＝vC
由ω＝得＝＝，即ωC＝2ωA
由a＝得＝＝，即aC＝2aA
轮A和轮B上各点的角速度相等，有ωA＝ωB
由v＝ωR得＝＝，即vB＝vA
由a＝ω2R得＝＝，即aB＝aA
轮B和轮D边缘上各点的线速度大小相等，有vB＝vD＝vA
由ω＝得＝＝，即ωD＝ωB＝ωA
由a＝得＝＝，即aD＝aB＝aA
所以＝＝2∶1，＝＝4∶1，
＝＝8∶1.
答案 2∶1 4∶1 8∶1
[题后总结] 分析此类问题的关键有三点：一是同一轮上各点的角速度相等；二是皮带不打滑时，同一皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等；三是灵活选择向心加速度的表达式．抓住了这三点，结合圆周运动中各物理量之间的关系可以很快得出正确答案．
[训练3] (多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
BD [由于皮带不打滑，则v1＝v2，由a＝有＝＝，故A错误，B正确．右边两轮共轴转动，则ω2＝ω3，又由a＝rω2得＝＝，故C错误，D正确．]
[对应学生用书P29]
1．(对向心力的理解)(多选)下列关于向心力的说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供向心力
B．匀速圆周运动的向心力是恒力
C．匀速圆周运动向心力的大小一直在变化
D．匀速圆周运动的向心力只改变物体运动的方向
AD [匀速圆周运动物体所受的合外力等于向心力，故A正确；匀速圆周运动的向心力大小不变，方向时刻改变，故B、C错误；匀速圆周运动的向心力只改变线速度的方向，不改变其大小，故D正确．]
2．(向心力的来源分析)如图所示，将一个质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球的受力情况，下列说法正确的是( )
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球受拉力和向心力的作用
C．摆球受重力和拉力的作用
D．摆球受重力和向心力的作用
C [在进行受力分析时，“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力T的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图所示．也可以认为向心力就是T沿水平方向的分力T2，显然，T沿竖直方向的分力T1与重力G平衡，故选C.]
3．(向心加速度与半径的关系)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 D．9∶16
B [由a＝ω2r及ω＝得，＝· eq \f(T,T) .因为T甲＝，T乙＝，所以＝×＝，B正确．]
4．(传动装置中向心加速度的计算)如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的.当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
解析 S点和P点的角速度相等，即ωS＝ωP.
设S和P到大轮轴心的距离分别为rS和rP，由公式a＝rω2可得，S与P两点的向心加速度之比为＝.
解得aS＝·aP＝4 m/s2.
皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等，即vP＝vQ.
设小轮半径为rQ，由向心加速度公式a＝可得，P与Q两点的向心加速度之比为＝.
解得aQ＝·aP＝24 m/s2.
答案 4 m/s2 24 m/s2
课时作业(5) 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
[对应学生用书P109]
1．物体做匀速圆周运动时，关于其受力情况，下列说法正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
D [当物体所受合力等于零时，物体将保持静止状态或匀速直线运动状态．当物体受到恒力时，物体将做匀变速运动．物体做匀速圆周运动时，所受合外力大小不变，方向始终沿着半径方向(或垂直于速度方向).]
2．如图所示，一个随水平圆盘转动的小物块，当圆盘加速转动时，小物块相对于圆盘保持静止．关于小物块的受力，下列说法正确的是( )
A．支持力增大
B．向心力变大
C．摩擦力方向指向圆心
D．合力指向圆心
B [物块所受重力与支持力平衡，静摩擦力沿半径方向的分力提供向心力，沿切线方向的分力改变速度大小，故摩擦力不指向圆心，合力也不指向圆心．由F向＝mω2r知向心力变大，故B正确．]
3．(多选)上海磁悬浮线路最大转弯处的半径达到8 000 m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m．一名质量为50 kg的乘客坐在保持360 km/h速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200 N
B．乘客受到的向心力大小约为539 N
C．乘客受到的向心力大小约为300 N
D．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适
AD [由F＝m，可得F＝200 N，故A正确；设计半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，故D正确．]
4. 如图所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根杆子间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动．当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )
A．角速度相同
B．线速度相同
C．向心加速度相同
D．所需向心力大小相同
A [小“自行车”在转动过程中，转动的周期相等，因此角速度相同，故A正确；根据v＝rω可知，线速度大小相等，但方向不同，所以B错误；根据a＝rω2可知，向心加速度大小相等，但是方向不同，在时刻变化，所以C错误；由于不知道小孩的质量关系，所以根据F＝mrω2可知，向心力大小关系不确定，D错误．]
5．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
D [物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度大小与半径的关系要在一定的前提条件下才能得出．当线速度一定时，向心加速度大小与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度大小与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以用同样方法进行讨论．]
6．(多选)如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小：aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同
C．线速度的大小：vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
BC [R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB，由a＝rω2可知：aP>aQ>aR，又由v＝rω可知vP>vQ>vR，因此A错误，B、C正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，D错误．]
7．如图所示，B和C是一组轮塔，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在运动过程中，下列关系正确的是( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
D [A、B轮间靠摩擦传动，则轮边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，故A错误；B、C两轮同轴转动，则其边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，＝＝，故B、C错误；对a、b两点，由a＝得＝＝，对b、c两点，由a＝ω2r得＝＝，故aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，故D正确．]
8．在如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴(皮带与轮不发生相对滑动).A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA＝RC＝2RB，若三个质点的线速度分别为vA、vB、vC，三质点的角速度分别为ωA、ωB、ωC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则下列关系式正确的是( )
A．aA∶aB＝1∶2 B．vA∶vC＝1∶4
C．aA∶aC＝4∶1 D．ωA∶ωC＝1∶2
C [轮A和轮B同轴转动，角速度相等，由a＝ω2r可得aA∶aB＝RA∶RB＝2∶1，故A错误；B和C通过皮带传动，线速度相等，由a＝可得aB∶aC＝RC∶RB＝2∶1，再结合aA∶aB＝2∶1，所以aA∶aC＝4∶1，C正确；由v＝ωr可得vA∶vB＝2∶1，而vB＝vC，则vA∶vC＝2∶1，B错误；由v＝ωr及vB＝vC可得ωB∶ωC＝2∶1，而ωA＝ωB，所以ωA∶ωC＝2∶1，D错误．]
9．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值．
(1)将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是______．(填字母序号)
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为__________．
解析 (1)根据F＝mrω2知，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A正确，B、C、D错误．
(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法．
(3)设左边小球的轨道半径为r1、受到的向心力大小为F1，右边小球的轨道半径为r2，受到的向心力大小为F2，则F1＝mωr1，F2＝mωr2，由题意，r1＝2r2，2F1＝F2，联立解得左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比ω1∶ω2＝1∶2.
答案 (1)A (2)控制变量法 (3)1∶2
10．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
A [圆周运动中线速度定义为单位时间内通过的圆弧长，即v＝，所以线速度大小之比为4∶3，A正确；角速度定义为单位时间内转过的弧度角，即ω＝，且运动方向改变角度等于圆心角，所以角速度大小之比为3∶2，B错误；半径R＝，即半径之比为8∶9，C错误；向心加速度a＝vω，即向心加速度大小之比为2∶1，D错误．]
11．如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来．当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
D [设两球受细线的拉力分别为F1、F2，则
对质量为m1的小球有F1＝m1r1ω
对质量为m2的小球有F2＝m2r2ω
已知F1＝F2，ω1＝ω2，
综上几式解得＝＝1∶2.]
12．(多选)如图所示，A、B两物体放在旋转的圆台上，两物体与圆台面间的动摩擦因数均为μ，两物体的质量相等，A物体离转轴的距离是B物体离转轴距离的2倍．当圆台旋转时，A、B均未滑动，则下列说法正确的是( )
A．A物体所受的摩擦力较小
B．A物体的向心加速度较大
C．当圆台的转速增加时，A先滑动
D．当圆台的转速增加时，B先滑动
BC [当A、B两物体在圆台上随圆台一起旋转时，它们所需的向心力均由圆台对物体的静摩擦力提供，所以FA＝fA＝mArAω2；FB＝fB＝mBrBω2，由题意可知rA>rB，所以fA>fB，A错误；由牛顿第二定律可知，F＝ma，a＝rω2，所以aA>aB，B正确；当圆台的转速增大时，角速度ω也随之增大，由于rA>rB，所以A物体所需向心力增大得快，所以A物体先出现合力(即摩擦力)不足以提供圆周运动所需向心力的情况，A先滑动，C正确，D错误．]
13．某赛车场地的弯形赛道如图所示，转弯处为圆心在O点的半圆，内、外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.赛车需要以最短时间通过弯道，应选择路线(赛车以不打滑的最大速率通过弯道，所选路线内赛车速率不变)( )
A．① B．②
C．③ D．①②③均可
C [赛车通过弯路的时间为其通过路程与速率的比值，则：路线①的路程为s1＝2r＋·2πr＝2r＋πr，路线②的路程为s2＝2r＋·2π·2r＝2r＋2πr，路线③的路程为s3＝2πr，因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，根据公式Fmax＝m可得v＝，根据公式t＝可得选择路线③赛车通过弯道所用时间最短，故C正确．]
14．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则
μmg＝mωr，
得ω0＝ .
(2)当ω＝ 时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时有
F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，解得F＝μmg.
答案 (1) (2)μmg第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道向心力和向心加速度的概念，理解向心力是根据力的效果命名的力．2．知道向心力和向心加速度的方向．3．学会探究向心力的大小的方法，掌握向心力公式．4．了解变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点． 1．物理观念：向心力、向心加速度．2．科学思维：分析圆周运动受力问题．3．科学探究：探究向心力的大小与物体的质量、角速度和轨道半径之间的关系．
1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫作向心力．
2．向心力来源：可以是弹力或其他性质的力，可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供．
3．性质：向心力是按力的作用效果命名的力，只改变速度的方向．
如图所示，用手抡动绳子，使绳上物体在水平面内做匀速圆周运动，物体受几个力作用？向心力是由什么力提供的？
1．探究实验
向心力演示器如图所示．
匀速转动手柄1，可以使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供．球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．
探究过程中可采用控制变量法：
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
探究结论：Fn＝mω2r.
2．向心力公式
(1)F＝mω2r．
(2)F＝m.
如图是圆锥摆的示意图．思考以下问题：
(1)摆球受哪几个力作用？
(2)摆球做匀速圆周运动的向心力是多大？
(3)当摆球的线速度增大时，半径怎样变化？
1．定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下产生的加速度．
2．方向：与向心力的方向相同，总是指向圆心．
3．公式：a＝或a＝ω2r．
(对的画“√”，错的画“×”)
(1)匀速圆周运动的加速度始终不变，是匀变速运动．(×)
(2)匀速圆周运动的加速度大小不变．(√)
探究点一 向心力来源的分析
有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，探究以下问题：
(1)将座椅看作质点，分析座椅受到的力，并正交分解．
(2)将拉力F分解后，指出两个分力的作用效果．
1．向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力．
2．向心力的特点：若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定．
3．非匀速圆周运动的向心力：若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合力在半径方向上的分力，而合力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．
如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动．
(1)关于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
(2)如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否仍指向圆心？
下列对圆锥摆的受力分析正确的是( )
(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，提供运动中小球所需向心力的是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
探究点二
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示．其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
1．向心加速度不同形式的各种表达式
2．理解向心加速度的大小变化规律
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．a与r的关系图像如图所示．
由a r图像可以看出：a与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
右图为一个皮带传动装置的示意图(皮带下打滑)，轮A和轮B共轴固定在一起组成一个塔形轮，各轮半径之比RA∶RB∶RC∶RD＝2∶1∶1∶2.则在传动过程中，轮C边缘上一点和轮D边缘上一点的线速度大小之比为______，角速度之比为________，向心加速度之比为________．
(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
1．(对向心力的理解)(多选)下列关于向心力的说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供向心力
B．匀速圆周运动的向心力是恒力
C．匀速圆周运动向心力的大小一直在变化
D．匀速圆周运动的向心力只改变物体运动的方向
2．(向心力的来源分析)如图所示，将一个质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球的受力情况，下列说法正确的是( )
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球受拉力和向心力的作用
C．摆球受重力和拉力的作用
D．摆球受重力和向心力的作用
3．(向心加速度与半径的关系)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 D．9∶16
4．(传动装置中向心加速度的计算)如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的.当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
课时作业(5) 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
1．物体做匀速圆周运动时，关于其受力情况，下列说法正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
2．如图所示，一个随水平圆盘转动的小物块，当圆盘加速转动时，小物块相对于圆盘保持静止．关于小物块的受力，下列说法正确的是( )
A．支持力增大
B．向心力变大
C．摩擦力方向指向圆心
D．合力指向圆心
3．(多选)上海磁悬浮线路最大转弯处的半径达到8 000 m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m．一名质量为50 kg的乘客坐在保持360 km/h速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200 N
B．乘客受到的向心力大小约为539 N
C．乘客受到的向心力大小约为300 N
D．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适
4. 如图所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根杆子间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动．当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )
A．角速度相同
B．线速度相同
C．向心加速度相同
D．所需向心力大小相同
5．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
6．(多选)如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小：aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同
C．线速度的大小：vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
7．如图所示，B和C是一组轮塔，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在运动过程中，下列关系正确的是( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
8．在如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴(皮带与轮不发生相对滑动).A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA＝RC＝2RB，若三个质点的线速度分别为vA、vB、vC，三质点的角速度分别为ωA、ωB、ωC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则下列关系式正确的是( )
A．aA∶aB＝1∶2 B．vA∶vC＝1∶4
C．aA∶aC＝4∶1 D．ωA∶ωC＝1∶2
9．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值．
(1)将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是______．(填字母序号)
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为__________．
10．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
11．如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来．当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
12．(多选)如图所示，A、B两物体放在旋转的圆台上，两物体与圆台面间的动摩擦因数均为μ，两物体的质量相等，A物体离转轴的距离是B物体离转轴距离的2倍．当圆台旋转时，A、B均未滑动，则下列说法正确的是( )
A．A物体所受的摩擦力较小
B．A物体的向心加速度较大
C．当圆台的转速增加时，A先滑动
D．当圆台的转速增加时，B先滑动
13．某赛车场地的弯形赛道如图所示，转弯处为圆心在O点的半圆，内、外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.赛车需要以最短时间通过弯道，应选择路线(赛车以不打滑的最大速率通过弯道，所选路线内赛车速率不变)( )
A．① B．②
C．③ D．①②③均可
14．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．课时作业(5) 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
[对应学生用书P109]
1．物体做匀速圆周运动时，关于其受力情况，下列说法正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
D [当物体所受合力等于零时，物体将保持静止状态或匀速直线运动状态．当物体受到恒力时，物体将做匀变速运动．物体做匀速圆周运动时，所受合外力大小不变，方向始终沿着半径方向(或垂直于速度方向).]
2．如图所示，一个随水平圆盘转动的小物块，当圆盘加速转动时，小物块相对于圆盘保持静止．关于小物块的受力，下列说法正确的是( )
A．支持力增大
B．向心力变大
C．摩擦力方向指向圆心
D．合力指向圆心
B [物块所受重力与支持力平衡，静摩擦力沿半径方向的分力提供向心力，沿切线方向的分力改变速度大小，故摩擦力不指向圆心，合力也不指向圆心．由F向＝mω2r知向心力变大，故B正确．]
3．(多选)上海磁悬浮线路最大转弯处的半径达到8 000 m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m．一名质量为50 kg的乘客坐在保持360 km/h速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200 N
B．乘客受到的向心力大小约为539 N
C．乘客受到的向心力大小约为300 N
D．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适
AD [由F＝m，可得F＝200 N，故A正确；设计半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，故D正确．]
4. 如图所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根杆子间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动．当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )
A．角速度相同
B．线速度相同
C．向心加速度相同
D．所需向心力大小相同
A [小“自行车”在转动过程中，转动的周期相等，因此角速度相同，故A正确；根据v＝rω可知，线速度大小相等，但方向不同，所以B错误；根据a＝rω2可知，向心加速度大小相等，但是方向不同，在时刻变化，所以C错误；由于不知道小孩的质量关系，所以根据F＝mrω2可知，向心力大小关系不确定，D错误．]
5．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
D [物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度大小与半径的关系要在一定的前提条件下才能得出．当线速度一定时，向心加速度大小与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度大小与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以用同样方法进行讨论．]
6．(多选)如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小：aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同
C．线速度的大小：vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
BC [R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB，由a＝rω2可知：aP>aQ>aR，又由v＝rω可知vP>vQ>vR，因此A错误，B、C正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，D错误．]
7．如图所示，B和C是一组轮塔，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在运动过程中，下列关系正确的是( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
D [A、B轮间靠摩擦传动，则轮边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，故A错误；B、C两轮同轴转动，则其边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，＝＝，故B、C错误；对a、b两点，由a＝得＝＝，对b、c两点，由a＝ω2r得＝＝，故aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，故D正确．]
8．在如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴(皮带与轮不发生相对滑动).A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA＝RC＝2RB，若三个质点的线速度分别为vA、vB、vC，三质点的角速度分别为ωA、ωB、ωC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则下列关系式正确的是( )
A．aA∶aB＝1∶2 B．vA∶vC＝1∶4
C．aA∶aC＝4∶1 D．ωA∶ωC＝1∶2
C [轮A和轮B同轴转动，角速度相等，由a＝ω2r可得aA∶aB＝RA∶RB＝2∶1，故A错误；B和C通过皮带传动，线速度相等，由a＝可得aB∶aC＝RC∶RB＝2∶1，再结合aA∶aB＝2∶1，所以aA∶aC＝4∶1，C正确；由v＝ωr可得vA∶vB＝2∶1，而vB＝vC，则vA∶vC＝2∶1，B错误；由v＝ωr及vB＝vC可得ωB∶ωC＝2∶1，而ωA＝ωB，所以ωA∶ωC＝2∶1，D错误．]
9．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值．
(1)将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是______．(填字母序号)
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为__________．
解析 (1)根据F＝mrω2知，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A正确，B、C、D错误．
(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法．
(3)设左边小球的轨道半径为r1、受到的向心力大小为F1，右边小球的轨道半径为r2，受到的向心力大小为F2，则F1＝mωr1，F2＝mωr2，由题意，r1＝2r2，2F1＝F2，联立解得左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比ω1∶ω2＝1∶2.
答案 (1)A (2)控制变量法 (3)1∶2
10．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
A [圆周运动中线速度定义为单位时间内通过的圆弧长，即v＝，所以线速度大小之比为4∶3，A正确；角速度定义为单位时间内转过的弧度角，即ω＝，且运动方向改变角度等于圆心角，所以角速度大小之比为3∶2，B错误；半径R＝，即半径之比为8∶9，C错误；向心加速度a＝vω，即向心加速度大小之比为2∶1，D错误．]
11．如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来．当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
D [设两球受细线的拉力分别为F1、F2，则
对质量为m1的小球有F1＝m1r1ω
对质量为m2的小球有F2＝m2r2ω
已知F1＝F2，ω1＝ω2，
综上几式解得＝＝1∶2.]
12．(多选)如图所示，A、B两物体放在旋转的圆台上，两物体与圆台面间的动摩擦因数均为μ，两物体的质量相等，A物体离转轴的距离是B物体离转轴距离的2倍．当圆台旋转时，A、B均未滑动，则下列说法正确的是( )
A．A物体所受的摩擦力较小
B．A物体的向心加速度较大
C．当圆台的转速增加时，A先滑动
D．当圆台的转速增加时，B先滑动
BC [当A、B两物体在圆台上随圆台一起旋转时，它们所需的向心力均由圆台对物体的静摩擦力提供，所以FA＝fA＝mArAω2；FB＝fB＝mBrBω2，由题意可知rA>rB，所以fA>fB，A错误；由牛顿第二定律可知，F＝ma，a＝rω2，所以aA>aB，B正确；当圆台的转速增大时，角速度ω也随之增大，由于rA>rB，所以A物体所需向心力增大得快，所以A物体先出现合力(即摩擦力)不足以提供圆周运动所需向心力的情况，A先滑动，C正确，D错误．]
13．某赛车场地的弯形赛道如图所示，转弯处为圆心在O点的半圆，内、外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.赛车需要以最短时间通过弯道，应选择路线(赛车以不打滑的最大速率通过弯道，所选路线内赛车速率不变)( )
A．① B．②
C．③ D．①②③均可
C [赛车通过弯路的时间为其通过路程与速率的比值，则：路线①的路程为s1＝2r＋·2πr＝2r＋πr，路线②的路程为s2＝2r＋·2π·2r＝2r＋2πr，路线③的路程为s3＝2πr，因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，根据公式Fmax＝m可得v＝，根据公式t＝可得选择路线③赛车通过弯道所用时间最短，故C正确．]
14．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则
μmg＝mωr，
得ω0＝ .
(2)当ω＝ 时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时有
F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，解得F＝μmg.
答案 (1) (2)μmg课时作业(5) 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
1．物体做匀速圆周运动时，关于其受力情况，下列说法正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
2．如图所示，一个随水平圆盘转动的小物块，当圆盘加速转动时，小物块相对于圆盘保持静止．关于小物块的受力，下列说法正确的是( )
A．支持力增大
B．向心力变大
C．摩擦力方向指向圆心
D．合力指向圆心
3．(多选)上海磁悬浮线路最大转弯处的半径达到8 000 m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m．一名质量为50 kg的乘客坐在保持360 km/h速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200 N
B．乘客受到的向心力大小约为539 N
C．乘客受到的向心力大小约为300 N
D．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适
4. 如图所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根杆子间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动．当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )
A．角速度相同
B．线速度相同
C．向心加速度相同
D．所需向心力大小相同
5．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
6．(多选)如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是( )
A．向心加速度的大小：aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同
C．线速度的大小：vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
7．如图所示，B和C是一组轮塔，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在运动过程中，下列关系正确的是( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
8．在如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴(皮带与轮不发生相对滑动).A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA＝RC＝2RB，若三个质点的线速度分别为vA、vB、vC，三质点的角速度分别为ωA、ωB、ωC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则下列关系式正确的是( )
A．aA∶aB＝1∶2 B．vA∶vC＝1∶4
C．aA∶aC＝4∶1 D．ωA∶ωC＝1∶2
9．如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值．
(1)将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是______．(填字母序号)
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为__________．
10．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
11．如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来．当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．2∶1 D．1∶2
12．(多选)如图所示，A、B两物体放在旋转的圆台上，两物体与圆台面间的动摩擦因数均为μ，两物体的质量相等，A物体离转轴的距离是B物体离转轴距离的2倍．当圆台旋转时，A、B均未滑动，则下列说法正确的是( )
A．A物体所受的摩擦力较小
B．A物体的向心加速度较大
C．当圆台的转速增加时，A先滑动
D．当圆台的转速增加时，B先滑动
13．某赛车场地的弯形赛道如图所示，转弯处为圆心在O点的半圆，内、外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.赛车需要以最短时间通过弯道，应选择路线(赛车以不打滑的最大速率通过弯道，所选路线内赛车速率不变)( )
A．① B．②
C．③ D．①②③均可
14．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．
