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第二章 匀速圆周运动
第1节 圆周运动
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教材知识 梳理
运动轨迹
圆弧长度
弧长
时间
运动
切线
改变
变速
角度
时间
弧度每秒
rad/s
轴(或圆心)
一周
s
圈数
rω
×
√
知识方法 探究
续表
续表
随堂达标 训练
课时作业(4)
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米米：
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米第1节 圆周运动
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道匀速圆周运动．2．理解线速度、角速度、周期的概念．3．学会分析一些传动装置，掌握线速度、角速度、周期之间的关系． 1．物理观念：线速度、角速度、周期、匀速圆周运动．2．科学思维：传动装置模型(如同轴转动、皮带传动、齿轮传动)中线速度与角速度的关系．3．科学态度与责任：认识各种生活用品和机械传动中的圆周运动．
[对应学生用书P20]
圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．
(1)摩天轮 (2)螺旋桨 (3)表针
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在任意相等时间内通过的圆弧长度都相等的运动．
2．线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值，v＝．
(2)意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．
(3)方向：物体做圆周运动时该点的切线方向．
(4)说明：匀速圆周运动的线速度的方向是时刻改变的，所以它是一种变速运动．
3．角速度
(1)定义：做圆周运动的物体，半径转过的角度与所用时间的比值．
(2)定义式：ω＝．
(3)单位：弧度每秒，符号为rad/s或rad·s－1．
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕轴(或圆心)转动快慢的物理量．
4．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，单位是s．
5．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示．单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min).
[思考]
自行车大齿轮和小齿轮通过链条传动，两齿轮转动的角速度是否相同？
提示 不相同．
1．线速度和周期：v＝．
2．角速度和周期：ω＝．
3．线速度和角速度：v＝rω．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体，角速度大的线速度一定大．(×)
(2)做匀速圆周运动的物体，周期大的角速度一定小.(√)
[对应学生用书P21]
探究点一 描述圆周运动物理量的理解
如图，观察时钟指针和风力发电机扇叶的转动情况，思考以下问题：
(1)要描述指针或扇叶尖端运动的快慢，需要用什么物理量？
提示 线速度．
(2)要描述指针转动的快慢，可以用哪些物理量？
提示 角速度、周期、转速都可以．
(3)时钟的时针、分针和秒针的角速度和周期之比是多少？
提示 秒针转动一周用的时间是60 s，分针转动一周用的时间是3 600 s，时针转动一周用的时间是
3 600×12 s＝43 200 s.
故时针、分针、秒针的周期之比为
43 200∶3 600∶60＝720∶60∶1.
根据ω＝，角速度之比为
∶∶1＝1∶12∶720.
1．圆周运动物理量的物理意义：线速度、角速度、周期、转速都是用来描述质点做圆周运动快慢的，但它们描述的角度不同．
(1)线速度v描述质点运动的快慢．
(2)角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢．
2．圆周运动物理量的相互关系
(1)v＝ωr＝，即r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比．
(2)ω＝＝＝2πn，即r一定时，ω与v成正比；v一定时，ω与r成反比．
[特别提醒] 线速度大的物体，其角速度不一定大，由ω＝可知，若v大，r也很大，则角速度ω可能很小．
(1)v、ω、r的关系是瞬时对应的．
(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．
(3)若比较物体沿圆周运动的快慢，则看线速度；若比较物体绕圆心转动的快慢，则看角速度或周期．
某品牌电动自行车的铭牌如下：
车型：20寸(车轮直径：508 mm) 电池规格：36 V，12 A·h(蓄电量)
整车质量：40 kg 额定转速：210 r/min
外形尺寸：L1 800 mm×W650 mm×H1 100 mm 充电时间：2～8 h
电机：后轮驱动、直流永磁式电机 额定工作电压/电流：36 V/5 A
根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定速度约为( )
A．15 km/h B．18 km/h
C．20 km/h D．25 km/h
[思路点拨] 车的速度与车轮边缘的线速度大小相等，再根据ω＝和v＝ωr可求得车速．
C [由题意可知额定转速n＝210 r/min，则车轮转动的角速度ω＝＝7π rad/s.已知车轮直径d＝508 mm，则车轮半径r＝＝0.254 m，故车轮转动的线速度v＝ωr＝7π×0.254 m/s≈5.6 m/s≈20 km/h.]
[题后总结]
(1)将车轮的转动看作匀速圆周运动．
(2)先根据转速计算角速度，ω＝，要特别注意转速的单位．
(3)确定半径，根据v＝ωr计算车轮边缘的线速度，线速度和车前进的速度大小相等．
[训练1] 手表的秒针的长度是分针长度的1.5倍，则秒针末端的线速度与分针末端的线速度之比为( )
A．90∶1 B．1∶18
C．1∶90 D．18∶1
A [秒针与分针的角速度之比ω1∶ω2＝60∶1，由v＝ωr得v1∶v2＝(ω1r1)∶(ω2r2)＝90∶1，所以A正确．]
[训练2] 一名做匀速圆周运动的同学，10 s内沿半径为20 m的圆周运动的路程为50 m，试求该同学做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
解析 (1)由线速度的定义式v＝得
v＝＝ m/s＝5 m/s.
(2)由v＝ωr得ω＝＝ rad/s＝0.25 rad/s.
(3)由ω＝得T＝＝ s＝8π s.
答案 (1)5 m/s (2)0.25 rad/s (3)8π s
探究点二 常见的传动装置
图甲为磁带录音机的磁带盒，可简化为图乙所示的传动模型，A、B为缠绕磁带的两个轮子，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径R＝3r.现在进行倒带，使磁带绕到A轮上，倒带时A轮是主动轮，其角速度是恒定的，B轮是从动轮．
思考以下问题：
(1)开始倒带时，A轮和B轮的角速度是否相等？A轮磁带外缘上某点的线速度和B轮磁带外缘上某点的线速度是否相等？
提示 角速度不相等，线速度大小相等．
(2)从开始倒带到磁带全部绕到A轮上，磁带的运动速度怎样变化？B轮的角速度怎样变化？
提示 都是逐渐增大．
装置 特点
同轴转动 (1)角速度相同，即ωA＝ωB(2)周期相同，即TA＝TB(3)线速度与半径成正比，即＝
皮带传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB(2)周期与半径成正比，即＝(3)角速度与半径成反比，即＝
齿轮传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB(2)周期与半径成正比，即＝(3)角速度与半径成反比，即＝
下图为一辆自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进．
(1)自行车牙盘的半径一般要大于飞轮的半径，想一想，这是为什么？
(2)设L1＝18 cm，r1＝12 cm，r2＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩踏板几圈．(结果保留整数)
(3)若某种变速自行车有6个飞轮和3个牙盘，牙盘和飞轮的齿数如下表所示，若人骑该车行进的速度一定，选用哪种齿数的牙盘和飞轮，人踩脚踏板的角速度最小？为什么？
名称 牙盘 飞轮
齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28
解析 (1)通过链条相连的牙盘和飞轮边缘的线速度相同，当牙盘的半径大于飞轮的半径时，由v＝ωr知，人踩脚踏板的角速度小于飞轮的角速度．
(2)设牙盘转动的角速度为ω1，转速为n，自行车后轮转动的角速度(即飞轮的角速度)为ω2，则ω2＝＝ rad/s＝10 rad/s.由ω2r2＝ω1r1得ω1＝ω1＝ω1＝5 rad/s，则n＝＝ r/s＝ r/min≈48 r/min，即每分钟要踩踏板48圈．
(3)由(2)知＝，不管牙盘还是飞轮，相邻的两齿间的弧长相同，故有＝，从而＝，故ω1＝·ω2＝·.由于v、R一定，当最小时，ω1最小，故应选齿数为15的飞轮和齿数为48的牙盘．
答案 (1)见解析 (2)48圈 (3)见解析
[题后总结] 传动问题是圆周运动中的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr与半径r成正比；
(2)通过链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝与半径r成反比．
[训练3] 《天工开物》一书中就有牛力齿轮水车的图画(如图所示)，体现了我国古代劳动人民的劳动智慧．若A、B、C三个齿轮半径的大小关系为rA＞rB＞rC，则( )
A．齿轮A的角速度比C的小
B．齿轮A与B角速度大小相等
C．齿轮B与C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比C边缘的小
A [齿轮A与齿轮B是同缘传动，边缘点线速度相等，根据公式可知，半径比较大的A的角速度小于B的角速度．而B与C是同轴传动，角速度相等，所以齿轮A的角速度比C的小，A正确，B错误；B、C两轮属于同轴转动，故角速度相等，根据公式v＝ωr可知，半径比较大的齿轮B边缘的线速度比C大，C错误；齿轮A、B边缘的线速度相等，齿轮B边缘的线速度比C大，所以齿轮A边缘的线速度比C的大，D错误．]
[训练4] (多选)如图所示是自行车传动结构的示意图，假设脚踏板每2 s转1圈，要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，还需要测量的物理量是( )
A．大齿轮的半径 B．小齿轮的半径
C．后轮的半径 D．链条的长度
ABC [脚踏板每2 s转1圈，则脚踏板的角速度ω＝ rad/s＝π rad/s，则大齿轮的角速度为π rad/s.设后轮的半径为R，因为大、小齿轮的线速度相等(ω1r1＝ω2r2)，所以ω2＝，小齿轮和后轮的角速度相等，则后轮边缘某点的线速度v＝Rω2＝R＝，此即为自行车前进的速度，所以还需要测量大齿轮半径r1、小齿轮半径r2和后轮的半径R，故选A、B、C.]
[对应学生用书P24]
1．(匀速圆周运动)(多选)下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的线速度不变
D．匀速圆周运动的角速度不变
BD [匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻改变，故A、C错误，B正确；匀速圆周运动中角速度是不变的，故D正确．]
2．(角速度和线速度的关系)如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的转动半径都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
A [物体随地球一起转动时，周期都等于地球的自转周期，所以它们的周期是相同的，所以角速度一定相同，故A正确，D错误；由v＝ωr可知，地球上的物体的转动半径是以转轴为中心的半径，因为不同纬度上的物体的转动半径不同，所以它们的线速度大小是不相同的，故B、C错误．]
3．(同轴转动和皮带传动)(多选)如图所示为一个不打滑的皮带传动装置，a、b分别是两轮边缘上的两点，c处在O1轮上，且有ra＝2rb＝2rc，则下列关系正确的是( )
A．va＝vb B．ωa＝ωb
C．va＝vc D．ωa＝ωc
AD []
4．(转速、周期、角速度、线速度)一台汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)曲轴上距转轴r＝0.2 m点的线速度．
解析 由题意可知曲轴转速n＝40 r/s.
(1)曲轴转动周期T＝＝0.025 s.
角速度ω＝2πn＝80π rad/s.
(2)距转轴r＝0.2 m点的线速度为
v＝ωr＝16π m/s.
答案 (1)0.025 s 80π rad/s (2)16π m/s
课时作业(4) 圆周运动
[对应学生用书P107]
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．相等的时间里通过的路程相等
B．相等的时间里通过的弧长相等
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等
ABD [匀速圆周运动是曲线运动，物体转过的弧长等于物体运动的路程，依据匀速圆周运动的概念可知“相等的时间内通过的弧长相等”，即相等的时间内通过的路程相等，故A、B正确；依据位移的定义可知，相等时间内位移的方向可能不相同，故C错误；因为在匀速圆周运动中角速度不变，故D正确．]
2．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
C [甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，则有v1＝，v2＝，即v1＜v2.ω1＝，ω2＝，则ω1＝ω2，故C正确．]
3．(多选)如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点．当叶片转动时，这三点的( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．周期都相等
CD [A、B、C属于同轴转动，故它们的角速度、周期相等，C、D正确；由v＝ωr知，它们的半径r不相等，故线速度的大小不相等，A错误；由于是做圆周运动，故线速度的方向位于切线方向，B错误．]
4．(多选)一个小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为 2 m，角速度为1 rad/s，则( )
A．小球的线速度大小为2 m/s
B．小球在3 s的时间内通过的路程为6 m
C．小球做圆周运动的周期为5 s
D．以上说法都不正确
AB [由v＝ωr知线速度大小为2 m/s，故A正确；3 s内通过的路程s＝vt＝6 m，故B正确；由T＝知周期为 2π s，故C错误．]
5．如图所示，两轮用齿轮传动，且不打滑，图中两轮的边缘上有A、B两点，它们到各自转轴O1、O2的距离分别为rA、rB，且rA＞rB.当轮子转动时，这两点的角速度分别为ωA和ωB，线速度的大小分别为vA和vB，则下列关系式正确的是( )
A．ωA＝ωB B．ωA＞ωB
C．vA＝vB D．vB＜vA
C [由齿轮传动特点可知vA＝vB，故C正确，D错误；再由v＝ωr，rA＞rB，可知ωA＜ωB，故A、B错误．]
6．有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．下列说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
B [树木开始倒下时，树干各处的角速度一样大，故A错误；由T＝知，树各处的周期也一样大，故C错误；由v＝ωr 知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故B正确．]
7．风速仪结构如图甲所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图乙所示，则该时间段内风轮叶片的( )
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
B [根据题意，从图乙可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt时间内可以从图看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l＝4n×2πr，叶片转动的平均速率为v＝，故B正确．]
8．在如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度大小之比．
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ①
由v＝ωr得
ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb∶ωc＝1∶1③
由v＝ωr得
vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ④
ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④式得
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
答案 ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
9．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
A． B．
C． D．
B [设小球1、2做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，且r1＋r2＝L，所以小球2到转轴O的距离r2＝，B正确．]
10．如图所示，半径为R的大圆盘以角速度ω在水平面上旋转．某士兵站在圆盘边缘P点上并随圆盘一起转动，他想用枪击中在圆盘中心转轴上的目标O，若子弹离开枪口时的水平速度为v0(在地面上射击时测得)，则( )
A．应瞄准目标O射击
B．应向PO的右方偏过角度θ射击，且cos θ＝
C．应向PO的左方偏过角度θ射击，且tan θ＝
D．应向PO的左方偏过角度θ射击，且sin θ＝
D [子弹同时参与两个运动：沿P点切线方向的匀速运动(速度为ωR)和沿枪口方向的匀速运动，合成的速度沿PO方向，如图所示．应向PO的左方偏过角度θ射击，且sin θ＝，故D正确．]
11．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v和圆盘转动的角速度ω.
解析 小球做平抛运动，在竖直方向上h＝
gt2，则运动时间t＝.
又因为水平位移为R，所以小球的速度为
v＝＝R·.
在时间t内圆盘转过的角度为
θ＝n·2π(n＝1，2，3……).
又因为θ＝ωt，则转盘的角速度为
ω＝＝2nπ(n＝1，2，3……).
答案 R· 2nπ(n＝1，2，3……)第1节 圆周运动
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道匀速圆周运动．2．理解线速度、角速度、周期的概念．3．学会分析一些传动装置，掌握线速度、角速度、周期之间的关系． 1．物理观念：线速度、角速度、周期、匀速圆周运动．2．科学思维：传动装置模型(如同轴转动、皮带传动、齿轮传动)中线速度与角速度的关系．3．科学态度与责任：认识各种生活用品和机械传动中的圆周运动．
[对应学生用书P20]
圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．
(1)摩天轮 (2)螺旋桨 (3)表针
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在任意相等时间内通过的圆弧长度都相等的运动．
2．线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值，v＝．
(2)意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．
(3)方向：物体做圆周运动时该点的切线方向．
(4)说明：匀速圆周运动的线速度的方向是时刻改变的，所以它是一种变速运动．
3．角速度
(1)定义：做圆周运动的物体，半径转过的角度与所用时间的比值．
(2)定义式：ω＝．
(3)单位：弧度每秒，符号为rad/s或rad·s－1．
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕轴(或圆心)转动快慢的物理量．
4．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，单位是s．
5．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示．单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min).
[思考]
自行车大齿轮和小齿轮通过链条传动，两齿轮转动的角速度是否相同？
1．线速度和周期：v＝．
2．角速度和周期：ω＝．
3．线速度和角速度：v＝rω．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体，角速度大的线速度一定大．(×)
(2)做匀速圆周运动的物体，周期大的角速度一定小.(√)
[对应学生用书P21]
探究点一 描述圆周运动物理量的理解
如图，观察时钟指针和风力发电机扇叶的转动情况，思考以下问题：
(1)要描述指针或扇叶尖端运动的快慢，需要用什么物理量？
(2)要描述指针转动的快慢，可以用哪些物理量？
(3)时钟的时针、分针和秒针的角速度和周期之比是多少？
1．圆周运动物理量的物理意义：线速度、角速度、周期、转速都是用来描述质点做圆周运动快慢的，但它们描述的角度不同．
(1)线速度v描述质点运动的快慢．
(2)角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢．
2．圆周运动物理量的相互关系
(1)v＝ωr＝，即r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比．
(2)ω＝＝＝2πn，即r一定时，ω与v成正比；v一定时，ω与r成反比．
[特别提醒] 线速度大的物体，其角速度不一定大，由ω＝可知，若v大，r也很大，则角速度ω可能很小．
(1)v、ω、r的关系是瞬时对应的．
(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．
(3)若比较物体沿圆周运动的快慢，则看线速度；若比较物体绕圆心转动的快慢，则看角速度或周期．
某品牌电动自行车的铭牌如下：
车型：20寸(车轮直径：508 mm) 电池规格：36 V，12 A·h(蓄电量)
整车质量：40 kg 额定转速：210 r/min
外形尺寸：L1 800 mm×W650 mm×H1 100 mm 充电时间：2～8 h
电机：后轮驱动、直流永磁式电机 额定工作电压/电流：36 V/5 A
根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定速度约为( )
A．15 km/h B．18 km/h
C．20 km/h D．25 km/h
[训练1] 手表的秒针的长度是分针长度的1.5倍，则秒针末端的线速度与分针末端的线速度之比为( )
A．90∶1 B．1∶18
C．1∶90 D．18∶1
[训练2] 一名做匀速圆周运动的同学，10 s内沿半径为20 m的圆周运动的路程为50 m，试求该同学做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
探究点二 常见的传动装置
图甲为磁带录音机的磁带盒，可简化为图乙所示的传动模型，A、B为缠绕磁带的两个轮子，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径R＝3r.现在进行倒带，使磁带绕到A轮上，倒带时A轮是主动轮，其角速度是恒定的，B轮是从动轮．
思考以下问题：
(1)开始倒带时，A轮和B轮的角速度是否相等？A轮磁带外缘上某点的线速度和B轮磁带外缘上某点的线速度是否相等？
(2)从开始倒带到磁带全部绕到A轮上，磁带的运动速度怎样变化？B轮的角速度怎样变化？
装置 特点
同轴转动 (1)角速度相同，即ωA＝ωB(2)周期相同，即TA＝TB(3)线速度与半径成正比，即＝
皮带传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB(2)周期与半径成正比，即＝(3)角速度与半径成反比，即＝
齿轮传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB(2)周期与半径成正比，即＝(3)角速度与半径成反比，即＝
下图为一辆自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进．
(1)自行车牙盘的半径一般要大于飞轮的半径，想一想，这是为什么？
(2)设L1＝18 cm，r1＝12 cm，r2＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩踏板几圈．(结果保留整数)
(3)若某种变速自行车有6个飞轮和3个牙盘，牙盘和飞轮的齿数如下表所示，若人骑该车行进的速度一定，选用哪种齿数的牙盘和飞轮，人踩脚踏板的角速度最小？为什么？
名称 牙盘 飞轮
齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28
[训练3] 《天工开物》一书中就有牛力齿轮水车的图画(如图所示)，体现了我国古代劳动人民的劳动智慧．若A、B、C三个齿轮半径的大小关系为rA＞rB＞rC，则( )
A．齿轮A的角速度比C的小
B．齿轮A与B角速度大小相等
C．齿轮B与C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比C边缘的小
[训练4] (多选)如图所示是自行车传动结构的示意图，假设脚踏板每2 s转1圈，要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，还需要测量的物理量是( )
A．大齿轮的半径 B．小齿轮的半径
C．后轮的半径 D．链条的长度
[对应学生用书P24]
1．(匀速圆周运动)(多选)下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的线速度不变
D．匀速圆周运动的角速度不变
2．(角速度和线速度的关系)如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的转动半径都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
3．(同轴转动和皮带传动)(多选)如图所示为一个不打滑的皮带传动装置，a、b分别是两轮边缘上的两点，c处在O1轮上，且有ra＝2rb＝2rc，则下列关系正确的是( )
A．va＝vb B．ωa＝ωb
C．va＝vc D．ωa＝ωc
4．(转速、周期、角速度、线速度)一台汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)曲轴上距转轴r＝0.2 m点的线速度．
课时作业(4) 圆周运动
[对应学生用书P107]
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．相等的时间里通过的路程相等
B．相等的时间里通过的弧长相等
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等
2．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
3．(多选)如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点．当叶片转动时，这三点的( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．周期都相等
4．(多选)一个小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为 2 m，角速度为1 rad/s，则( )
A．小球的线速度大小为2 m/s
B．小球在3 s的时间内通过的路程为6 m
C．小球做圆周运动的周期为5 s
D．以上说法都不正确
5．如图所示，两轮用齿轮传动，且不打滑，图中两轮的边缘上有A、B两点，它们到各自转轴O1、O2的距离分别为rA、rB，且rA＞rB.当轮子转动时，这两点的角速度分别为ωA和ωB，线速度的大小分别为vA和vB，则下列关系式正确的是( )
A．ωA＝ωB B．ωA＞ωB
C．vA＝vB D．vB＜vA
6．有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．下列说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
7．风速仪结构如图甲所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图乙所示，则该时间段内风轮叶片的( )
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
8．在如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度大小之比．
9．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
A． B．
C． D．
10．如图所示，半径为R的大圆盘以角速度ω在水平面上旋转．某士兵站在圆盘边缘P点上并随圆盘一起转动，他想用枪击中在圆盘中心转轴上的目标O，若子弹离开枪口时的水平速度为v0(在地面上射击时测得)，则( )
A．应瞄准目标O射击
B．应向PO的右方偏过角度θ射击，且cos θ＝
C．应向PO的左方偏过角度θ射击，且tan θ＝
D．应向PO的左方偏过角度θ射击，且sin θ＝
11．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v和圆盘转动的角速度ω.课时作业(4) 圆周运动
[对应学生用书P107]
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．相等的时间里通过的路程相等
B．相等的时间里通过的弧长相等
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等
ABD [匀速圆周运动是曲线运动，物体转过的弧长等于物体运动的路程，依据匀速圆周运动的概念可知“相等的时间内通过的弧长相等”，即相等的时间内通过的路程相等，故A、B正确；依据位移的定义可知，相等时间内位移的方向可能不相同，故C错误；因为在匀速圆周运动中角速度不变，故D正确．]
2．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
C [甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，则有v1＝，v2＝，即v1＜v2.ω1＝，ω2＝，则ω1＝ω2，故C正确．]
3．(多选)如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点．当叶片转动时，这三点的( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．周期都相等
CD [A、B、C属于同轴转动，故它们的角速度、周期相等，C、D正确；由v＝ωr知，它们的半径r不相等，故线速度的大小不相等，A错误；由于是做圆周运动，故线速度的方向位于切线方向，B错误．]
4．(多选)一个小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为 2 m，角速度为1 rad/s，则( )
A．小球的线速度大小为2 m/s
B．小球在3 s的时间内通过的路程为6 m
C．小球做圆周运动的周期为5 s
D．以上说法都不正确
AB [由v＝ωr知线速度大小为2 m/s，故A正确；3 s内通过的路程s＝vt＝6 m，故B正确；由T＝知周期为 2π s，故C错误．]
5．如图所示，两轮用齿轮传动，且不打滑，图中两轮的边缘上有A、B两点，它们到各自转轴O1、O2的距离分别为rA、rB，且rA＞rB.当轮子转动时，这两点的角速度分别为ωA和ωB，线速度的大小分别为vA和vB，则下列关系式正确的是( )
A．ωA＝ωB B．ωA＞ωB
C．vA＝vB D．vB＜vA
C [由齿轮传动特点可知vA＝vB，故C正确，D错误；再由v＝ωr，rA＞rB，可知ωA＜ωB，故A、B错误．]
6．有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．下列说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
B [树木开始倒下时，树干各处的角速度一样大，故A错误；由T＝知，树各处的周期也一样大，故C错误；由v＝ωr 知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故B正确．]
7．风速仪结构如图甲所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图乙所示，则该时间段内风轮叶片的( )
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
B [根据题意，从图乙可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt时间内可以从图看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l＝4n×2πr，叶片转动的平均速率为v＝，故B正确．]
8．在如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度大小之比．
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ①
由v＝ωr得
ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb∶ωc＝1∶1③
由v＝ωr得
vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ④
ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④式得
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
答案 ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
9．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
A． B．
C． D．
B [设小球1、2做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，且r1＋r2＝L，所以小球2到转轴O的距离r2＝，B正确．]
10．如图所示，半径为R的大圆盘以角速度ω在水平面上旋转．某士兵站在圆盘边缘P点上并随圆盘一起转动，他想用枪击中在圆盘中心转轴上的目标O，若子弹离开枪口时的水平速度为v0(在地面上射击时测得)，则( )
A．应瞄准目标O射击
B．应向PO的右方偏过角度θ射击，且cos θ＝
C．应向PO的左方偏过角度θ射击，且tan θ＝
D．应向PO的左方偏过角度θ射击，且sin θ＝
D [子弹同时参与两个运动：沿P点切线方向的匀速运动(速度为ωR)和沿枪口方向的匀速运动，合成的速度沿PO方向，如图所示．应向PO的左方偏过角度θ射击，且sin θ＝，故D正确．]
11．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v和圆盘转动的角速度ω.
解析 小球做平抛运动，在竖直方向上h＝
gt2，则运动时间t＝.
又因为水平位移为R，所以小球的速度为
v＝＝R·.
在时间t内圆盘转过的角度为
θ＝n·2π(n＝1，2，3……).
又因为θ＝ωt，则转盘的角速度为
ω＝＝2nπ(n＝1，2，3……).
答案 R· 2nπ(n＝1，2，3……)课时作业(4) 圆周运动
[对应学生用书P107]
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．相等的时间里通过的路程相等
B．相等的时间里通过的弧长相等
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等
2．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
3．(多选)如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点．当叶片转动时，这三点的( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．周期都相等
4．(多选)一个小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为 2 m，角速度为1 rad/s，则( )
A．小球的线速度大小为2 m/s
B．小球在3 s的时间内通过的路程为6 m
C．小球做圆周运动的周期为5 s
D．以上说法都不正确
5．如图所示，两轮用齿轮传动，且不打滑，图中两轮的边缘上有A、B两点，它们到各自转轴O1、O2的距离分别为rA、rB，且rA＞rB.当轮子转动时，这两点的角速度分别为ωA和ωB，线速度的大小分别为vA和vB，则下列关系式正确的是( )
A．ωA＝ωB B．ωA＞ωB
C．vA＝vB D．vB＜vA
6．有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．下列说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
7．风速仪结构如图甲所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图乙所示，则该时间段内风轮叶片的( )
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
8．在如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度大小之比．
9．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
A． B．
C． D．
10．如图所示，半径为R的大圆盘以角速度ω在水平面上旋转．某士兵站在圆盘边缘P点上并随圆盘一起转动，他想用枪击中在圆盘中心转轴上的目标O，若子弹离开枪口时的水平速度为v0(在地面上射击时测得)，则( )
A．应瞄准目标O射击
B．应向PO的右方偏过角度θ射击，且cos θ＝
C．应向PO的左方偏过角度θ射击，且tan θ＝
D．应向PO的左方偏过角度θ射击，且sin θ＝
11．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v和圆盘转动的角速度ω.
