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第四章 机械能及其守恒定律
第2节 功 率
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比
瓦特
做功快慢
×
√
正常工作
Fv
Fx
Fv
平均功率
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课时作业(12)
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米
米
米米：
会米
米
米米
米
P
F
额
v
当F=f时
P额一定，
)
>
→
a=0,
F一∫
a
0达
max
m
加速度逐渐减小的
一匀速直线运动
变加速直线运动
保持
P
Umax
●●●●
米
米
米第2节 功 率
课程内容要求 核心素养提炼
1．理解功率的概念，能区分平均功率和瞬时功率、额定功率和输出功率．2．掌握输出功率与作用力和速度的关系，学会分析汽车的启动问题． 1．物理观念：功率、平均功率、瞬时功率、额定功率、输出功率．2．科学思维：解决汽车启动问题的方法．3．科学态度与责任：功率在生活和科学技术中的应用．
[对应学生用书P61]
1．定义：力对物体所做的功W与做功所用时间t的比．
2．定义式：P＝．
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用W表示．
4．物理意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)力对物体做功越多，功率就越大．(×)
(2)功率越大说明做功越快．(√)
1．额定功率：各种机械长时间正常工作允许输出的最大功率．
2．输出功率：动力机械带动其他机械工作时的功率，大多数情况下输出的实际功率小于额定功率．
3．功率与速度
(1)功率与速度关系式：P＝Fv(F与v方向相同).
(2)推导
→P＝Fv．
(3)在P＝Fv中，若v是平均速度，则P是平均功率；若v是瞬时速度，则P是瞬时功率．
[思考]
越野汽车在上坡时为什么必须使用低速挡？
提示 汽车的额定功率是一定的，根据P＝Fv，采用低速挡可以获得更大的牵引力．
[对应学生用书P62]
探究点一 功率的理解和计算
如图所示，滑雪运动员(可看作质点)在光滑斜坡上滑下，运动员质量为m，斜坡高为h，倾角为α.探究以下问题：
(1)怎样计算运动员从坡顶滑到坡底过程中重力做功的平均功率？
提示
(2)怎样计算运动员到达坡底时重力的瞬时功率？
提示 .
1．功率的定义式和计算式
定义式P＝ 计算式P＝Fv
适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况
应用 求某个过程中的平均功率．当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率
物理量的关系 功率的大小用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比
2.公式P＝Fv的应用
(1)由于W＝Fx的表示形式适用于力(F)与位移(x)同方向的情况，故P＝Fv适用于力F和速度v同方向的情况．
(2)当力F和速度v不在同一直线上时，也可以将力F分解为沿v方向的分力F1和垂直于v方向的分力F2，F2不做功，其功率为零，分力F1的功率即力F的功率；或者分解速度，用力F乘以沿F方向上的分速度来求，故其一般表达式为P＝Fv cos α.
如图所示，质量m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)第2 s末重力的瞬时功率．
解析 分别由W＝Fx，P＝和P＝Fv求解．
(1)木块所受的合外力
F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgx sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J.
(2)重力在前2 s内的平均功率为
P＝＝ W＝24 W.
(3)木块在第2 s末的速度为
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
第2 s末重力的瞬时功率为
P＝mg sin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W．
答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W
[题后总结] 计算功率应该注意的问题
(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同．
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率．
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等．不同情况应选择不同的公式．
[训练1] 中国的高铁技术居世界领先地位．通常，列车受到的阻力与速度的平方成正比，即f＝kv2.若列车以120 km/h的速度匀速行驶时机车的功率为P，则该列车以240 km/h的速度匀速行驶时机车的功率为( )
A．2P B．4P
C．8P D．16P
C [列车匀速行驶，牵引力和阻力是一对平衡力，大小相等，则F＝f＝kv2，因为P＝Fv＝kv3，故当速度变为原来的2倍时，功率变为原来的8倍，即为8P，故C正确．]
[训练2] 随着高层住宅越来越多，预防高空坠物很有必要．假设一只花盆从15楼(距地面的高度h＝45 m)的窗台上由静止坠下，忽略空气阻力．已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；
(2)花盆下落t＝3 s时重力的瞬时功率；
(3)花盆下落第3 s内重力的平均功率．
解析 (1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功为W＝mgh＝2×10×45 J＝900 J.
(2)花盆在t＝3 s时的速度v＝gt＝30 m/s
重力的瞬时功率P＝mgv＝600 W.
(3)花盆下落第3 s内的位移为
x＝gt－gt＝×10×(32－22) m＝25 m
重力做的功W′＝mgx＝500 J
下落第3 s内重力的平均功率P′＝＝500 W
答案 (1)900 J (2)600 W (3)500 W
探究点二 机车启动问题
如图所示，一辆列车的质量为m，发动机的额定功率为P，水平路面对列车的阻力Ff为恒力，列车从静止开始启动．
试结合上述情境，讨论下列问题：
(1)列车以恒定的功率启动，随着速度的增大，机车牵引力如何变化？机车的加速度如何变化？当速度最大时机车加速度为多少？此时牵引力与阻力的大小关系如何？此后机车将做什么运动？
提示 由功率恒定和P＝Fv得，当v增大时牵引力F减小．由牛顿第二定律a＝可得，F减小时加速度a减小．当速度最大时加速度为零，此时牵引力与阻力平衡，此后机车将做匀速直线运动．
(2)机车以恒定的加速度启动，机车速度和功率如何变化？当机车功率刚达到额定功率时牵引力和阻力的大小关系如何？此时机车的速度能达到最大值吗？此后若要想增大速度，则牵引力该如何变化？
提示 机车开始做匀加速运动(F不变)，速度变大，由P＝Fv可知P增大．
当机车刚达到额定功率时，也就是匀加速过程的最后时刻，此时加速度仍为a，由a＝得F大于f，此时刻的速度只是匀加速过程的最大速度，并不是机车最终能达到的最大速度．
此后，由P＝Fv且F>f，额定功率不变，知速度增加，牵引力F减小，机车加速度a＝会变小，但速度增大；当F＝f时，加速度为零，速度达到最大值．
1．机车以恒定功率启动的运动过程
所以机车达最大速度时，a＝0，F＝f，P＝Fvmax＝fvmax，这一启动过程的v-t图像如图甲所示．
甲
2．机车以恒定加速度启动的运动过程
这一启动过程的v-t图像如图乙所示．
乙
[特别提醒] (1)机车以恒定功率启动的运动过程按一个阶段处理．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程可按两个阶段处理，即先匀加速启动达到额定功率，再以恒定功率运动达到最大速度．
在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的，g取10 m/s2.
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度为多大？
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
解析 (1)当汽车速度最大时，
a1＝0，F1＝f，P＝P额
故vmax＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)汽车从静止开始做匀加速直线运动的过程中，a2不变，v变大，P也变大，当P＝P额时，此过程结束．
F2＝f＋ma2＝(×104×10＋104×0.5)N
＝1.5×104 N
v2＝＝ m/s
＝ m/s
则t＝＝ s≈13.3 s.
(3)F3＝f＋ma3＝(×104×10＋104×2) N
＝3×104 N
v3＝＝ m/s≈3.3 m/s.
答案 (1)10 m/s (2)13.3 s (3)3.3 m/s
[题后总结] 汽车以恒定功率启动，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，直到牵引力等于阻力为止；汽车以恒定加速度启动，牵引力和阻力恒定，随着速度增大，它的实际功率逐渐增大，直到Fv等于额定功率为止．
[训练3] 一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，第5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v t图像如图所示．已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的，g取10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内所受的阻力为200 N
B．汽车在前5 s内所受的牵引力为6×103 N
C．汽车的额定功率为40 kW
D．汽车的最大速度为20 m/s
B [汽车受到地面的阻力为车重的，则阻力f＝mg＝×2×103×10 N＝2 000 N，故A错误；由题图知前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力F＝f＋ma，得F＝(2 000＋2×103×2)N＝6×103 N，故B正确；第5 s末达到额定功率P额＝Fv5＝6×103×10 W＝6×104W＝60 kW，最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，故C、D错误．]
[对应学生用书P65]
1．(对功率概念的理解)关于功率，下列说法正确的是( )
A．功率是表示力做功多少的物理量
B．功率是表示力做功快慢的物理量
C．做功时间越长，功率一定越小
D．力做功越多，功率一定越大
B [功率是描述做功的快慢的物理量，功率大则做功快，功率小则做功慢，功率的大小在数值上等于单位时间内做功的多少，故B正确．]
2．(瞬时功率的计算)我国自主研发的第一艘平流层飞艇“圆梦”号试飞成功(如图所示).若飞艇在平流层水平匀速飞行时，所受空气阻力与飞行速度成正比．当匀速飞行速度为v时，动力系统的输出功率为P；当匀速飞行速度为2v时，动力系统的输出功率为( )
A． B． C．2P D．4P
D [设当飞艇以速度v匀速飞行时，所受空气阻力为F阻，则P＝F阻v.由题意，当匀速飞行速度为2v时，所受空气阻力为2F阻，所以此时动力系统输出的功率P1＝2F阻·2v＝4P，D正确．]
3．(平均功率的计算)某同学进行体能训练，用100 s跑上20 m 高的高楼，试估测他登楼时的平均功率最接近的数值是( )
A．10 W B．100 W C．1 kW D．10 kW
B [本题是一道实际生活中求平均功率的估算题，要求对该同学的质量大小要有比较切合实际的估计，设m人＝50 kg，则有＝＝ W＝100 W．]
4．(车辆启动问题)如图所示，一辆质量为2.0×103 kg的汽车在平直公路上行驶，若汽车行驶过程中所受的阻力恒为f＝2.5×103 N，且保持功率为80 kW.求：
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度；
(2)汽车的速度为5 m/s时的加速度；
(3)汽车的加速度为0.75 m/s2时的速度．
解析 (1)汽车以恒定功率启动，其做匀速直线运动时速度最大，
由P＝F·vmax和F＝f
解得vmax＝32 m/s.
(2)设v1＝5 m/s时牵引力为F1
则P＝F1·v1
F1－f＝ma1
解得a1＝6.75 m/s2.
(3)设a2＝0.75 m/s2时牵引力为F2
F2－f＝ma2
P＝F2·v2
解得v2＝20 m/s.
答案 (1)32 m/s (2)6.75 m/s2 (3)20 m/s
课时作业(12) 功 率
[对应学生用书P135]
1．下列关于功率的叙述正确的是( )
A．力做功越多，则功率越大
B．施加在物体上的力越大，则功率越大
C．知道某段时间内所做的功W和做功时间t，即可求出本段时间内任一时刻的功率
D．实际功率可以不等于额定功率
D [由P＝可知，在相同时间内，做功多的功率大，故A错误；由P＝Fv可得，在速度相同时，施加在物体上的力越大，功率越大，故B错误；由P＝计算出的功率是某段时间内的平均功率，不能得出任一时刻的功率，故C错误；实际功率为机械在实际工作条件下的功率，可以不等于额定功率，故D正确．]
2．汽车在上坡时往往要减速行驶，这样做的主要目的是( )
A.提高发动机的功率
B．节省燃油
C．增大发动机的牵引力
D．提高传动机械的效率
C [根据P＝Fv，在功率一定时，减小速度是为了获得更大的牵引力．]
3．如图所示，物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移x，那么( )
A．力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
B．力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
C．力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
D．力F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
D [由W＝Fx知，两种情况下，力F做功相等，但在光滑水平面上用时少，由P＝知，在光滑水平面上的平均功率较大，故D正确．]
4．质量是5 t的汽车在水平路面上由静止开始以2.2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，所受阻力是1.0×103N，则汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是( )
A．2 kW B．11 kW
C．20 kW D．26.4 kW
D [根据牛顿第二定律有F引－F阻＝ma，得F引＝ma＋F阻＝1.2×104N，而由vt＝at知汽车启动后第1 s末的速度为vt＝2.2 m/s，由P＝Fv得第1 s末发动机的瞬时功率P＝1.2×104×2.2 W＝2.64×104W＝26.4 kW，D正确．]
5．一名同学在二楼教室窗口把一个篮球用力水平抛出，篮球落地时重力的瞬时功率约为( )
A．5 W B．50 W
C．500 W D．5 000 W
B [此题为估算题，二楼教室窗口到地面的高度大约为4 m，一个篮球的质量大约有0.6 kg，篮球落地时的竖直分速度v1＝＝ m/s≈9 m/s.重力的瞬时功率P＝mgv1＝54 W，故B正确．]
6．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )
A．支持力做的功为mgl
B．重力做的功为mgl
C．拉力做的功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做的功为－μmgl
C [支持力和重力与位移的方向垂直，不做功，故A、B错误；拉力和摩擦力分别做的功为WF＝Fl cos θ，Wf＝－μ(mg－F sin θ)l，故C正确，D错误．]
7．如图所示，质量为60 kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m．若她在1 min 内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率分别约为( )
A．430 J，7.2 W B．4 300 J，72 W
C．720 J，12 W D．7 200 J，120 W
B [根据相似三角形可得，运动员每次做俯卧撑的重心升高h＝0.24 m，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以1 min内克服重力做功为W总＝nW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故B正确．]
8．如图甲所示，质量为1.0 kg的物体置于固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，1.0 s 末将拉力撤去，物体运动的v t图像如图乙所示，试求：(g取10 m/s2)
(1)拉力F的大小；
(2)拉力F在第1 s内的平均功率．
解析 (1)设斜面倾角为α，由v t图像知，当撤去拉力F后，物体做匀减速直线运动，加速度大小a＝6 m/s2.
由牛顿第二定律得f＋mg sin α＝ma＝6 N，
当物体受拉力F的作用时，由牛顿第二定律得
F－f－mg sin α＝ma′，
其中由v t图像知受拉力F作用时的加速度
a′＝12 m/s2，所以F＝18 N.
(2)物体在拉力F作用下的位移为
x＝a′t2＝6 m，
所以拉力F在第1 s内的平均功率为
＝＝ W＝108 W.
答案 (1)18 N (2)108 W
9．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率PA>PB
B．重力的平均功率PA＝PB
C．重力的瞬时功率PA
D．重力的瞬时功率PA＝PB
C [B做自由落体运动，运动时间tB＝，A做匀加速直线运动，a＝g sin θ，根据＝g sin θt得tA＝ .重力做功相等，根据＝知，A10．近年来我国的高铁发展迅速，而提速要解决许多具体的技术难题，其中如何提高机车牵引功率是一个重要问题．已知列车匀速行驶时，所受阻力f与速度v成正比，即f＝kv.当从福州至上海的“和谐号”动车分别以120 km/h和240 km/h的速度在水平轨道上匀速行驶时，机车的牵引功率之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
C [列车匀速行驶时，牵引力和阻力是一对平衡力，大小相等，则F＝f＝kv，功率P＝Fv＝kv2，所以＝ eq \f(v,v) ＝，故C正确．]
11．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定；要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为 32 m/s2
ABD [由题意可知，舰载机在弹射过程的加速度为a＝＝ m/s2＝32 m/s2，故D正确；根据牛顿第二定律有0.8×(F发＋F弹)＝ma，解得弹射器的推力大小F弹＝1.1×106 N，故A 正确；弹射器对舰载机做的功为W＝F弹x＝1.1×106×100 J＝1.1×108 J，故B正确；弹射过程的时间t＝＝ s＝2.5 s，弹射器做功的平均功率P＝＝4.4×107 W，故C错误．]
12．(多选)如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
AD [由图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做额定功率恒定的变加速运动，P额＝F·v＝2×103×30 W＝6×104 W，故A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，故B错误；汽车做匀加速运动的加速度a＝＝m/s2＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v＝＝ m/s＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝＝5 s，故D正确．]
13．某公司研制开发的某型号小汽车发动机的额定功率为24 kW，汽车连同驾乘人员的总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度大小；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20 m/s时的加速度大小．
解析 (1)汽车匀速行驶时，牵引力F大小等于阻力f，即F＝f
又P＝Fv
代入数据得v＝30 m/s.
(2)设v1＝20 m/s时汽车牵引力为F1，则
P＝F1v1
根据牛顿第二定律F1－f＝ma
代入数据得a＝0.2 m/s2.
答案 (1)30 m/s (2)0.2 m/s2第2节 功 率
课程内容要求 核心素养提炼
1．理解功率的概念，能区分平均功率和瞬时功率、额定功率和输出功率．2．掌握输出功率与作用力和速度的关系，学会分析汽车的启动问题． 1．物理观念：功率、平均功率、瞬时功率、额定功率、输出功率．2．科学思维：解决汽车启动问题的方法．3．科学态度与责任：功率在生活和科学技术中的应用．
1．定义：力对物体所做的功W与做功所用时间t的比．
2．定义式：P＝．
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用W表示．
4．物理意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量．
(对的画“√”，错的画“×”)
(1)力对物体做功越多，功率就越大．(×)
(2)功率越大说明做功越快．(√)
1．额定功率：各种机械长时间正常工作允许输出的最大功率．
2．输出功率：动力机械带动其他机械工作时的功率，大多数情况下输出的实际功率小于额定功率．
3．功率与速度
(1)功率与速度关系式：P＝Fv(F与v方向相同).
(2)推导
→P＝Fv．
(3)在P＝Fv中，若v是平均速度，则P是平均功率；若v是瞬时速度，则P是瞬时功率．
越野汽车在上坡时为什么必须使用低速挡？
探究点一 功率的理解和计算
如图所示，滑雪运动员(可看作质点)在光滑斜坡上滑下，运动员质量为m，斜坡高为h，倾角为α.探究以下问题：
(1)怎样计算运动员从坡顶滑到坡底过程中重力做功的平均功率？
(2)怎样计算运动员到达坡底时重力的瞬时功率？
1．功率的定义式和计算式
定义式P＝ 计算式P＝Fv
适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况
应用 求某个过程中的平均功率．当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率
物理量的关系 功率的大小用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比
2.公式P＝Fv的应用
(1)由于W＝Fx的表示形式适用于力(F)与位移(x)同方向的情况，故P＝Fv适用于力F和速度v同方向的情况．
(2)当力F和速度v不在同一直线上时，也可以将力F分解为沿v方向的分力F1和垂直于v方向的分力F2，F2不做功，其功率为零，分力F1的功率即力F的功率；或者分解速度，用力F乘以沿F方向上的分速度来求，故其一般表达式为P＝Fv cos α.
如图所示，质量m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)第2 s末重力的瞬时功率．
中国的高铁技术居世界领先地位．通常，列车受到的阻力与速度的平方成正比，即f＝kv2.若列车以120 km/h的速度匀速行驶时机车的功率为P，则该列车以240 km/h的速度匀速行驶时机车的功率为( )
A．2P B．4P
C．8P D．16P
随着高层住宅越来越多，预防高空坠物很有必要．假设一只花盆从15楼(距地面的高度h＝45 m)的窗台上由静止坠下，忽略空气阻力．已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；
(2)花盆下落t＝3 s时重力的瞬时功率；
(3)花盆下落第3 s内重力的平均功率．
探究点二 机车启动问题
如图所示，一辆列车的质量为m，发动机的额定功率为P，水平路面对列车的阻力Ff为恒力，列车从静止开始启动．
试结合上述情境，讨论下列问题：
(1)列车以恒定的功率启动，随着速度的增大，机车牵引力如何变化？机车的加速度如何变化？当速度最大时机车加速度为多少？此时牵引力与阻力的大小关系如何？此后机车将做什么运动？
(2)机车以恒定的加速度启动，机车速度和功率如何变化？当机车功率刚达到额定功率时牵引力和阻力的大小关系如何？此时机车的速度能达到最大值吗？此后若要想增大速度，则牵引力该如何变化？
1．机车以恒定功率启动的运动过程
所以机车达最大速度时，a＝0，F＝f，P＝Fvmax＝fvmax，这一启动过程的v-t图像如图甲所示．
甲
2．机车以恒定加速度启动的运动过程
这一启动过程的v-t图像如图乙所示．
乙
(1)机车以恒定功率启动的运动过程按一个阶段处理．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程可按两个阶段处理，即先匀加速启动达到额定功率，再以恒定功率运动达到最大速度．
在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的，g取10 m/s2.
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度为多大？
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，第5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v t图像如图所示．已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的，g取10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内所受的阻力为200 N
B．汽车在前5 s内所受的牵引力为6×103 N
C．汽车的额定功率为40 kW
D．汽车的最大速度为20 m/s
1．(对功率概念的理解)关于功率，下列说法正确的是( )
A．功率是表示力做功多少的物理量
B．功率是表示力做功快慢的物理量
C．做功时间越长，功率一定越小
D．力做功越多，功率一定越大
2．(瞬时功率的计算)我国自主研发的第一艘平流层飞艇“圆梦”号试飞成功(如图所示).若飞艇在平流层水平匀速飞行时，所受空气阻力与飞行速度成正比．当匀速飞行速度为v时，动力系统的输出功率为P；当匀速飞行速度为2v时，动力系统的输出功率为( )
A． B． C．2P D．4P
3．(平均功率的计算)某同学进行体能训练，用100 s跑上20 m 高的高楼，试估测他登楼时的平均功率最接近的数值是( )
A．10 W B．100 W C．1 kW D．10 kW
4．(车辆启动问题)如图所示，一辆质量为2.0×103 kg的汽车在平直公路上行驶，若汽车行驶过程中所受的阻力恒为f＝2.5×103 N，且保持功率为80 kW.求：
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度；
(2)汽车的速度为5 m/s时的加速度；
(3)汽车的加速度为0.75 m/s2时的速度．
课时作业(12) 功 率
1．下列关于功率的叙述正确的是( )
A．力做功越多，则功率越大
B．施加在物体上的力越大，则功率越大
C．知道某段时间内所做的功W和做功时间t，即可求出本段时间内任一时刻的功率
D．实际功率可以不等于额定功率
2．汽车在上坡时往往要减速行驶，这样做的主要目的是( )
A.提高发动机的功率
B．节省燃油
C．增大发动机的牵引力
D．提高传动机械的效率
3．如图所示，物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移x，那么( )
A．力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
B．力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
C．力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
D．力F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
4．质量是5 t的汽车在水平路面上由静止开始以2.2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，所受阻力是1.0×103N，则汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是( )
A．2 kW B．11 kW
C．20 kW D．26.4 kW
5．一名同学在二楼教室窗口把一个篮球用力水平抛出，篮球落地时重力的瞬时功率约为( )
A．5 W B．50 W
C．500 W D．5 000 W
6．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )
A．支持力做的功为mgl
B．重力做的功为mgl
C．拉力做的功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做的功为－μmgl
7．如图所示，质量为60 kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m．若她在1 min 内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率分别约为( )
A．430 J，7.2 W B．4 300 J，72 W
C．720 J，12 W D．7 200 J，120 W
8．如图甲所示，质量为1.0 kg的物体置于固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，1.0 s 末将拉力撤去，物体运动的v t图像如图乙所示，试求：(g取10 m/s2)
(1)拉力F的大小；
(2)拉力F在第1 s内的平均功率．
9．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率PA>PB
B．重力的平均功率PA＝PB
C．重力的瞬时功率PAD．重力的瞬时功率PA＝PB
10．近年来我国的高铁发展迅速，而提速要解决许多具体的技术难题，其中如何提高机车牵引功率是一个重要问题．已知列车匀速行驶时，所受阻力f与速度v成正比，即f＝kv.当从福州至上海的“和谐号”动车分别以120 km/h和240 km/h的速度在水平轨道上匀速行驶时，机车的牵引功率之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
11．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定；要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为 32 m/s2
12．(多选)如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
13．某公司研制开发的某型号小汽车发动机的额定功率为24 kW，汽车连同驾乘人员的总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度大小；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20 m/s时的加速度大小．课时作业(12) 功 率
[对应学生用书P135]
1．下列关于功率的叙述正确的是( )
A．力做功越多，则功率越大
B．施加在物体上的力越大，则功率越大
C．知道某段时间内所做的功W和做功时间t，即可求出本段时间内任一时刻的功率
D．实际功率可以不等于额定功率
D [由P＝可知，在相同时间内，做功多的功率大，故A错误；由P＝Fv可得，在速度相同时，施加在物体上的力越大，功率越大，故B错误；由P＝计算出的功率是某段时间内的平均功率，不能得出任一时刻的功率，故C错误；实际功率为机械在实际工作条件下的功率，可以不等于额定功率，故D正确．]
2．汽车在上坡时往往要减速行驶，这样做的主要目的是( )
A.提高发动机的功率
B．节省燃油
C．增大发动机的牵引力
D．提高传动机械的效率
C [根据P＝Fv，在功率一定时，减小速度是为了获得更大的牵引力．]
3．如图所示，物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移x，那么( )
A．力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
B．力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
C．力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
D．力F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
D [由W＝Fx知，两种情况下，力F做功相等，但在光滑水平面上用时少，由P＝知，在光滑水平面上的平均功率较大，故D正确．]
4．质量是5 t的汽车在水平路面上由静止开始以2.2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，所受阻力是1.0×103N，则汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是( )
A．2 kW B．11 kW
C．20 kW D．26.4 kW
D [根据牛顿第二定律有F引－F阻＝ma，得F引＝ma＋F阻＝1.2×104N，而由vt＝at知汽车启动后第1 s末的速度为vt＝2.2 m/s，由P＝Fv得第1 s末发动机的瞬时功率P＝1.2×104×2.2 W＝2.64×104W＝26.4 kW，D正确．]
5．一名同学在二楼教室窗口把一个篮球用力水平抛出，篮球落地时重力的瞬时功率约为( )
A．5 W B．50 W
C．500 W D．5 000 W
B [此题为估算题，二楼教室窗口到地面的高度大约为4 m，一个篮球的质量大约有0.6 kg，篮球落地时的竖直分速度v1＝＝ m/s≈9 m/s.重力的瞬时功率P＝mgv1＝54 W，故B正确．]
6．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )
A．支持力做的功为mgl
B．重力做的功为mgl
C．拉力做的功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做的功为－μmgl
C [支持力和重力与位移的方向垂直，不做功，故A、B错误；拉力和摩擦力分别做的功为WF＝Fl cos θ，Wf＝－μ(mg－F sin θ)l，故C正确，D错误．]
7．如图所示，质量为60 kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m．若她在1 min 内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率分别约为( )
A．430 J，7.2 W B．4 300 J，72 W
C．720 J，12 W D．7 200 J，120 W
B [根据相似三角形可得，运动员每次做俯卧撑的重心升高h＝0.24 m，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以1 min内克服重力做功为W总＝nW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故B正确．]
8．如图甲所示，质量为1.0 kg的物体置于固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，1.0 s 末将拉力撤去，物体运动的v t图像如图乙所示，试求：(g取10 m/s2)
(1)拉力F的大小；
(2)拉力F在第1 s内的平均功率．
解析 (1)设斜面倾角为α，由v t图像知，当撤去拉力F后，物体做匀减速直线运动，加速度大小a＝6 m/s2.
由牛顿第二定律得f＋mg sin α＝ma＝6 N，
当物体受拉力F的作用时，由牛顿第二定律得
F－f－mg sin α＝ma′，
其中由v t图像知受拉力F作用时的加速度
a′＝12 m/s2，所以F＝18 N.
(2)物体在拉力F作用下的位移为
x＝a′t2＝6 m，
所以拉力F在第1 s内的平均功率为
＝＝ W＝108 W.
答案 (1)18 N (2)108 W
9．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率PA>PB
B．重力的平均功率PA＝PB
C．重力的瞬时功率PAD．重力的瞬时功率PA＝PB
C [B做自由落体运动，运动时间tB＝，A做匀加速直线运动，a＝g sin θ，根据＝g sin θt得tA＝ .重力做功相等，根据＝知，A10．近年来我国的高铁发展迅速，而提速要解决许多具体的技术难题，其中如何提高机车牵引功率是一个重要问题．已知列车匀速行驶时，所受阻力f与速度v成正比，即f＝kv.当从福州至上海的“和谐号”动车分别以120 km/h和240 km/h的速度在水平轨道上匀速行驶时，机车的牵引功率之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
C [列车匀速行驶时，牵引力和阻力是一对平衡力，大小相等，则F＝f＝kv，功率P＝Fv＝kv2，所以＝ eq \f(v,v) ＝，故C正确．]
11．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定；要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为 32 m/s2
ABD [由题意可知，舰载机在弹射过程的加速度为a＝＝ m/s2＝32 m/s2，故D正确；根据牛顿第二定律有0.8×(F发＋F弹)＝ma，解得弹射器的推力大小F弹＝1.1×106 N，故A 正确；弹射器对舰载机做的功为W＝F弹x＝1.1×106×100 J＝1.1×108 J，故B正确；弹射过程的时间t＝＝ s＝2.5 s，弹射器做功的平均功率P＝＝4.4×107 W，故C错误．]
12．(多选)如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
AD [由图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做额定功率恒定的变加速运动，P额＝F·v＝2×103×30 W＝6×104 W，故A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，故B错误；汽车做匀加速运动的加速度a＝＝m/s2＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v＝＝ m/s＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝＝5 s，故D正确．]
13．某公司研制开发的某型号小汽车发动机的额定功率为24 kW，汽车连同驾乘人员的总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度大小；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20 m/s时的加速度大小．
解析 (1)汽车匀速行驶时，牵引力F大小等于阻力f，即F＝f
又P＝Fv
代入数据得v＝30 m/s.
(2)设v1＝20 m/s时汽车牵引力为F1，则
P＝F1v1
根据牛顿第二定律F1－f＝ma
代入数据得a＝0.2 m/s2.
答案 (1)30 m/s (2)0.2 m/s2课时作业(12) 功 率
1．下列关于功率的叙述正确的是( )
A．力做功越多，则功率越大
B．施加在物体上的力越大，则功率越大
C．知道某段时间内所做的功W和做功时间t，即可求出本段时间内任一时刻的功率
D．实际功率可以不等于额定功率
2．汽车在上坡时往往要减速行驶，这样做的主要目的是( )
A.提高发动机的功率
B．节省燃油
C．增大发动机的牵引力
D．提高传动机械的效率
3．如图所示，物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移x，那么( )
A．力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
B．力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
C．力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
D．力F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
4．质量是5 t的汽车在水平路面上由静止开始以2.2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，所受阻力是1.0×103N，则汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是( )
A．2 kW B．11 kW
C．20 kW D．26.4 kW
5．一名同学在二楼教室窗口把一个篮球用力水平抛出，篮球落地时重力的瞬时功率约为( )
A．5 W B．50 W
C．500 W D．5 000 W
6．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( )
A．支持力做的功为mgl
B．重力做的功为mgl
C．拉力做的功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做的功为－μmgl
7．如图所示，质量为60 kg的运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒．已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m．若她在1 min 内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率分别约为( )
A．430 J，7.2 W B．4 300 J，72 W
C．720 J，12 W D．7 200 J，120 W
8．如图甲所示，质量为1.0 kg的物体置于固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，1.0 s 末将拉力撤去，物体运动的v t图像如图乙所示，试求：(g取10 m/s2)
(1)拉力F的大小；
(2)拉力F在第1 s内的平均功率．
9．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率PA>PB
B．重力的平均功率PA＝PB
C．重力的瞬时功率PAD．重力的瞬时功率PA＝PB
10．近年来我国的高铁发展迅速，而提速要解决许多具体的技术难题，其中如何提高机车牵引功率是一个重要问题．已知列车匀速行驶时，所受阻力f与速度v成正比，即f＝kv.当从福州至上海的“和谐号”动车分别以120 km/h和240 km/h的速度在水平轨道上匀速行驶时，机车的牵引功率之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
11．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定；要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为 32 m/s2
12．(多选)如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
13．某公司研制开发的某型号小汽车发动机的额定功率为24 kW，汽车连同驾乘人员的总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度大小；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20 m/s时的加速度大小．