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第四章 机械能及其守恒定律
第3节 动能 动能定理
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功
焦耳
J
动能
ma
Fx
2ax
√
√
√
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课时作业(13)
谢谢观看！
米
米
米米：
会米
米
米米
米
V2-
F
m
--m}
wwcm立
牛顿第二定律：F=
F所做的功：W=
W-
运动学公式：2,2-2=
光电门
遮光条
G
重物
甲
乙
米
米
米第3节 动能 动能定理
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道什么是动能，掌握动能的表达式．2．理解和掌握动能定理．3．能够应用动能定理解决实际问题． 1．物理观念：动能，动能定理．2．科学思维：动能定理在变力做功和曲线运动中的应用．3．科学探究：用实验验证动能定理．4．科学态度与责任：应用动能定理解决生产和生活中的实际问题．
[对应学生用书P66]
1．动能的表达式
(1)表达式：质量为m的物体，以速度v运动时的动能为Ek＝mv2．
(2)动能是标量：只有大小，没有方向．
(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J．
2．动能定理
(1)内容：外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
(2)表达式：W＝Ek2－Ek1或W＝ΔEk．
(3)动能定理的推导
如图所示，水平面光滑，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移x，速度由v1增大到v2，此过程力F做的功为W.
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)动能是状态量，是标量，只有正值，动能与速度方向无关．(√)
(2)由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性．(√)
(3)动能定理既适用于直线运动和曲线运动，也适用于恒力做功和变力做功．(√)
[方案1] 实验装置如图所示．
实验方法：测出砝码及砝码盘的重力(视为小车的拉力)，通过纸带上的点迹计算小车在各计数点处的瞬时速度，进而计算出小车在各计数点间运动过程中拉力F做的功W及该过程中增加的动能，如果两者在误差允许范围内相等，则验证了动能定理．
[方案2] 使用数据实时采集系统进行验证．
实验方法：略．
[对应学生用书P67]
探究点一 对动能定理的理解
如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一个质量为m的物体与两个轨道间的动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C处停止．
探究以下问题：
(1)物体在运动过程中受几个力作用？做功情况怎样？
提示 物体受重力、轨道支持力、摩擦力三个力作用．在圆弧轨道上运动时，重力做正功，支持力不做功，摩擦力做负功．在水平轨道上运动时，重力、支持力不做功，摩擦力做负功．
(2)从A点到C点，物体初、末状态的动能各是多少？
提示 物体由A点从静止滑下，最后停在C点，初、末状态的动能都是零．
(3)怎样求出从A点到C点过程中物体克服摩擦力做的功？
提示 设克服摩擦力做功为Wf.根据动能定理有
mgR－Wf＝0，故Wf＝mgR.
1．对动能定理的理解
(1)公式W＝Ek2－Ek1中的W是合外力做的功，不是某个力做的功，W可能是正功，也可能是负功．
(2)Ek2、Ek1分别是末动能和初动能，Ek2可能大于Ek1，也可能小于Ek1.
2．动能定理的适用对象：动能定理虽然是根据牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式推出的，但动能定理本身既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程，既适用于物体做直线运动的情况，也适用于物体做曲线运动的情况．
关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，但不适用于变力做功
C．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
D．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时动能增加，当W＜0时动能减小
D [动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，W指的是合外力所做的功，包含重力做功，故A错误；动能定理适用于任何运动，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功，故B错误；运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，若合外力方向始终与运动方向垂直，合外力不做功，动能不变，故C错误；公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时，即Ek2－Ek1＞0，动能增加，当W＜0时，即Ek2－Ek1＜0，动能减小，故D正确．]
[训练1] 一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(负号表示方向与原来相反)，在整段时间内，水平力所做的功为( )
A．mv2 B．－mv2
C．mv2 D．－mv2
A [由动能定理得W＝m·(－2v)2－mv2＝mv2，A正确．]
探究点二 动能定理的应用
过山车是一项富有刺激性的游乐设施，其运动轨道可视为如图所示的物理模型．已知轨道最高点A离地面高度为h，圆环轨道半径为R＝10 m，过山车质量为m＝100 kg，g取10 m/s2，不计一切阻力．
探究以下问题：
(1)若h＝45 m，过山车从A点静止释放后，经过圆环轨道最低点B时的速度为多大？过山车对轨道的压力是多大？
提示 设过山车在B点时的速度大小为vB，过山车从A点运动到B点的过程中，由动能定理得mgh＝mv－0，解得vB＝＝30 m/s.因为过山车在B点时做圆周运动，轨道对过山车的弹力NB和过山车的重力充当向心力，则有NB－mg＝m eq \f(v,R) ，解得NB＝10 000 N.由牛顿第三定律得过山车在B点时对轨道的压力大小为10 000 N.
(2)若过山车从A点静止释放后，经过圆环轨道最高点C时，轨道对车的作用力恰好等于车的重力，A点离地面的高度h是多少？
提示 过山车在C点时做圆周运动，根据受力分析及牛顿第二定律有NC＋mg＝m eq \f(v,R) ，其中NC＝mg，代入数据解得vC＝10 m/s.过山车从A点运动到C点的过程中，由动能定理得mg(h－2R)＝mv－0，代入数据解得h＝30 m.
(3)若过山车从A点静止释放后，能够到达C点，则h至少是多少？
提示 过山车恰好能到达C点的条件是在C点时满足mg＝m，代入数据解得vC′＝10 m/s.过山车从A点运动到C点的过程中，由动能定理得mg(h－2R)＝mvC′2－0，代入数据解得h＝25 m．即过山车要能够到达C点，h至少是25 m.
运用动能定理与牛顿定律解题的比较
牛顿定律 动能定理
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
适用条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线或曲线运动均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功．航母上的舰载机采用滑跃式起飞，甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成的，如图甲所示．为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，图乙为其示意图，AB长L1＝150 m，BC水平投影L2＝63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角θ＝12°(sin 12°≈0.21).若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t＝6 s到达B点进入BC.已知飞行员的质量m＝60 kg，g取10 m/s2，求：
甲 乙
(1)在舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做的功W；
(2)舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力N.
解析 (1)舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有
＝ ①
根据动能定理，有
W＝mv2－0 ②
联立①②，代入数据，得
W＝7.5×104 J ③
(2)设上翘甲板所对应的圆弧半径为R，根据几何关系，有
L2＝R sin θ ④
由牛顿第二定律，有
N－mg＝m ⑤
联立①④⑤式解得N＝1.1×103 N.
答案 (1)7.5×104 J (2)1.1×103 N
[题后总结] 解答本题应注意以下三点
(1)在舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做的功等于其动能的变化量．
(2)根据几何关系求出圆弧BC所在圆的半径．
(3)舰载机刚进入BC时飞行员所受力的合力提供其做圆周运动的向心力．
[训练2] (多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧对物块先做正功后做负功
D．物块在A点的初速度为
BC [物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即F＞μmg，故A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，故B正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，故C正确；根据能量守恒，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，故D错误．]
[训练3] 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比．
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
解析 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由动能定理得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg ②
由①②式得＝
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ③
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg＝m eq \f(v,\f(R,2)) ④
由③④式得，vC应满足mg≤m eq \f(2v,R) ⑤
由动能定理有mg＝mv ⑥
由⑤⑥式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
答案 (1)5∶1 (2)见解析
探究点三 动能定理的实验证明
小明同学为探究“合力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
甲
①按图甲摆好实验装置，其中小车质量M＝0.20 kg，钩码总质量m＝0.05 kg.
②释放小车，然后接通打点计时器的电源(电源的周期T＝0.02 s)，打出一条纸带．
(1)他在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条，如图乙所示．把打下的第一点记作0，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.041 m，d2＝0.055 m，d3＝0.167 m，d4＝0.256 m，d5＝0.360 m，d6＝0.480 m，他把钩码重力(当地重力加速度g取9.8 m/s2)作为小车所受合力，算出0点到第5个计数点合力做的功W＝________ J(结果保留三位有效数字)，打下第5个计数点时小车的动能Ek＝__________(用相关数据的字母列式)，并把打下第5点时小车的动能作为小车动能的改变量，算得Ek＝0.125 J.
乙
(2)(多选)此次实验探究的结果，小明没能得到“合力对物体做的功等于物体动能的增量”的结论，且误差很大．通过反思，他认为产生误差的可能原因如下，其中正确的是__________．
A．钩码质量太大，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大
B．没有使用最小刻度为毫米的刻度尺测距离是产生此误差的主要原因
C．没有平衡摩擦力，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大
D．释放小车和接通电源的次序有误，使得动能增量的测量值比真实值偏小
解析 (1)根据题意，物体所受合外力F＝mg＝0.05×9.8 N＝0.49 N，则做的功W＝Fx＝mgd5≈0.176 J；根据匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度，可以求出第5个点的速度大小v＝(其中t＝5T)动能公式为：Ek＝Mv2＝
(2)设绳子上拉力为F，根据牛顿第二定律对小车有：F＝Ma；对钩码有：mg－F＝ma，则F＝＝，由此可知当M m时，钩码的重力等于绳子的拉力，因此当钩码质量太大时，会造成较大误差，故A正确；刻度尺的精确度对测量结果影响很小，故B错误；没有平衡摩擦力，使得合外力对物体做功的测量值比真实值偏大太多，故C正确；若释放小车和接通电源的次序有误，则打下0点时的动能不为零，使得动能增量的测量值比真实值偏大，故D错误．
答案 (1)0.176 (2)AC
[训练4] 如图甲所示是小徐同学做“探究做功与速度变化的关系”的实验装置．他将光电门固定在直轨道上的O点，用同一重物通过细线拉同一小车，每次小车都从不同位置由静止释放，各位置A、B、C、D、E、F、G(图中只标出了O、G)离O点的距离d分别为8 cm、16 cm、24 cm、32 cm、40 cm、48 cm、56 cm.
(1)该实验________(选填“需要”或“不需要”)测量重物的重力．
(2)该实验________(选填“必须”或“不必要”)平衡摩擦力．
(3)为了探究做功与速度变化的规律，依次得到的实验数据记录如下表所示．请选取其中最合适的两行数据在图乙的方格纸内描点作图．
实验次数 1 2 3 4 5 6 7
d/×10－2 m 8.00 16.00 24.00 32.00 40.00 48.00 56.00
v/(m·s－1) 0.49 0.69 0.85 0.99 1.09 1.21 1.50
v2/(m2·s－2) 0.24 0.48 0.72 0.98 1.19 1.46 2.25
/(m·s－1) 0.70 0.83 0.92 1.00 1.04 1.10 1.23
(4)从图像得到的直接结论是_______________________，从而间接得到做功与物体速度变化的规律是______________________．
解析 (1)Fx＝mv－mv，即合外力做功与重物的质量无关，实验不需要测量重物的重力．
(2)该实验中已经测量了小车的位移与速度，来探究合外力与小车的速度的变化关系，所以是否存在摩擦力对该实验没有影响．故不需要平衡摩擦力．
(3)根据表格中记录的数据可得，小车的位移d与小车的速度以及速度的平方根都不存在正比例的关系，与速度的平方接近正比例关系，所以可选择v2为坐标系的纵坐标．将表格中的数据在v2 d图像中描点连线，如图所示．
(4)从作出的图像可以得到的直接结论是d与v2成正比；从而间接得到做功与物体速度变化的规律是合外力做功与v2成正比．
答案 (1)不需要 (2)不必要 (3)见解析图
(4)d与v2成正比 合外力做功和速度的二次方成正比
[对应学生用书P71]
1．(动能和动能的表达式)(多选)质量一定的物体( )
A．速度发生变化时其动能一定变化
B．速度发生变化时其动能不一定变化
C．速度不变时其动能一定不变
D．动能不变时其速度一定不变
BC [速度是矢量，速度变化时可能只有方向变化，而大小不变，动能是标量，所以速度只有方向变化时，动能可以不变；动能不变时，只能说明速度大小不变，但速度方向不一定不变，故只有B、C正确．]
2．(动能定理)一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为( )
A．6.4 m B．5.6 m
C．7.2 m D．10.8 m
A [急刹车后，汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦阻力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．设摩擦阻力为f，根据动能定理得－fx1＝0－mv，－fx2＝0－mv，联立两式得＝ eq \f(v,v) ，故汽车滑行距离x2＝ eq \f(v,v) x1＝()2×3.6 m＝6.4 m，A正确．]
3．(动能定理在曲线运动中的应用)(2021·山东卷)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A． eq \f(mv,2πL) B． eq \f(mv,4πL) C． eq \f(mv,8πL) D． eq \f(mv,16πL)
B [在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理有
－f·2πL＝0－mv
解得摩擦力的大小f＝ eq \f(mv,4πL) ，故选B.]
4．(应用动能定理分析实际问题)如图所示，粗糙的水平轨道AB与半径为R的光滑半圆轨道BC在B点相切，轨道ABC固定在竖直平面内，C为半圆轨道的最高点．质量为m的小物块从A点以水平向右的初速度沿AB滑行，已知AB间的距离为s，物块与AB间的动摩擦因数为μ，不计空气阻力，重力加速度为g.
(1)若物块恰能运动到B点停下来，求物块在A点的初速度大小；
(2)若物块恰能通过C点，求物块通过C点时的速度大小和在A点的初速度大小．
解析 (1)解法1：物块从A点到B点的过程中，
根据动能定理得－μmgs＝0－mv，
解得vA＝；
解法2：物块从A点到B点的过程中，
根据牛顿第二定律得－μmgs＝ma，
又有2as＝0－v，解得vA＝.
(2)物块恰能通过C点时，根据牛顿第二定律得mg＝m eq \f(v,R) ，解得vC＝；
物块从A点到C点的过程中，
根据动能定理得
－μmgs－mg·2R＝mv－mvA′2，
解得vA′＝.
答案 (1) (2)
课时作业(13) 动能 动能定理
[对应学生用书P138]
1．A、B两物体的速度之比为2∶1，质量的大小之比为1∶3，则它们的动能之比为( )
A．12∶1 B．12∶3
C．12∶5 D．4∶3
D [根据动能的定义Ek＝mv2，有＝ eq \f(mAv,mBv) ＝＝，故D正确．]
2．一个物体的速度从0增大到v，外力对物体做功为W1；速度再从v增大到2v，外力对物体做功为W2，则W1和W2的关系正确的是( )
A．W2＝3W1 B．W2＝2W1
C．W2＝W1 D．W2＝4W1
A [由动能定理得W1＝mv2－0＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝3(mv2)＝3W1，故A正确．]
3．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则返回途中经过A点的速度大小为( )
A． eq \r(v－4gh) B． eq \r(4gh－v)
C． eq \r(v－2gh) D． eq \r(2gh－v)
B [在从A点到B点的过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得－mgh－Wf＝0－mv，从B点到A点过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)，根据动能定理可得mgh－Wf＝mv2，两式联立得返回途中经过A点的速度大小v＝ eq \r(4gh－v) ，故B正确．]
4．用竖直向上、大小为30 N的力F将2 kg的物体从沙坑表面由静止提升1 m 时撤去力F，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20 cm.若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则物体克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．20 J B．24 J
C．34 J D．54 J
C [设物体克服沙坑的阻力所做的功为Wf，对全程由动能定理有Fh＋mgd－Wf＝0，解得Wf＝34 J，故C正确．]
5．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B．
C． D．2
A [小球下落的高度为
h＝πR－R＋R＝R
小球下落过程中，根据动能定理有
mgh＝mv2
综上可得v＝，故选A.]
6．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻质弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A．mv－μmg(s＋x)
B．mv－μmgx
C．μmgs
D．μmg(s＋x)
A [由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv，解得W＝mv－μmg(s＋x)，A正确．]
7．某个物体在合外力作用下做直线运动的v t图像如图所示．下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合力做正功
B．在0～2 s内，合力总是做负功
C．在1～2 s内，合力不做功
D．在0～3 s内，合力总是做正功
A [0～1 s内物体的速度增加，物体的动能也一直增加，该过程合力一直做正功，故A正确；同理，0～2 s内合力先做正功，后做负功，总功为正，故B错误；1～2 s内合力做负功，故C错误；0～3 s 内物体的速度先增大后减小，动能先增后减，合力先做正功，后做负功，全过程不做功，故D错误．]
8．如图所示，光滑斜面的顶端固定一根弹簧，一个小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面的高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是( )
A．mgh－mv2
B．mv2－mgh
C．－mgh
D．－(mgh＋mv2)
A [对由A到C的过程，由动能定理可得
－mgh＋W＝0－mv2
则W＝mgh－mv2，故A正确．]
9．如图所示的装置可用于探究恒力做功与速度变化的关系．水平轨道上安装两个光电门，小车上固定有力传感器和挡光板，细线一端与力传感器连接，另一端跨过定滑轮挂上砝码盘．实验首先保持轨道水平，通过调整砝码盘里砝码的质量让小车做匀速运动以平衡摩擦力，再进行后面的操作，并在实验中获得以下测量数据：小车、力传感器和挡光板的总质量M，平衡摩擦力的砝码和砝码盘的总质量m0，挡光板的宽度d，光电门1和2的中心距离s.
某次实验过程：力传感器的读数为F，小车通过光电门1和2的挡光时间分别为t1、t2(小车通过光电门2后，砝码盘才落地)，砝码盘和砝码的总质量为m，已知重力加速度为g，则对该小车，实验要验证的表达式是( )
A．mgs＝M()2－M()2
B．(m－m0)gs＝M()2－M()2
C．(F－m0g)s＝M()2－M()2
D．Fs＝M()2－M()2
C [由于挡光板的宽度d很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度．
小车通过光电门1时速度v1＝
小车通过光电门2时速度v2＝
根据功能关系，需要验证的关系式为
(F－m0g)s＝Mv－Mv
即(F－m0g)s＝M()2－M()2，故C正确]
10．如图所示，在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门．球门高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做的功W(不计空气阻力，足球视为质点)( )
A．等于mgh＋mv2
B．大于mgh＋mv2
C．小于mgh＋mv2
D．因为球入球门过程中的曲线的形状不确定，所以做功的大小无法确定
A [对足球从球员踢出到飞入球门的过程研究，根据动能定理得W－mgh＝mv2，则W＝mgh＋mv2，故A正确．]
11．如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示，重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为( )
A．m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，f＝1.0 N
A [根据动能定理可得，物块在上滑过程中有－fs－mgs sin 30°＝0－mv2，即Ek＝(f＋mg sin 30°)s，物块在下滑过程中有mgs sin 30°－fs＝mv′2，即Ek′＝(mg sin 30°－f)s.结合Ek s图像，联立解得m＝0.7 kg.f＝0.5 N，故A正确，B、C、D错误．]
12．(多选)(2021·全国甲卷)一个质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g.则( )
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
BC [物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
－μmg·2l cos α＝－Ek
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
－mgl sin α－μmgl cos α＝0－Ek
整理得
l＝，μ＝0.5
故A错误，C正确；
物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有
mg sin α－μmg cos α＝ma
解得a＝，故B正确；
物体向上滑动时，根据牛顿第二定律有
ma上＝mg sin α＋μmg cos α
物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有
ma下＝mg sin α－μmg cos α
由上式比较可知a上＞a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式l＝at2可得出t上＜t下，D错误．]
13．一种常见的圆桌如图所示，桌面中间嵌一半径为r＝1.5 m、可绕中心轴转动的圆盘，桌面与圆盘面在同一水平面内且两者间缝隙可不考虑．已知桌面离地高度为h＝0.8 m，将一可视为质点的小碟子放置在圆盘边缘，若缓慢增大圆盘的角速度，碟子将从圆盘上甩出并滑上桌面，再从桌面飞出，落地点与桌面飞出点的水平距离是0.4 m．已知碟子质量m＝0.1 kg，碟子与圆盘间的最大静摩擦力fmax＝0.6 N，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)
(1)碟子从桌面飞出时的速度大小；
(2)碟子在桌面上运动时，桌面摩擦力对它做的功；
(3)若碟子与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.225，要使碟子不滑出桌面，则桌面半径至少是多少？
解析 (1)根据平抛运动规律有
h＝gt2，
x＝vt，
解得v＝x＝1 m/s.
(2)设碟子从圆盘上甩出时的速度为v0，则
fmax＝m eq \f(v,r) ，即v0＝3 m/s
由动能定理得Wf＝mv2－mv，
代入数据解得Wf＝－0.4 J．
(3)当碟子滑到桌面边缘时速度恰好减为零，此时对应的桌面半径取最小值．
设碟子在桌面上滑动的位移为x′，根据动能定理有－μmgx′＝0－mv
代入数据得x′＝2 m
由几何知识可得桌子半径的最小值为
R＝＝2.5 m
答案 (1)1 m/s (2)－0.4 J (3)2.5 m
14．如图所示，一半径为R＝0.2 m的竖直粗糙圆弧轨道与水平地面相接于B点，C、D两点分别位于轨道的最低点和最高点．距地面高度为h＝0.45 m的水平台面上有一质量为m＝1 kg可看作质点的物块，物块在水平向右的恒力F＝4 N的作用下，由静止开始运动，经过t＝2 s时间到达平台边缘上的A点，此时撤去恒力F，物块在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道切线方向滑入轨道，物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力．物块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块到达A点时的速度大小vA.
(2)物块到达B点时的速度大小 vB.
(3)物块从B点运动到D点过程中克服摩擦力所做的功Wf.
解析 (1)物体在平台上运动时，由牛顿第二定律可得
F－μmg＝ma
且vA＝at
代入数据解得vA＝4 m/s.
(2)从A点到B点，由动能定理得
mgh＝mv－mv
代入数据解得vB＝5 m/s.
(3)设OB与OC的夹角为θ，则
cos θ＝＝
物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力，故此时完全由重力提供向心力，可得
mg＝m eq \f(v,R)
从B点到D点，由动能定理得
－mg(R＋R cos θ)－Wf＝mv－mv
解得Wf＝7.9 J．
答案 (1)4 m/s (2)5 m/s (3)7.9 J第3节 动能 动能定理
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道什么是动能，掌握动能的表达式．2．理解和掌握动能定理．3．能够应用动能定理解决实际问题． 1．物理观念：动能，动能定理．2．科学思维：动能定理在变力做功和曲线运动中的应用．3．科学探究：用实验验证动能定理．4．科学态度与责任：应用动能定理解决生产和生活中的实际问题．
1．动能的表达式
(1)表达式：质量为m的物体，以速度v运动时的动能为Ek＝mv2．
(2)动能是标量：只有大小，没有方向．
(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J．
2．动能定理
(1)内容：外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
(2)表达式：W＝Ek2－Ek1或W＝ΔEk．
(3)动能定理的推导
如图所示，水平面光滑，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移x，速度由v1增大到v2，此过程力F做的功为W.
(对的画“√”，错的画“×”)
(1)动能是状态量，是标量，只有正值，动能与速度方向无关．(√)
(2)由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性．(√)
(3)动能定理既适用于直线运动和曲线运动，也适用于恒力做功和变力做功．(√)
实验装置如图所示．
实验方法：测出砝码及砝码盘的重力(视为小车的拉力)，通过纸带上的点迹计算小车在各计数点处的瞬时速度，进而计算出小车在各计数点间运动过程中拉力F做的功W及该过程中增加的动能，如果两者在误差允许范围内相等，则验证了动能定理．
使用数据实时采集系统进行验证．
实验方法：略．
探究点一 对动能定理的理解
如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一个质量为m的物体与两个轨道间的动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C处停止．
探究以下问题：
(1)物体在运动过程中受几个力作用？做功情况怎样？
(2)从A点到C点，物体初、末状态的动能各是多少？
(3)怎样求出从A点到C点过程中物体克服摩擦力做的功？
mgR－Wf＝0，故Wf＝mgR.
1．对动能定理的理解
(1)公式W＝Ek2－Ek1中的W是合外力做的功，不是某个力做的功，W可能是正功，也可能是负功．
(2)Ek2、Ek1分别是末动能和初动能，Ek2可能大于Ek1，也可能小于Ek1.
2．动能定理的适用对象：动能定理虽然是根据牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式推出的，但动能定理本身既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程，既适用于物体做直线运动的情况，也适用于物体做曲线运动的情况．
关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，但不适用于变力做功
C．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
D．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时动能增加，当W＜0时动能减小
一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(负号表示方向与原来相反)，在整段时间内，水平力所做的功为( )
A．mv2 B．－mv2
C．mv2 D．－mv2
探究点二 动能定理的应用
过山车是一项富有刺激性的游乐设施，其运动轨道可视为如图所示的物理模型．已知轨道最高点A离地面高度为h，圆环轨道半径为R＝10 m，过山车质量为m＝100 kg，g取10 m/s2，不计一切阻力．
探究以下问题：
(1)若h＝45 m，过山车从A点静止释放后，经过圆环轨道最低点B时的速度为多大？过山车对轨道的压力是多大？
(2)若过山车从A点静止释放后，经过圆环轨道最高点C时，轨道对车的作用力恰好等于车的重力，A点离地面的高度h是多少？
(3)若过山车从A点静止释放后，能够到达C点，则h至少是多少？
运用动能定理与牛顿定律解题的比较
牛顿定律 动能定理
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
适用条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线或曲线运动均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功．航母上的舰载机采用滑跃式起飞，甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成的，如图甲所示．为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，图乙为其示意图，AB长L1＝150 m，BC水平投影L2＝63 m，图中C点切线方向与水平方向的夹角θ＝12°(sin 12°≈0.21).若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t＝6 s到达B点进入BC.已知飞行员的质量m＝60 kg，g取10 m/s2，求：
甲 乙
(1)在舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做的功W；
(2)舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力N.
(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧对物块先做正功后做负功
D．物块在A点的初速度为
如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比．
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
探究点三 动能定理的实验证明
小明同学为探究“合力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
甲
①按图甲摆好实验装置，其中小车质量M＝0.20 kg，钩码总质量m＝0.05 kg.
②释放小车，然后接通打点计时器的电源(电源的周期T＝0.02 s)，打出一条纸带．
(1)他在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条，如图乙所示．把打下的第一点记作0，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.041 m，d2＝0.055 m，d3＝0.167 m，d4＝0.256 m，d5＝0.360 m，d6＝0.480 m，他把钩码重力(当地重力加速度g取9.8 m/s2)作为小车所受合力，算出0点到第5个计数点合力做的功W＝________ J(结果保留三位有效数字)，打下第5个计数点时小车的动能Ek＝__________(用相关数据的字母列式)，并把打下第5点时小车的动能作为小车动能的改变量，算得Ek＝0.125 J.
乙
(2)(多选)此次实验探究的结果，小明没能得到“合力对物体做的功等于物体动能的增量”的结论，且误差很大．通过反思，他认为产生误差的可能原因如下，其中正确的是__________．
A．钩码质量太大，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大
B．没有使用最小刻度为毫米的刻度尺测距离是产生此误差的主要原因
C．没有平衡摩擦力，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大
D．释放小车和接通电源的次序有误，使得动能增量的测量值比真实值偏小
如图甲所示是小徐同学做“探究做功与速度变化的关系”的实验装置．他将光电门固定在直轨道上的O点，用同一重物通过细线拉同一小车，每次小车都从不同位置由静止释放，各位置A、B、C、D、E、F、G(图中只标出了O、G)离O点的距离d分别为8 cm、16 cm、24 cm、32 cm、40 cm、48 cm、56 cm.
(1)该实验________(选填“需要”或“不需要”)测量重物的重力．
(2)该实验________(选填“必须”或“不必要”)平衡摩擦力．
(3)为了探究做功与速度变化的规律，依次得到的实验数据记录如下表所示．请选取其中最合适的两行数据在图乙的方格纸内描点作图．
实验次数 1 2 3 4 5 6 7
d/×10－2 m 8.00 16.00 24.00 32.00 40.00 48.00 56.00
v/(m·s－1) 0.49 0.69 0.85 0.99 1.09 1.21 1.50
v2/(m2·s－2) 0.24 0.48 0.72 0.98 1.19 1.46 2.25
/(m·s－1) 0.70 0.83 0.92 1.00 1.04 1.10 1.23
(4)从图像得到的直接结论是_______________________，从而间接得到做功与物体速度变化的规律是______________________．
1．(动能和动能的表达式)(多选)质量一定的物体( )
A．速度发生变化时其动能一定变化
B．速度发生变化时其动能不一定变化
C．速度不变时其动能一定不变
D．动能不变时其速度一定不变
2．(动能定理)一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样路面上急刹车后滑行的距离x2应为( )
A．6.4 m B．5.6 m
C．7.2 m D．10.8 m
3．(动能定理在曲线运动中的应用)(2021·山东卷)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A． eq \f(mv,2πL) B． eq \f(mv,4πL) C． eq \f(mv,8πL) D． eq \f(mv,16πL)
4．(应用动能定理分析实际问题)如图所示，粗糙的水平轨道AB与半径为R的光滑半圆轨道BC在B点相切，轨道ABC固定在竖直平面内，C为半圆轨道的最高点．质量为m的小物块从A点以水平向右的初速度沿AB滑行，已知AB间的距离为s，物块与AB间的动摩擦因数为μ，不计空气阻力，重力加速度为g.
(1)若物块恰能运动到B点停下来，求物块在A点的初速度大小；
(2)若物块恰能通过C点，求物块通过C点时的速度大小和在A点的初速度大小．
课时作业(13) 动能 动能定理
1．A、B两物体的速度之比为2∶1，质量的大小之比为1∶3，则它们的动能之比为( )
A．12∶1 B．12∶3
C．12∶5 D．4∶3
2．一个物体的速度从0增大到v，外力对物体做功为W1；速度再从v增大到2v，外力对物体做功为W2，则W1和W2的关系正确的是( )
A．W2＝3W1 B．W2＝2W1
C．W2＝W1 D．W2＝4W1
3．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则返回途中经过A点的速度大小为( )
A． eq \r(v－4gh) B． eq \r(4gh－v)
C． eq \r(v－2gh) D． eq \r(2gh－v)
4．用竖直向上、大小为30 N的力F将2 kg的物体从沙坑表面由静止提升1 m 时撤去力F，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20 cm.若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则物体克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．20 J B．24 J
C．34 J D．54 J
5．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B．
C． D．2
6．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻质弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A．mv－μmg(s＋x)
B．mv－μmgx
C．μmgs
D．μmg(s＋x)
7．某个物体在合外力作用下做直线运动的v t图像如图所示．下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合力做正功
B．在0～2 s内，合力总是做负功
C．在1～2 s内，合力不做功
D．在0～3 s内，合力总是做正功
8．如图所示，光滑斜面的顶端固定一根弹簧，一个小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面的高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是( )
A．mgh－mv2
B．mv2－mgh
C．－mgh
D．－(mgh＋mv2)
9．如图所示的装置可用于探究恒力做功与速度变化的关系．水平轨道上安装两个光电门，小车上固定有力传感器和挡光板，细线一端与力传感器连接，另一端跨过定滑轮挂上砝码盘．实验首先保持轨道水平，通过调整砝码盘里砝码的质量让小车做匀速运动以平衡摩擦力，再进行后面的操作，并在实验中获得以下测量数据：小车、力传感器和挡光板的总质量M，平衡摩擦力的砝码和砝码盘的总质量m0，挡光板的宽度d，光电门1和2的中心距离s.
某次实验过程：力传感器的读数为F，小车通过光电门1和2的挡光时间分别为t1、t2(小车通过光电门2后，砝码盘才落地)，砝码盘和砝码的总质量为m，已知重力加速度为g，则对该小车，实验要验证的表达式是( )
A．mgs＝M()2－M()2
B．(m－m0)gs＝M()2－M()2
C．(F－m0g)s＝M()2－M()2
D．Fs＝M()2－M()2
10．如图所示，在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门．球门高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做的功W(不计空气阻力，足球视为质点)( )
A．等于mgh＋mv2
B．大于mgh＋mv2
C．小于mgh＋mv2
D．因为球入球门过程中的曲线的形状不确定，所以做功的大小无法确定
11．如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示，重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为( )
A．m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，f＝1.0 N
12．(多选)(2021·全国甲卷)一个质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g.则( )
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
13．一种常见的圆桌如图所示，桌面中间嵌一半径为r＝1.5 m、可绕中心轴转动的圆盘，桌面与圆盘面在同一水平面内且两者间缝隙可不考虑．已知桌面离地高度为h＝0.8 m，将一可视为质点的小碟子放置在圆盘边缘，若缓慢增大圆盘的角速度，碟子将从圆盘上甩出并滑上桌面，再从桌面飞出，落地点与桌面飞出点的水平距离是0.4 m．已知碟子质量m＝0.1 kg，碟子与圆盘间的最大静摩擦力fmax＝0.6 N，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)
(1)碟子从桌面飞出时的速度大小；
(2)碟子在桌面上运动时，桌面摩擦力对它做的功；
(3)若碟子与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.225，要使碟子不滑出桌面，则桌面半径至少是多少？
14．如图所示，一半径为R＝0.2 m的竖直粗糙圆弧轨道与水平地面相接于B点，C、D两点分别位于轨道的最低点和最高点．距地面高度为h＝0.45 m的水平台面上有一质量为m＝1 kg可看作质点的物块，物块在水平向右的恒力F＝4 N的作用下，由静止开始运动，经过t＝2 s时间到达平台边缘上的A点，此时撤去恒力F，物块在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道切线方向滑入轨道，物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力．物块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块到达A点时的速度大小vA.
(2)物块到达B点时的速度大小 vB.
(3)物块从B点运动到D点过程中克服摩擦力所做的功Wf.课时作业(13) 动能 动能定理
[对应学生用书P138]
1．A、B两物体的速度之比为2∶1，质量的大小之比为1∶3，则它们的动能之比为( )
A．12∶1 B．12∶3
C．12∶5 D．4∶3
D [根据动能的定义Ek＝mv2，有＝ eq \f(mAv,mBv) ＝＝，故D正确．]
2．一个物体的速度从0增大到v，外力对物体做功为W1；速度再从v增大到2v，外力对物体做功为W2，则W1和W2的关系正确的是( )
A．W2＝3W1 B．W2＝2W1
C．W2＝W1 D．W2＝4W1
A [由动能定理得W1＝mv2－0＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝3(mv2)＝3W1，故A正确．]
3．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则返回途中经过A点的速度大小为( )
A． eq \r(v－4gh) B． eq \r(4gh－v)
C． eq \r(v－2gh) D． eq \r(2gh－v)
B [在从A点到B点的过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得－mgh－Wf＝0－mv，从B点到A点过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)，根据动能定理可得mgh－Wf＝mv2，两式联立得返回途中经过A点的速度大小v＝ eq \r(4gh－v) ，故B正确．]
4．用竖直向上、大小为30 N的力F将2 kg的物体从沙坑表面由静止提升1 m 时撤去力F，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20 cm.若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则物体克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．20 J B．24 J
C．34 J D．54 J
C [设物体克服沙坑的阻力所做的功为Wf，对全程由动能定理有Fh＋mgd－Wf＝0，解得Wf＝34 J，故C正确．]
5．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B．
C． D．2
A [小球下落的高度为
h＝πR－R＋R＝R
小球下落过程中，根据动能定理有
mgh＝mv2
综上可得v＝，故选A.]
6．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻质弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A．mv－μmg(s＋x)
B．mv－μmgx
C．μmgs
D．μmg(s＋x)
A [由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv，解得W＝mv－μmg(s＋x)，A正确．]
7．某个物体在合外力作用下做直线运动的v t图像如图所示．下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合力做正功
B．在0～2 s内，合力总是做负功
C．在1～2 s内，合力不做功
D．在0～3 s内，合力总是做正功
A [0～1 s内物体的速度增加，物体的动能也一直增加，该过程合力一直做正功，故A正确；同理，0～2 s内合力先做正功，后做负功，总功为正，故B错误；1～2 s内合力做负功，故C错误；0～3 s 内物体的速度先增大后减小，动能先增后减，合力先做正功，后做负功，全过程不做功，故D错误．]
8．如图所示，光滑斜面的顶端固定一根弹簧，一个小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面的高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是( )
A．mgh－mv2
B．mv2－mgh
C．－mgh
D．－(mgh＋mv2)
A [对由A到C的过程，由动能定理可得
－mgh＋W＝0－mv2
则W＝mgh－mv2，故A正确．]
9．如图所示的装置可用于探究恒力做功与速度变化的关系．水平轨道上安装两个光电门，小车上固定有力传感器和挡光板，细线一端与力传感器连接，另一端跨过定滑轮挂上砝码盘．实验首先保持轨道水平，通过调整砝码盘里砝码的质量让小车做匀速运动以平衡摩擦力，再进行后面的操作，并在实验中获得以下测量数据：小车、力传感器和挡光板的总质量M，平衡摩擦力的砝码和砝码盘的总质量m0，挡光板的宽度d，光电门1和2的中心距离s.
某次实验过程：力传感器的读数为F，小车通过光电门1和2的挡光时间分别为t1、t2(小车通过光电门2后，砝码盘才落地)，砝码盘和砝码的总质量为m，已知重力加速度为g，则对该小车，实验要验证的表达式是( )
A．mgs＝M()2－M()2
B．(m－m0)gs＝M()2－M()2
C．(F－m0g)s＝M()2－M()2
D．Fs＝M()2－M()2
C [由于挡光板的宽度d很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度．
小车通过光电门1时速度v1＝
小车通过光电门2时速度v2＝
根据功能关系，需要验证的关系式为
(F－m0g)s＝Mv－Mv
即(F－m0g)s＝M()2－M()2，故C正确]
10．如图所示，在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门．球门高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做的功W(不计空气阻力，足球视为质点)( )
A．等于mgh＋mv2
B．大于mgh＋mv2
C．小于mgh＋mv2
D．因为球入球门过程中的曲线的形状不确定，所以做功的大小无法确定
A [对足球从球员踢出到飞入球门的过程研究，根据动能定理得W－mgh＝mv2，则W＝mgh＋mv2，故A正确．]
11．如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示，重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为( )
A．m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，f＝1.0 N
A [根据动能定理可得，物块在上滑过程中有－fs－mgs sin 30°＝0－mv2，即Ek＝(f＋mg sin 30°)s，物块在下滑过程中有mgs sin 30°－fs＝mv′2，即Ek′＝(mg sin 30°－f)s.结合Ek s图像，联立解得m＝0.7 kg.f＝0.5 N，故A正确，B、C、D错误．]
12．(多选)(2021·全国甲卷)一个质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g.则( )
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
BC [物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
－μmg·2l cos α＝－Ek
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
－mgl sin α－μmgl cos α＝0－Ek
整理得
l＝，μ＝0.5
故A错误，C正确；
物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有
mg sin α－μmg cos α＝ma
解得a＝，故B正确；
物体向上滑动时，根据牛顿第二定律有
ma上＝mg sin α＋μmg cos α
物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有
ma下＝mg sin α－μmg cos α
由上式比较可知a上＞a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式l＝at2可得出t上＜t下，D错误．]
13．一种常见的圆桌如图所示，桌面中间嵌一半径为r＝1.5 m、可绕中心轴转动的圆盘，桌面与圆盘面在同一水平面内且两者间缝隙可不考虑．已知桌面离地高度为h＝0.8 m，将一可视为质点的小碟子放置在圆盘边缘，若缓慢增大圆盘的角速度，碟子将从圆盘上甩出并滑上桌面，再从桌面飞出，落地点与桌面飞出点的水平距离是0.4 m．已知碟子质量m＝0.1 kg，碟子与圆盘间的最大静摩擦力fmax＝0.6 N，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)
(1)碟子从桌面飞出时的速度大小；
(2)碟子在桌面上运动时，桌面摩擦力对它做的功；
(3)若碟子与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.225，要使碟子不滑出桌面，则桌面半径至少是多少？
解析 (1)根据平抛运动规律有
h＝gt2，
x＝vt，
解得v＝x＝1 m/s.
(2)设碟子从圆盘上甩出时的速度为v0，则
fmax＝m eq \f(v,r) ，即v0＝3 m/s
由动能定理得Wf＝mv2－mv，
代入数据解得Wf＝－0.4 J．
(3)当碟子滑到桌面边缘时速度恰好减为零，此时对应的桌面半径取最小值．
设碟子在桌面上滑动的位移为x′，根据动能定理有－μmgx′＝0－mv
代入数据得x′＝2 m
由几何知识可得桌子半径的最小值为
R＝＝2.5 m
答案 (1)1 m/s (2)－0.4 J (3)2.5 m
14．如图所示，一半径为R＝0.2 m的竖直粗糙圆弧轨道与水平地面相接于B点，C、D两点分别位于轨道的最低点和最高点．距地面高度为h＝0.45 m的水平台面上有一质量为m＝1 kg可看作质点的物块，物块在水平向右的恒力F＝4 N的作用下，由静止开始运动，经过t＝2 s时间到达平台边缘上的A点，此时撤去恒力F，物块在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道切线方向滑入轨道，物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力．物块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块到达A点时的速度大小vA.
(2)物块到达B点时的速度大小 vB.
(3)物块从B点运动到D点过程中克服摩擦力所做的功Wf.
解析 (1)物体在平台上运动时，由牛顿第二定律可得
F－μmg＝ma
且vA＝at
代入数据解得vA＝4 m/s.
(2)从A点到B点，由动能定理得
mgh＝mv－mv
代入数据解得vB＝5 m/s.
(3)设OB与OC的夹角为θ，则
cos θ＝＝
物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力，故此时完全由重力提供向心力，可得
mg＝m eq \f(v,R)
从B点到D点，由动能定理得
－mg(R＋R cos θ)－Wf＝mv－mv
解得Wf＝7.9 J．
答案 (1)4 m/s (2)5 m/s (3)7.9 J课时作业(13) 动能 动能定理
1．A、B两物体的速度之比为2∶1，质量的大小之比为1∶3，则它们的动能之比为( )
A．12∶1 B．12∶3
C．12∶5 D．4∶3
2．一个物体的速度从0增大到v，外力对物体做功为W1；速度再从v增大到2v，外力对物体做功为W2，则W1和W2的关系正确的是( )
A．W2＝3W1 B．W2＝2W1
C．W2＝W1 D．W2＝4W1
3．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则返回途中经过A点的速度大小为( )
A． eq \r(v－4gh) B． eq \r(4gh－v)
C． eq \r(v－2gh) D． eq \r(2gh－v)
4．用竖直向上、大小为30 N的力F将2 kg的物体从沙坑表面由静止提升1 m 时撤去力F，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20 cm.若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则物体克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．20 J B．24 J
C．34 J D．54 J
5．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A． B．
C． D．2
6．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻质弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A．mv－μmg(s＋x)
B．mv－μmgx
C．μmgs
D．μmg(s＋x)
7．某个物体在合外力作用下做直线运动的v t图像如图所示．下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合力做正功
B．在0～2 s内，合力总是做负功
C．在1～2 s内，合力不做功
D．在0～3 s内，合力总是做正功
8．如图所示，光滑斜面的顶端固定一根弹簧，一个小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面的高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是( )
A．mgh－mv2
B．mv2－mgh
C．－mgh
D．－(mgh＋mv2)
9．如图所示的装置可用于探究恒力做功与速度变化的关系．水平轨道上安装两个光电门，小车上固定有力传感器和挡光板，细线一端与力传感器连接，另一端跨过定滑轮挂上砝码盘．实验首先保持轨道水平，通过调整砝码盘里砝码的质量让小车做匀速运动以平衡摩擦力，再进行后面的操作，并在实验中获得以下测量数据：小车、力传感器和挡光板的总质量M，平衡摩擦力的砝码和砝码盘的总质量m0，挡光板的宽度d，光电门1和2的中心距离s.
某次实验过程：力传感器的读数为F，小车通过光电门1和2的挡光时间分别为t1、t2(小车通过光电门2后，砝码盘才落地)，砝码盘和砝码的总质量为m，已知重力加速度为g，则对该小车，实验要验证的表达式是( )
A．mgs＝M()2－M()2
B．(m－m0)gs＝M()2－M()2
C．(F－m0g)s＝M()2－M()2
D．Fs＝M()2－M()2
10．如图所示，在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门．球门高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做的功W(不计空气阻力，足球视为质点)( )
A．等于mgh＋mv2
B．大于mgh＋mv2
C．小于mgh＋mv2
D．因为球入球门过程中的曲线的形状不确定，所以做功的大小无法确定
11．如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示，重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为( )
A．m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，f＝1.0 N
12．(多选)(2021·全国甲卷)一个质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g.则( )
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
13．一种常见的圆桌如图所示，桌面中间嵌一半径为r＝1.5 m、可绕中心轴转动的圆盘，桌面与圆盘面在同一水平面内且两者间缝隙可不考虑．已知桌面离地高度为h＝0.8 m，将一可视为质点的小碟子放置在圆盘边缘，若缓慢增大圆盘的角速度，碟子将从圆盘上甩出并滑上桌面，再从桌面飞出，落地点与桌面飞出点的水平距离是0.4 m．已知碟子质量m＝0.1 kg，碟子与圆盘间的最大静摩擦力fmax＝0.6 N，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)
(1)碟子从桌面飞出时的速度大小；
(2)碟子在桌面上运动时，桌面摩擦力对它做的功；
(3)若碟子与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.225，要使碟子不滑出桌面，则桌面半径至少是多少？
14．如图所示，一半径为R＝0.2 m的竖直粗糙圆弧轨道与水平地面相接于B点，C、D两点分别位于轨道的最低点和最高点．距地面高度为h＝0.45 m的水平台面上有一质量为m＝1 kg可看作质点的物块，物块在水平向右的恒力F＝4 N的作用下，由静止开始运动，经过t＝2 s时间到达平台边缘上的A点，此时撤去恒力F，物块在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道切线方向滑入轨道，物块运动到圆弧轨道最高点D时对轨道恰好无作用力．物块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块到达A点时的速度大小vA.
(2)物块到达B点时的速度大小 vB.
(3)物块从B点运动到D点过程中克服摩擦力所做的功Wf.
