(共42张PPT)
第四章 机械能及其守恒定律
第5节 机械能守恒定律
栏目索引
教材知识 梳理
知识方法 探究
随堂达标 训练
教材知识 梳理
动能
势能
重力
弹力
势能
动能
动能
势能
相互转化
保持不变
重力或弹力
重力做功
弹力
√
×
知识方法 探究
续表
续表
随堂达标 训练
课时作业(15)
谢谢观看！
米
米
米米：
会米
米
米米
米
米
米
米第5节 机械能守恒定律
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道动能和势能的相互转化和机械能的概念．2．掌握机械能守恒定律，知道机械能守恒的条件．3．能够应用机械能守恒定律分析相关的实际问题． 1．物理观念：能量、机械能、机械能守恒定律．2．科学思维：机械能守恒的条件、应用．3．科学探究：通过摆球、弹簧、滑块等观察机械能的转化与守恒．4．科学态度与责任：机械能守恒定律的深刻意义和实际应用．
[对应学生用书P76]
1．机械能：动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能．
2．动能与势能的相互转化
(1)转化条件：重力或弹力做功．
(2)转化特点：做正功时，势能向动能转化；做负功时，动能向势能转化．
[思考]
(1)如图甲所示，在小球沿光滑的斜面下滑过程中，动能和重力势能分别如何变化？如果小球以某一速度沿斜面上滑呢？
甲
提示 下滑时动能增大重力势能减小，上滑时动能减小重力势能增大．
(2)如图乙所示，光滑水平面上，在被压缩的弹簧恢复原状过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能分别如何变化？小球向左运动，挤压弹簧呢？
乙
提示 弹簧恢复原状时，小球动能增加，弹性势能减小；挤压弹簧时，小球动能减小，弹性势能增大．
1．内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能会发生相互转化，而总机械能保持不变．
2．表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk＝－ΔEp．
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1．
3．守恒条件：只有重力或弹力做功．
[思考]
如图所示，物体沿光滑曲面滑下，途经A、B两点．物体在A、B两点时具有的机械能有何关系？
提示 物体由A到B，只有重力做功，故其机械能守恒，即A、B两点的机械能相等．
三、关于机械能转化与守恒的实验观察
机械能守恒定律的应用
1．通过摆球的往复运动，可以观察到只有重力做功时的机械能转化与守恒．
2．通过弹簧滑片或弹簧钩码的往复运动，可以观察只有弹力做功时的机械能转化与守恒．
3．应用机械能守恒定律可以方便地解决生活和生产中的许多问题．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)物体只发生动能和势能的相互转化时，它的机械能一定守恒．(√)
(2)物体做匀速运动，它的机械能一定守恒．(×)
[对应学生用书P77]
探究点一 机械能守恒的条件
如图，用细线拴着的小球在竖直平面内摆动．探究以下问题：
(1)小球的受力情况如何？
提示 小球在摆动过程中受重力和线的拉力作用．
(2)各力做功情况如何？小球的动能和势能如何变化？
提示 拉力和速度方向总是保持垂直，对小球不做功，只有重力对小球做功．小球在摆动过程中重力势能和动能在不断相互转化．
(3)这个实验说明了什么问题？
提示 在摆动过程中，小球总能回到原来的高度，可见，重力势能和动能的总和不变．
机械能守恒的四种情况
1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等．
2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一根弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上并和弹簧相互作用，在这个过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
4．除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动，若拉力的大小与摩擦力的大小相等，则在此运动过程中，其机械能守恒．
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，其机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，在A加速下落、B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球从水平位置A处由静止释放，运动到B处的过程中，小球的机械能守恒
BCD [题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但A机械能不守恒，故A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但当拉力与摩擦力相等时，除重力之外的三个力做功的代数和为零，故B的机械能守恒，故B正确；题图丙中绳子的张力对A做负功，对B做正功，两者代数和为零，又不计任何阻力，故A、B组成的系统机械能守恒，故C正确；题图丁中只有小球的重力做功，故机械能守恒，故D正确．]
[题后总结]
(1)系统机械能守恒时，系统中单个物体的机械能不一定守恒．
(2)虽然有摩擦力做功，但还有其他力做功来抵消摩擦力做的功，机械能仍然守恒．
(3)系统中有内力做功，但内力做功的代数和为零，则机械能守恒．
(4)物体除受重力外还受其他力，但其他力不做功，则机械能守恒．
[训练1] 如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻质弹簧上，在小球接触弹簧至弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于该系统能量的叙述正确的应是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
D [球下落过程中受到的重力做正功，弹力做负功，重力势能、弹性势能及动能都要发生变化，任意两种能量之和都不会保持不变，但该系统中的三种能量的总和不变，故D正确．]
探究点二 机械能守恒定律的应用
如图所示，光滑斜面的顶端A处高为h，底端通过小段圆弧与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放．探究以下问题：
(1)小球从A点运动到B点的过程中，机械能是否守恒？
提示 由于轨道光滑，小球运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒．
(2)若小球能够到达B点，则到达B点时的动能是多少？
提示 根据机械能守恒定律，有
mg·2R＋Ek＝mgh
故Ek＝mgh－2mgR＝mg(h－2R)
(3)若小球能恰好通过B点，则h和R有什么关系？
提示 小球恰好通过B点的条件是
mg＝.
再根据机械能守恒定律有
mg·2R＋mv2＝mgh
故h＝R
机械能守恒定律与动能定理的比较
规律比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2，ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
适用范围 只有重力或弹力做功 无限制
研究对象 系统 质点或系统
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能相互转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况
选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节(2)能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定都能用机械能守恒定律解决(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍
思想方法 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下状态的变化，中间过程都有力做功，列式时都要明确初、末两个状态，所列方程都用标量的形式表达
如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ＝53°，BD为一段半径R＝4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑．在A点处有一个质量m＝1 kg的小球由静止滑下，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS＝8 m/s.已知A点距地面的高度H＝10 m，B点距地面的高度h＝5 m，设以MDN为分界线，其左侧为一有阻力区域，右侧为无阻力区域，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6.求：
(1)小球经过B点时的速度大小；
(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力大小；
(3)小球从D点到S点的过程中阻力所做的功．
解析 (1)设小球经过B点时的速度大小为vB，由机械能守恒定律得
mg(H－h)＝mv
则vB＝，
代入数据解得vB＝10 m/s
(2)设小球经过C点时的速度大小为vC，轨道对小球的支持力为N.
根据牛顿第二定律得N－mg＝m eq \f(v,R)
从B点到C点，由动能定理得
mgR(1－cos 53°)＝mv－mv，
解得N＝43 N
由牛顿第三定律得
小球对轨道的压力N′＝N＝43 N
(3)小球由B点到D点的过程，由机械能守恒定律知vD＝vB
设小球从D点到S点的过程中阻力所做的功为W
由动能定理得mgh＋W＝mv－mv
解得W＝－68 J.
答案 (1)10 m/s (2)43 N (3)－68 J
[题后总结]
(1)从A点运动到D点的过程中小球的机械能守恒；
(2)小球在C点受到的重力和支持力的合力提供做圆周运动的向心力；
(3)从D点到S点的过程中小球的机械能不守恒，可以应用动能定理将重力的功、阻力所做的功与动能的变化联系起来．
[训练2] 如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小．
解析 (1)以水面为参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为
Ep＝mgh＝5 000 J.
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，则运动员起跳时的动能为Ek＝mv＝625 J.
(3)设运动员入水时的速度大小为v，运动员从起跳到入水的过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，
则mgh＋mv＝mv2，
解得v＝15 m/s.
答案 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
[训练3] 如图所示，abcde为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R＝2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点．运动员脚踩滑板从高H＝3 m的a处由静止出发，沿轨道自由滑下．运动员连同滑板可视为质点，其总质量m＝60 kg.忽略摩擦阻力和空气阻力，取g＝10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小．
解析 运动员从开始滑下至c点，由机械能守恒定律得mgH＝mv2①
运动员滑至最低点时，由牛顿第二定律得
N－mg＝m②
由①②得N＝mg(1＋)＝2 040 N.
答案 2 040 N
[对应学生用书P80]
1．(机械能守恒的判断)篮球由静止开始下落至地面，经多次反弹后静止在地面上，从篮球开始下落到最终静止的过程，下列说法正确的是( )
A．机械能不守恒
B．重力一直做正功
C．重力势能时刻在减少
D．重力一直做负功
A [篮球最终静止，说明机械能减少，故A正确；篮球上升时，重力做负功，重力势能增大，下落时，重力做正功，重力势能减少，故B、C、D错误．]
2．(动能和势能的相互转化)如图所示，将一个质量为m的石块(可视为质点)从离地面高度为H的O点以初速度v0水平抛出，途经离地面高度为h的P点并落到水平地面上．不计空气阻力，重力加速度为g，选择地面为参考平面， 则石块经过P点时的( )
A．水平分速度大于v0
B．动能为mv
C．重力势能为mv＋mg(H－h)
D．机械能为mv＋mgH
D [石块做平抛运动，在水平方向上做速度为v0的匀速直线运动，故经过P点时水平分速度大小为v0，A错误；从O到P，只有重力做功，根据动能定理可得mg(H－h)＝Ek－mv，故P点的动能为Ek＝mg(H－h)＋mv，以地面为零势能面，P点距离地面的高度为h，故重力势能为mgh，B、C错误；整个过程中机械能守恒，P点的机械能等于抛出点的机械能，为mv＋mgH，D正确．]
3．(系统的机械能守恒)(多选)如图所示，斜面置于光滑水平地面，在光滑斜面上有一个物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
AD [物体由静止开始下滑的过程中，其重力势能减少，动能增加，A正确；物体在下滑过程中，斜面沿水平地面做加速运动，动能增加，重力势能不变，则其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对于物体与斜面组成的系统，只有物体的重力做功，该系统的机械能守恒，D正确．]
4．(机械能守恒定律的综合应用)山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜坡，BC是半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B点，与水平面相切于C点，如图所示，A、B两点的高度差h＝5 m，运动员连同滑雪装备的总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和轨道的摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).求：
(1)运动员到达B点的速度大小；
(2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小．
解析 (1)从A点到B点机械能守恒，则有
mgh＝mv
解得：vB＝10 m/s
(2)从A点到C点机械能守恒，则有
mg[h＋R(1－cos 37°)]＝mv
N－mg＝ eq \f(mv,R)
解得：N＝2 720 N
由牛顿第三定律知：
轨道受到的压力大小为2 720 N.
答案 (1)10 m/s (2)2 720 N
课时作业(15) 机械能守恒定律
[对应学生用书P145]
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
A [三个小球初始状态的机械能相同，抛出后只受重力，机械能守恒，根据机械能守恒定律，落地时三个小球的机械能相同，速度大小相同．]
2．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，则当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取 10 m/s2)( )
A．0，－5 J B．0，－10 J
C．10 J，5 J D．20 J，－10 J
A [物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，即为0，下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mg·sin 30°＝－5 J．故A正确．]
3．如图所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为( )
A．mgh B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2 D．mv2－mgh
D [由机械能守恒定律可得物块的动能转化为其重力势能和弹簧的弹性势能，有mv2＝mgh＋Ep，故Ep＝mv2－mgh.]
4．(多选)(2021·广东卷)在红军长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
BC [由平抛运动规律可知，做平抛运动的时间t＝，因为两手榴弹运动的高度差相同，所以在空中运动时间相等，A错误；
做平抛运动的物体落地前瞬间重力的功率为
P＝mgv cos θ＝mgvy＝mg
因为两手榴弹运动的高度差相同，质量相同，所以落地前瞬间两手榴弹重力的功率相同，B正确；
从投出到落地，手榴弹下降的高度为h，所以手榴弹重力势能减小量ΔEP＝mgh，C正确；
从投出到落地，手榴弹做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，故D错误．]
5．如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h.若将小球A换成质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放(重力加速度为g，不计空气阻力)，则小球B下降h时的速度为( )
A． B．
C． D．0
B [设小球A下降高度h时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒可知Ep＝mgh.当小球A换为质量为2m的小球B时，设小球B下降h时速度为v，根据机械能守恒有2mgh＝·2mv2＋Ep，解得v＝，故B正确．]
6．(多选)两质量相同的小球A、B用线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球长．把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时(以悬点为零势能点，空气阻力不计)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
BD [空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确．]
7．如图所示，把一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处．若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶1 B．2∶3
C．4∶5 D．5∶6
C [当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A的位置重力势能为零)mgh1＝mgR，解得h1＝R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有R＝vBt，R＝gt2，解得vB＝ ，根据机械能守恒定律有mgh2＝mgR＋mv，解得h2＝R，故h1∶h2＝4∶5.]
8. 如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面(不计空气阻力)，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是( )
A．mv＋mgh B．mv－mgh
C．mv D．mv＋mg(H－h)
C [小球下落过程机械能守恒，所以EA＝E初＝mv，故C正确．]
9．在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”．如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点A，运动员做自由落体运动，竖直落入水中．将运动员视为质点，运动员质量m＝60 kg，g取10 m/s2.求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能；
(2)运动员入水前的速度大小．(可以用根号表示结果)
解析 (1)运动员由C点运动到A点时，跳板的弹性势能转化为运动员增加的重力势能，则
Ep＝mghAC＝60×10×(1.5＋0.5) J＝1 200 J.
(2)运动员由A点开始做自由落体运动，机械能守恒，则mghA＝mv2
解得v＝＝ m/s
＝3 m/s.
答案 (1)1 200 J (2)3 m/s
10．如图所示，在竖直平面内有一半径为2 m的圆弧形光滑导轨AB，A点与其最低点C的高度差为1 m，今由A点沿导轨无初速度释放一个小球，若g取10 m/s2，则( )
A．小球过B点的速度vB＝2 m/s
B．小球过B点的速度vB＝2 m/s
C．小球离开B点后做平抛运动
D．小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
B [由于cos ∠AOE＝＝，∠AOE＝60°，故∠BOC＝90°－60°＝30°，hBC＝R－R cos 30°＝(2－)m，hAB＝hAC－hBC＝( －1)m，根据机械能守恒定律得mghAB＝eq \f(1,2)mv，所以vB＝＝2 m/s，故A错误，B正确；小球离开B点后做斜上抛运动，C错误；到达最高点时，小球具有水平方向的速度，由机械能守恒知，小球离开B点后到达最高点时的高度低于A、D点的高度，故D错误．]
11．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各连有一杂技演员(可视为质点)，甲站于地面上，乙从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，则演员甲的质量与演员乙的质量之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
B [设定滑轮到乙演员的距离为L，那么当乙摆至最低点时下降的高度为，根据机械能守恒定律可知m乙g＝m乙v2；又因为当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，说明绳子上的张力大小和甲演员的重力相等，所以m甲g－m乙g＝m乙，联立上面两式可得演员甲的质量与演员乙的质量之比为2∶1，故B正确．]
12．(多选)右图是一台儿童游戏机的工作示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P.将球投入AB管内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励．假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠视为质点．某次缓慢下拉手柄，使弹珠到B点的距离为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点时速度为v，下列说法正确的是( )
A．弹珠从释放手柄开始到触碰障碍物之前的过程中机械能不守恒
B．调整手柄的位置，可以使弹珠从C点离开后做匀变速直线运动，直到碰到障碍物
C．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能和重力势能之和达到最大
D．此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sin θ＋mv2
ACD [弹珠从释放手柄到脱离弹簧的过程中，弹簧对弹珠做正功，其机械能增加，弹珠脱离弹簧瞬间，动能和重力势能之和达到最大，故A、C正确；弹珠从C点离开后初速度水平向左，合力等于重力沿斜面向下的分力，两者垂直，所以弹珠做匀变速曲线运动，直到碰到障碍物，故B错误；根据系统的机械能守恒得，弹簧的最大弹性势能等于弹珠在全过程中增加的机械能，从开始运动到上升到C点的过程中，弹珠增加的机械能为mg(L＋R)sin θ＋mv2，故D正确．]
13．(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与水平面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．A处小球到达最低点时速度为0
B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
BCD [因为A处小球质量大，位置高，所以三角支架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为两小球的动能，因而此时A处小球的速度不为0，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高，C正确．]
14．检验某种防护罩承受冲击能力的装置如图所示，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点．在A放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，g取10 m/s2.求：
(1)钢珠在B点的速度；
(2)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间．
解析 (1)在B处对小钢珠进行受力分析，
由牛顿第二定律mg＝m eq \f(v,R)
解得vB＝＝4 m/s
(2)对从发射钢珠到钢珠上升至B点的过程，由机械能守恒定律有
EPN＝ΔEPG＋ΔEk＝mg·2R＋mv
解得EPN＝0.4 J
(3)钢珠做平抛运动，则有h＝gt2
x＝vBt
x2＋h2＝r2
联立解得t＝0.4 s
答案 (1)4 m/s (2)0.4 J (3)0.4 s第5节 机械能守恒定律
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道动能和势能的相互转化和机械能的概念．2．掌握机械能守恒定律，知道机械能守恒的条件．3．能够应用机械能守恒定律分析相关的实际问题． 1．物理观念：能量、机械能、机械能守恒定律．2．科学思维：机械能守恒的条件、应用．3．科学探究：通过摆球、弹簧、滑块等观察机械能的转化与守恒．4．科学态度与责任：机械能守恒定律的深刻意义和实际应用．
1．机械能：动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能．
2．动能与势能的相互转化
(1)转化条件：重力或弹力做功．
(2)转化特点：做正功时，势能向动能转化；做负功时，动能向势能转化．
(1)如图甲所示，在小球沿光滑的斜面下滑过程中，动能和重力势能分别如何变化？如果小球以某一速度沿斜面上滑呢？
甲
(2)如图乙所示，光滑水平面上，在被压缩的弹簧恢复原状过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能分别如何变化？小球向左运动，挤压弹簧呢？
乙
1．内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能会发生相互转化，而总机械能保持不变．
2．表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk＝－ΔEp．
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1．
3．守恒条件：只有重力或弹力做功．
如图所示，物体沿光滑曲面滑下，途经A、B两点．物体在A、B两点时具有的机械能有何关系？
三、关于机械能转化与守恒的实验观察
机械能守恒定律的应用
1．通过摆球的往复运动，可以观察到只有重力做功时的机械能转化与守恒．
2．通过弹簧滑片或弹簧钩码的往复运动，可以观察只有弹力做功时的机械能转化与守恒．
3．应用机械能守恒定律可以方便地解决生活和生产中的许多问题．
(对的画“√”，错的画“×”)
(1)物体只发生动能和势能的相互转化时，它的机械能一定守恒．( )
(2)物体做匀速运动，它的机械能一定守恒．( )
探究点一 机械能守恒的条件
如图，用细线拴着的小球在竖直平面内摆动．探究以下问题：
(1)小球的受力情况如何？
(2)各力做功情况如何？小球的动能和势能如何变化？
(3)这个实验说明了什么问题？
机械能守恒的四种情况
1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等．
2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一根弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上并和弹簧相互作用，在这个过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
4．除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动，若拉力的大小与摩擦力的大小相等，则在此运动过程中，其机械能守恒．
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，其机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，在A加速下落、B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球从水平位置A处由静止释放，运动到B处的过程中，小球的机械能守恒
如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻质弹簧上，在小球接触弹簧至弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于该系统能量的叙述正确的应是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
探究点二 机械能守恒定律的应用
如图所示，光滑斜面的顶端A处高为h，底端通过小段圆弧与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放．探究以下问题：
(1)小球从A点运动到B点的过程中，机械能是否守恒？
(2)若小球能够到达B点，则到达B点时的动能是多少？
机械能守恒定律与动能定理的比较
规律比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2，ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
适用范围 只有重力或弹力做功 无限制
研究对象 系统 质点或系统
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能相互转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况
选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节(2)能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定都能用机械能守恒定律解决(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍
思想方法 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下状态的变化，中间过程都有力做功，列式时都要明确初、末两个状态，所列方程都用标量的形式表达
如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ＝53°，BD为一段半径R＝4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑．在A点处有一个质量m＝1 kg的小球由静止滑下，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS＝8 m/s.已知A点距地面的高度H＝10 m，B点距地面的高度h＝5 m，设以MDN为分界线，其左侧为一有阻力区域，右侧为无阻力区域，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6.求：
(1)小球经过B点时的速度大小；
(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力大小；
(3)小球从D点到S点的过程中阻力所做的功．
如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小．
如图所示，abcde为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R＝2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点．运动员脚踩滑板从高H＝3 m的a处由静止出发，沿轨道自由滑下．运动员连同滑板可视为质点，其总质量m＝60 kg.忽略摩擦阻力和空气阻力，取g＝10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小．
1．(机械能守恒的判断)篮球由静止开始下落至地面，经多次反弹后静止在地面上，从篮球开始下落到最终静止的过程，下列说法正确的是( )
A．机械能不守恒
B．重力一直做正功
C．重力势能时刻在减少
D．重力一直做负功
2．(动能和势能的相互转化)如图所示，将一个质量为m的石块(可视为质点)从离地面高度为H的O点以初速度v0水平抛出，途经离地面高度为h的P点并落到水平地面上．不计空气阻力，重力加速度为g，选择地面为参考平面， 则石块经过P点时的( )
A．水平分速度大于v0
B．动能为mv
C．重力势能为mv＋mg(H－h)
D．机械能为mv＋mgH
3．(系统的机械能守恒)(多选)如图所示，斜面置于光滑水平地面，在光滑斜面上有一个物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
4．(机械能守恒定律的综合应用)山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜坡，BC是半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B点，与水平面相切于C点，如图所示，A、B两点的高度差h＝5 m，运动员连同滑雪装备的总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和轨道的摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).求：
(1)运动员到达B点的速度大小；
(2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小．
课时作业(15) 机械能守恒定律
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
2．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，则当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取 10 m/s2)( )
A．0，－5 J B．0，－10 J
C．10 J，5 J D．20 J，－10 J
3．如图所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为( )
A．mgh B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2 D．mv2－mgh
4．(多选)(2021·广东卷)在红军长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
5．如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h.若将小球A换成质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放(重力加速度为g，不计空气阻力)，则小球B下降h时的速度为( )
A． B．
C． D．0
6．(多选)两质量相同的小球A、B用线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球长．把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时(以悬点为零势能点，空气阻力不计)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
7．如图所示，把一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处．若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶1 B．2∶3
C．4∶5 D．5∶6
8. 如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面(不计空气阻力)，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是( )
A．mv＋mgh B．mv－mgh
C．mv D．mv＋mg(H－h)
9．在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”．如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点A，运动员做自由落体运动，竖直落入水中．将运动员视为质点，运动员质量m＝60 kg，g取10 m/s2.求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能；
(2)运动员入水前的速度大小．(可以用根号表示结果)
10．如图所示，在竖直平面内有一半径为2 m的圆弧形光滑导轨AB，A点与其最低点C的高度差为1 m，今由A点沿导轨无初速度释放一个小球，若g取10 m/s2，则( )
A．小球过B点的速度vB＝2 m/s
B．小球过B点的速度vB＝2 m/s
C．小球离开B点后做平抛运动
D．小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
11．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各连有一杂技演员(可视为质点)，甲站于地面上，乙从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，则演员甲的质量与演员乙的质量之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
12．(多选)右图是一台儿童游戏机的工作示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P.将球投入AB管内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励．假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠视为质点．某次缓慢下拉手柄，使弹珠到B点的距离为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点时速度为v，下列说法正确的是( )
A．弹珠从释放手柄开始到触碰障碍物之前的过程中机械能不守恒
B．调整手柄的位置，可以使弹珠从C点离开后做匀变速直线运动，直到碰到障碍物
C．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能和重力势能之和达到最大
D．此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sin θ＋mv2
13．(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与水平面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．A处小球到达最低点时速度为0
B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
14．检验某种防护罩承受冲击能力的装置如图所示，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点．在A放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，g取10 m/s2.求：
(1)钢珠在B点的速度；
(2)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间．课时作业(15) 机械能守恒定律
[对应学生用书P145]
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
A [三个小球初始状态的机械能相同，抛出后只受重力，机械能守恒，根据机械能守恒定律，落地时三个小球的机械能相同，速度大小相同．]
2．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，则当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取 10 m/s2)( )
A．0，－5 J B．0，－10 J
C．10 J，5 J D．20 J，－10 J
A [物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，即为0，下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mg·sin 30°＝－5 J．故A正确．]
3．如图所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为( )
A．mgh B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2 D．mv2－mgh
D [由机械能守恒定律可得物块的动能转化为其重力势能和弹簧的弹性势能，有mv2＝mgh＋Ep，故Ep＝mv2－mgh.]
4．(多选)(2021·广东卷)在红军长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
BC [由平抛运动规律可知，做平抛运动的时间t＝，因为两手榴弹运动的高度差相同，所以在空中运动时间相等，A错误；
做平抛运动的物体落地前瞬间重力的功率为
P＝mgv cos θ＝mgvy＝mg
因为两手榴弹运动的高度差相同，质量相同，所以落地前瞬间两手榴弹重力的功率相同，B正确；
从投出到落地，手榴弹下降的高度为h，所以手榴弹重力势能减小量ΔEP＝mgh，C正确；
从投出到落地，手榴弹做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，故D错误．]
5．如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h.若将小球A换成质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放(重力加速度为g，不计空气阻力)，则小球B下降h时的速度为( )
A． B．
C． D．0
B [设小球A下降高度h时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒可知Ep＝mgh.当小球A换为质量为2m的小球B时，设小球B下降h时速度为v，根据机械能守恒有2mgh＝·2mv2＋Ep，解得v＝，故B正确．]
6．(多选)两质量相同的小球A、B用线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球长．把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时(以悬点为零势能点，空气阻力不计)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
BD [空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确．]
7．如图所示，把一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处．若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶1 B．2∶3
C．4∶5 D．5∶6
C [当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A的位置重力势能为零)mgh1＝mgR，解得h1＝R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有R＝vBt，R＝gt2，解得vB＝ ，根据机械能守恒定律有mgh2＝mgR＋mv，解得h2＝R，故h1∶h2＝4∶5.]
8. 如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面(不计空气阻力)，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是( )
A．mv＋mgh B．mv－mgh
C．mv D．mv＋mg(H－h)
C [小球下落过程机械能守恒，所以EA＝E初＝mv，故C正确．]
9．在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”．如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点A，运动员做自由落体运动，竖直落入水中．将运动员视为质点，运动员质量m＝60 kg，g取10 m/s2.求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能；
(2)运动员入水前的速度大小．(可以用根号表示结果)
解析 (1)运动员由C点运动到A点时，跳板的弹性势能转化为运动员增加的重力势能，则
Ep＝mghAC＝60×10×(1.5＋0.5) J＝1 200 J.
(2)运动员由A点开始做自由落体运动，机械能守恒，则mghA＝mv2
解得v＝＝ m/s
＝3 m/s.
答案 (1)1 200 J (2)3 m/s
10．如图所示，在竖直平面内有一半径为2 m的圆弧形光滑导轨AB，A点与其最低点C的高度差为1 m，今由A点沿导轨无初速度释放一个小球，若g取10 m/s2，则( )
A．小球过B点的速度vB＝2 m/s
B．小球过B点的速度vB＝2 m/s
C．小球离开B点后做平抛运动
D．小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
B [由于cos ∠AOE＝＝，∠AOE＝60°，故∠BOC＝90°－60°＝30°，hBC＝R－R cos 30°＝(2－)m，hAB＝hAC－hBC＝( －1)m，根据机械能守恒定律得mghAB＝eq \f(1,2)mv，所以vB＝＝2 m/s，故A错误，B正确；小球离开B点后做斜上抛运动，C错误；到达最高点时，小球具有水平方向的速度，由机械能守恒知，小球离开B点后到达最高点时的高度低于A、D点的高度，故D错误．]
11．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各连有一杂技演员(可视为质点)，甲站于地面上，乙从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，则演员甲的质量与演员乙的质量之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
B [设定滑轮到乙演员的距离为L，那么当乙摆至最低点时下降的高度为，根据机械能守恒定律可知m乙g＝m乙v2；又因为当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，说明绳子上的张力大小和甲演员的重力相等，所以m甲g－m乙g＝m乙，联立上面两式可得演员甲的质量与演员乙的质量之比为2∶1，故B正确．]
12．(多选)右图是一台儿童游戏机的工作示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P.将球投入AB管内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励．假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠视为质点．某次缓慢下拉手柄，使弹珠到B点的距离为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点时速度为v，下列说法正确的是( )
A．弹珠从释放手柄开始到触碰障碍物之前的过程中机械能不守恒
B．调整手柄的位置，可以使弹珠从C点离开后做匀变速直线运动，直到碰到障碍物
C．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能和重力势能之和达到最大
D．此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sin θ＋mv2
ACD [弹珠从释放手柄到脱离弹簧的过程中，弹簧对弹珠做正功，其机械能增加，弹珠脱离弹簧瞬间，动能和重力势能之和达到最大，故A、C正确；弹珠从C点离开后初速度水平向左，合力等于重力沿斜面向下的分力，两者垂直，所以弹珠做匀变速曲线运动，直到碰到障碍物，故B错误；根据系统的机械能守恒得，弹簧的最大弹性势能等于弹珠在全过程中增加的机械能，从开始运动到上升到C点的过程中，弹珠增加的机械能为mg(L＋R)sin θ＋mv2，故D正确．]
13．(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与水平面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．A处小球到达最低点时速度为0
B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
BCD [因为A处小球质量大，位置高，所以三角支架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为两小球的动能，因而此时A处小球的速度不为0，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高，C正确．]
14．检验某种防护罩承受冲击能力的装置如图所示，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点．在A放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，g取10 m/s2.求：
(1)钢珠在B点的速度；
(2)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间．
解析 (1)在B处对小钢珠进行受力分析，
由牛顿第二定律mg＝m eq \f(v,R)
解得vB＝＝4 m/s
(2)对从发射钢珠到钢珠上升至B点的过程，由机械能守恒定律有
EPN＝ΔEPG＋ΔEk＝mg·2R＋mv
解得EPN＝0.4 J
(3)钢珠做平抛运动，则有h＝gt2
x＝vBt
x2＋h2＝r2
联立解得t＝0.4 s
答案 (1)4 m/s (2)0.4 J (3)0.4 s课时作业(15) 机械能守恒定律
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
2．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，则当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取 10 m/s2)( )
A．0，－5 J B．0，－10 J
C．10 J，5 J D．20 J，－10 J
3．如图所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为( )
A．mgh B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2 D．mv2－mgh
4．(多选)(2021·广东卷)在红军长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
5．如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h.若将小球A换成质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放(重力加速度为g，不计空气阻力)，则小球B下降h时的速度为( )
A． B．
C． D．0
6．(多选)两质量相同的小球A、B用线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球长．把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时(以悬点为零势能点，空气阻力不计)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
7．如图所示，把一根内壁光滑的细圆管弯成圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处．若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶1 B．2∶3
C．4∶5 D．5∶6
8. 如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面(不计空气阻力)，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是( )
A．mv＋mgh B．mv－mgh
C．mv D．mv＋mg(H－h)
9．在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”．如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点A，运动员做自由落体运动，竖直落入水中．将运动员视为质点，运动员质量m＝60 kg，g取10 m/s2.求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能；
(2)运动员入水前的速度大小．(可以用根号表示结果)
10．如图所示，在竖直平面内有一半径为2 m的圆弧形光滑导轨AB，A点与其最低点C的高度差为1 m，今由A点沿导轨无初速度释放一个小球，若g取10 m/s2，则( )
A．小球过B点的速度vB＝2 m/s
B．小球过B点的速度vB＝2 m/s
C．小球离开B点后做平抛运动
D．小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
11．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各连有一杂技演员(可视为质点)，甲站于地面上，乙从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员乙摆至最低点时，甲刚好对地面无压力，则演员甲的质量与演员乙的质量之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
12．(多选)右图是一台儿童游戏机的工作示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P.将球投入AB管内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励．假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠视为质点．某次缓慢下拉手柄，使弹珠到B点的距离为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点时速度为v，下列说法正确的是( )
A．弹珠从释放手柄开始到触碰障碍物之前的过程中机械能不守恒
B．调整手柄的位置，可以使弹珠从C点离开后做匀变速直线运动，直到碰到障碍物
C．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能和重力势能之和达到最大
D．此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sin θ＋mv2
13．(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与水平面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．A处小球到达最低点时速度为0
B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
14．检验某种防护罩承受冲击能力的装置如图所示，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点．在A放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，g取10 m/s2.求：
(1)钢珠在B点的速度；
(2)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间．
