人教版高中数学必修第一册第一章1.4 充分条件和必要条件 课时6 充要条件课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
课时6 充要条件
教学目标
1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的概念,能根据这些概念对相关问题作出正确的判断.
2. 掌握充要条件的判定、证明和探求的基本思路和常用方法,提高推理和论证的能力.
3. 体会等价转化和分类讨论等数学思想方法,学会理性思考,养成良好的思维习惯.
学习目标
课程目标 学科核心素养
在充分条件和必要条件的基础上认识和理解充要条件的概念，并进行判断和证明 通过理解充要条件的概念，提高数学抽象和逻辑推理素养
掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法 通过四种类型条件的判断，提高逻辑推理素养
情境导学
孔子周游列国的时候，遇到两个小孩辩论，一个小孩说：“早上的太阳比中午的太阳离人近，因为早上的太阳大而中午的太阳小．”另一个小孩说：“中午的太阳比早上的太阳离人近，因为中午的太阳热而早上的太阳冷．”两个小孩的说法都有各自的逻辑和道理，这让孔子犯了难．但是从今天的角度看，两个小孩的论点也都有各自的缺陷．
离得近的物体看起来大，反过来也一定成立吗？觉得热时太阳一定离得近吗？
【活动1】 判断，引出充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件的概念
【问题1】已知“若p，则q”形式的命题：若两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似．请你判断该命题及其逆命题的真假．你能用学过的符号和逻辑关系表示吗？
初探新知
初探新知
【问题2】已知“若p，则q”形式的命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等．请你判断该命题及其逆命题的真假．类比上述的过程，该如何用逻辑关系表示呢？
【问题3】已知“若p，则q”形式的命题：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0.请你判断该命题及其逆命题的真假．类比上述的过程，该如何用逻辑关系表示呢？
【问题4】就命题“若p,则q”而言,p是q的什么条件,有哪几种情况
【问题5】你能举出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
【活动2】举例，内化充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件的概念
【问题6】从集合角度举例，使得p是q的充分不必要条件．
【问题7】从集合角度举例，使得p是q的必要不充分条件．
【问题8】从集合角度举例，使p是q的既不充分又不必要条件．
【问题9】从集合角度举例，使p是q的既不充分又不必要条件．
典例精析
【例1】[教材改编题]下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1) p：四边形是菱形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
(2) p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等；
(3) p：xy>1，q：x>1，y>1；
(4) p：x2>y2，q：x>y.
思路点拨：从充分条件和必要条件两个角度进行判断．
解：
(1) 因为“若p，则q”是菱形的性质定理，“若q，则p”是菱形的判定定理，它们均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
(2) 因为由两个三角形全等能推出面积相等，但是两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等，即q p，所以p不是q的充要条件．
(3) 举例：当x＝100，y＝0.1时，满足p：xy＞1, 但不满足q：x＞1，y＞1，p q，所以p不是q的充要条件．
(4) 因为x2>y2和x>y无任何联系，p q，q p，所以p不是q的充要条件．
【方法规律】
通过判断原命题和逆命题是否均为真命题或者是否有p q，判断是否为充要条件．
【变式训练1】
已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的________条件．
【解】
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0.所以充分性成立．因为ab＞0，所以a与b同号．又因为a＋b＞0，所以a＞0且b＞0.所以必要性成立．故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．
充要
思路点拨：先判断p是否能推出q，再判断q是否能推出p.
【例2】 下列各题中，p是q的什么条件？
(1) p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2) p：四边形的对角线相等，q：四边形为矩形；
(3) p：x＝1或x＝2，q：x－1＝　 ；
(4) p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
【解】
(1)因为a＋b＝0 a2＋b2＝0，a2＋b2＝0 a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．
(2)四边形的对角线相等 四边形为矩形，四边形为矩形 四边形的对角线相等，所以p是q的必要不充分条件．
(3)x＝1或x＝2 x－1＝　 ，x－1＝ 　 x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－ ，所以，m<－1 m<－ ，m<－ m<－1，所以p是q的充分不必要条件．
【方法规律】
判断充分条件、必要条件、充要条件的三种方法：
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法：利用集合间的包含关系进行判断．
(3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由P1 P2 … Pn，可得P1 Pn；充要条件也具有传递性．
【变式训练2】
完成下列填空：
(1) 设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的________________条件；(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”，下同)
(2) 若命题p：△ABC有两个角相等；命题q：△ABC是正三角形，则p是q的________________条件．
充分不必要
必要不充分
【解】
(1) 由x＝1 x3＝x，但由x3＝x x＝0或x＝±1，所以“x＝1”是“x3＝x”的充分不必要条件．
(2) 若p：△ABC有两个角相等，不能推出△ABC是正三角形；而△ABC是正三角形能推出△ABC有两个角相等，所以p是q的必要不充分条件．
【例3】 [教材改编题]已知a≠0，求证：“x＝1为方程ax2＋bx＋c＝0的一根”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．
思路点拨:
充要条件的证明需要从充分条件和必要条件两个角度加以证明．该题可以解读为a＋b＋c＝0是x＝1为方程ax2＋bx＋c＝0的一根的充要条件．
【解】
充分性：由a＋b＋c＝0得b＝－(a＋c)，代入方程得ax2－(a＋c)x＋c＝0，化简得(x－1)(ax－c)＝0，所以x＝1为方程ax2＋bx＋c＝0的一根；
必要性：由x＝1为方程ax2＋bx＋c＝0的一根，将x＝1代入方程，得a＋b＋c＝0.综上可知，“a＋b＋c＝0”是“x＝1为方程ax2＋bx＋c＝0的一根”的充要条件．
【方法规律】
先辨别哪个是条件，哪个是结论，再从充分性和必要性两个角度进行证明．
【变式训练3】 已知a，b是实数，求证：“a4－b4－2b2＝1成立”的充要条件是“a2－b2＝1”．
【解】
充分性：若a2－b2＝1成立，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)·(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1成立”的充分条件．
必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.综上可知，“a4－b4－2b2＝1成立”的充要条件是“a2－b2＝1”．
(备选例题)求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
思路点拨:
当a=0时,ax2+2x+1=0是一元一次方程,恰好有一个负实根,符合题意;当a≠0时,ax2+2x+1=0是一元二次方程,它至少有一个负实根包含两种情形:一是恰有一个负实根,二是有两个负实根,分别找出其充要条件,即得结果.
【解】 当a=0时,为一元一次方程,其根为x= ,符合题目要求.当a≠0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0,即4-4a≥0,从而a≤1.又设方程ax2+2x+1=0的两根为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= .方程ax2+2x+1=0有一个负实根的充要条件是 得a<0.方程ax2+2x+1=0有两个负实根的充要条件
是 得0课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
A
2. 设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则 “a＝1”是“N M”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
1.[2018·天津卷]设x∈R，则“|x－ | < ”是“x3<1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
A
4. 在a＝b，a＝－b，|a|＝|b|中，使a2＝b2 成立的充分不必要条件是________________.
3. (多选)下列结论中正确的是(　　 )
A.“|x|>2”是“x＜－2”的必要不充分条件
B.在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
a＝b，a＝－b
ACD
5.[2020·江苏怀仁中学测试]若不等式m－1同学们再见！
Goodbye Students！