郑州基石中学高三入学考试数学答案
参考答案：
1．C
【分析】先利用一次不等式的求解化简集合 B ，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为B {x | 3x 7 8 2x} x x 3 ， A {x | 2 x 4}
所以 A B {x | 3 x 4} .
故选：C.
2．C
【分析】根据虚部的概念可得结果.
【详解】 z i 2 i 1 2i，
z 的虚部为 2 .
故选：C
3．C
【分析】根据 a b a b ，两边平方后可得a b 0 ，求出m 的值，进而求出 b
2 2
【详解】 a b a b ，两边平方得 a b a b ，
展开整理得 a b 0 .
a b 3 4 4m 0 ,解得m 3 .
b 42 3 2 5
故选：C
4．D
【分析】对四个选项，直接根据函数解析式判断单调性可得答案.
1
【详解】对于 A， f (x) 在 ( ,0)和 (0, )上为单调递减函数，故 A 不正确；
x
1 x
对于 B， f x 在 ( , )上为减函数，故 B 不正确；
2
对于 C， f x 2x 1在 ( , )上为减函数，故 C 不正确；
对于 D， f x log2 x在 (0, )上为单调递增函数，故 D 正确.
故选：D
5．B
【分析】 x3项由 x 1 4的 x2 项与 x 的积和 x 1 4的 x3项和 2的积组成，再结合二项式定理
答案第 1 页，共 12 页
{#{QQABJIQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
得出系数.
4
【详解】 x 1 展开式的通项为 1 r Cr 4 r4x ，在 x 1
4 x 2 中， x3项由 x 1 4的 x2 项与
x 4的积和 x 1 的 x3项和 2的积组成，
2 1
故可得 x3的系数为 1 C24 1 1 C14 2 14．
故选：B．
6．B
【分析】先把椭圆方程化为标准方程，得到 a,b，结合 c a2 b2 得到结果.
2
x2 y 1
【详解】先将椭圆 x2＋4y2＝1 化为标准方程 1 ，
4
1 3
则 a 1,b ， c a22 b
2 ．
2
故焦距为 2c＝ 3．
故选：B.
7．B
【分析】根据函数的图象，依次求得 A, 和 的值.
T π π π 2π
【详解】由图可知 A 1， ,T 2π , 1，4 6 3 2
则 y sin x ，
π
x π 则当 时， y sin 1，6 6
π π 2π π π π
由于 ，所以 , .
3 6 3 6 2 3
故选：B
8．A
【分析】转化为 f (x) 0，即 a x2 x 在 (0, )上恒成立可求出结果.
【详解】 f x 1 x2 a ln x x的定义域为 (0, )，
2
f (x) x a 1，
x
因为 f (x) 在 (0, )上单调递增，所以 f (x) 0，即 a x2 x 在 (0, )上恒成立，
2
因为 x x (x
1
)2 1 1 1 ，当且仅当 x 时，等号成立，
2 4 4 2
答案第 2 页，共 12 页
{#{QQABIJQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
1
所以 a≤ .
4
故选：A
9．CD
【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可.
【点睛】对选项 A，圆柱的侧面积为 2πR 2R 4πR2，故 A 错误；
2
对选项 B，圆锥的母线为 2R R2 5R，
1
圆锥的侧面积为 5R 2πR 5πR2 ，故 B 错误.
2
对选项 C，球的表面积为 4πR2 ，故 C 正确.
2 3
对选项 D，圆柱的体积V1 πR 2R 2πR ，
1 2 2 3 4 3
圆锥的体积V2 πR 2R πR ，球的体积V3 πR ，3 3 3
3 2 3 4 3
所以圆柱 圆锥 球的体积之比为 2πR : πR : πR 3:1: 2，故 D 正确.3 3
故选：CD
10．ABD
【分析】设等差数列 an 的公差为d ，根据已知条件求出d 的值，利用等差数列的求和公式
可判断 A 选项；利用等差数列的通项公式可判断 B 选项；求出 an 的最小值，可判断 C 选
项；利用二次函数的基本性质可判断 D 选项.
【详解】设等差数列 an 的公差为d ，则 a5 a1 4d 11 4d 3，解得 d 2 .
S 5a 5 4对于 A 选项， 5 1 d 5 11 10 2 35，A 对；2
对于 B 选项， an a1 n 1 d 11 2 n 1 13 2n ，B 对；
11 2n,n 5
对于 C 选项， an 11 2n ，故当 n 52n 11,n 或
6时， a 取最小值1，C 错；
6
n
n n 1 d
对于 D 选项， Sn na1 11n n n 1 n2 12n n 6
2 36 ，
2
故当 n 6时， Sn 取得最大值36，D 对.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】对于 A：先排甲同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于
答案第 3 页，共 12 页
{#{QQABJIQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
B：先排甲、丙、丁同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于 C：利
用插空法运算求解；对于选项 D：利用间接法运算求解.
1
【详解】对于选项 A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有C4 4种，
4
剩余的四人全排列，不同的排列方式有A4 24种，
所以不同的排列方式共有 4 24 96种，故 A 正确；
对于选项 B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，
3
则不同的排列方式有A3 6种，
2 2剩余的 人全排列，不同的排列方式有A2 2种，
所以不同的排列方式共有6 2 12 种，故 B 错误；
对于选项 C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，
若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A24 12种；
2 1
若乙、戊相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A2C4 8种；
所以不同的排列方式共有12 8 20种，故 C 正确；
2 4
对于选项 D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有A2A4 48种，
1 2 3
若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有C2A2A3 24种，
所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 48 24 24种，故 D 正确；
故选：ACD.
12．ABD
【分析】根据焦点坐标求出准线方程即可判断 B，利用图形根据抛物线的定义结合三点一线
即可判断 A，设直线 l的方程为 x m( y 2) 2，将其与抛物线方程联立得到关于 y 的一元
二次方程，则得到韦达定理式，计算得OA OB 4m2 4 4，则可判断 C，因为可知 P 到
l F l F l d 4 4m 3直线 的距离等于 到直线 的距离，则点 到直线 的距离 ，利用导数即可
m2 1
求出最大值即可判断 D.
【详解】如图：对于 A,B，由抛物线的焦点F 为 (1,0)，
则 p 2 ，即 y2 4x，其准线方程为 x= 1，设点 P 到准线的距离为 dP，
则 | PM | | PF | | PM | d p ，设点M (2, 2) 到准线的距离为 dM ，
答案第 4 页，共 12 页
{#{QQABIJQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
易知 PM d p dM 3，故选项 A 正确，B 正确；
由题意可知，过点M (2, 2) 的直线 l的方程可设为
x m( y 2) 2，代入抛物线C : y2 4x ,可得 y2 4my 8m 8 0，
16m2 4 8m 8 16 m 1 2 16 0，则直线 l始终与抛物线图象有两个交点，
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,则 y1 y2 4m, y1y2 8m 8,OA OB x1x2 y1y2
y1y2
2
y1y2 4m
2 4 4，当m 0时，取到最小值 4，故选项 C 错误；
16
由 C 可得直线 l的方程为 x my 2m 2 0 ，由PF / /l ，可知 P 到直线 l的距离等于F 到直
线 l的距离，
| 2m 1| 4m2 4m 1 4m 3
点F 到直线 l的距离 d 2 4 ，m2 1 m 1 m2 1
2
4m 3 f (m) 4m 6m 4 2(2m 1)(m 2)令 f (m) 2 ，则 2 2
2 ，
1 m m 1 m2 1
当m ( , 2),
1
,
时， f (m) 0， f (m)单调递减；
2
当m
2,
1
时， f (m) 0, f (m) 1单调递增，由当m 2时， f (m) 0，当m 时,
2 2
f (m) 0，
则当m 2时， f (m)min 1，所以 dmax 5 ，故选项 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】对于较难的 CD 选项，采用设线法，设直线 l的方程可设为 x m( y 2) 2，将其
与抛物线方程联立得到一元二次方程，则得到韦达定理式，再计算OA OB 4m2 4 4，
答案第 5 页，共 12 页
{#{QQABJIQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
D F l d 4 4m 3对 ，根据平行，将其转化为点 到直线 的距离
m2
，再利用导数求出其最值
1
即可.
13．5
【分析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得.
log 3
【详解】 lg 20 lg5 2 2 lg 20 5 3 lg102 3 2 3 5 .
故答案为：5
24 3 314． /
7 7
【分析】先利用平方关系和商数关系求出 tan ，再根据二倍角的正切公式即可得解.
sin = 4
π ,π 【详解】因为 ，且
5
，
2
2 3 4
所以 cos 1 sin ，则 tan ，
5 3
8
tan 2 2 tan
3 24
所以 .
1 tan2 1 16 7
9
24
故答案为： .7
15． 2 2
【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.
2 2
【详解】因为圆 x2 y2 2x 4y 1 0即： x 1 y 2 4，
1 2 1
则圆心 1, 2 到直线 x y 1 0的距离： d 2 ，1 1
由弦长公式可得弦长为： 2 r 2 d 2 2 4 2 2 2 .
故答案为： 2 2 .
3
16． /0.75
4
【分析】利用对立事件概率求法，和相互独立事件概率公式求解.
【详解】设事件 A “甲购买到”，事件B “乙购买到”，事件C “丙购买到”，
由于 A、B、C 相互独立，所以 A、B、C 相互独立，
事件D =“甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人购买到”，
则D “甲、乙、丙 3 人都没买到”，
答案第 6 页，共 12 页
{#{QQABJIQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
P(D) 1 P(D) 1 P(ABC) 1 P(A)P(B)P(C)
则
1 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 3 ) .
2 3 4 4
3
故答案为：
4
17．(1) A
π
3
(2) 3 21
7
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可得解；
（2）由余弦定理求出 c 3，再由面积等积法求解即可.
a b c
【详解】（1）由正弦定理 sin A sin B sin C
得 (2sin B sin C) cos A sin AcosC ，
2sin B cos A sin C cos A sin AcosC ，
2sin B cos A sin(A C)，
A C π B ，
2sin B cos A sin B
因为B 0, π 1，所以 sin B 0 ，所以 cos A ，
2
因为0
π
A π ，所以 A 3 .
（2）在 ABC 中，因为 a2 b2 c2 2bc cos A，
27 22 c2 2 2 c cos π所以 3 ，
所以 c2 2c 3 0 .
解得 c 3，或 c 1（舍），
设BC边上的高为 h ，
1 1
因为 S ABC bc sin A ah，2 2
bc sin A 2 3
3
所以 h 2 3 21 .
a 7 7
18．(1) an 2n 2
答案第 7 页，共 12 页
{#{QQABIJQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
n
(2) Sn 2 n 1
【分析】（1）由已知条件列方程组求出数列 an 的首项与公差，可求通项公式；
（2）由数列 bn 的通项，利用裂项相消法求前n项和 Sn .
a1 5d a1 2d 6
【详解】（1）设等差数列 an 公差为d ，依题意有 2 ，
a1 d a1 1 a1 4d
a1 4
解得 ，所以 an a1 n 1 d 2n 2 .
d 2
b 1 1 1 1 1（2） n
nan 2n n 1 2
，
n n 1
S b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn 1 2 3 n
1
2 2 2 3 3 4 n n 1 2 n 1 2 n 1 .
19．(1)能
9
(2)分布列见解析，
5
【分析】（1）先计算K2，再根据独立性检验思想即可判断；
（2）根据超几何分布即可求解分布列，再根据期望公式即可求解期望.
【详解】（1）零假设H0 ：产品的质量与设备改造无关，
K 2 400(120 50 150 80)
2
200 200 270 130
400
10.256 6.635
39
根据小概率值 0.01 的独立性检验，推断H0 不成立，即认为在犯错误的概率不超过 0.01 的前
提下，该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.
（2）依题意， X 的可能值为 1，2，3，
1 2 2 1 3 0
P(X C C 3 C C 6 C C 1 1) 3 2 P(X 2) 3 23 ， 3 ，P(X 3)
3 2 ，
C5 10 C5 10 C
3
5 10
所以 X 的分布列为：
答案第 8 页，共 12 页
{#{QQABIJQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
X 1 2 3
3 6 1
P
10 10 10
数学期望E(X ) 1
3 2 6 1 9 3 .
10 10 10 5
20．(1)证明见解析
(2) 3
6
【分析】（1）由直棱柱的性质可得 AA1 平面 ABC ，则 AC AA1，而 AC AB，则由线面
垂直的判定可得 AC 平面 ABA1，则 A1B AC ，而 A1B AB1，则 A1B 平面 ACB1，再由线
面垂直的性质可得结论；
（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】（1）证明：连接 AB1，
因为三棱柱 ABC A1B1C1 为直三棱柱，所以 AA1 平面 ABC ，
又 AC 平面 ABC ，所以 AC AA1，
又 AC AB， AB AA1 A， AB ， AA1 平面 ABA1，所以 AC 平面 ABA1，
又 A1B 平面 ABA1，则 A1B AC ，
因为在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1，所以四边形 ABB1A1为正方形，
所以 A1B AB1，
因为 AC AB1 A， AC ， AB1 平面 ACB1，所以 A1B 平面 ACB1，
又 B1C 平面 ACB1，则 A1B B1C ．
（2）因为直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 90 ，
所以 AB, AC, AA1两两垂直，
所以以A 为原点，分别以 AB, AC, AA1所在的直线为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0,0,0) ， A1(0,0, 2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F (1,1,0) ，
答案第 9 页，共 12 页
{#{QQABJIQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
所以 A1B (2,0, 2)， AE (0, 2,1)， AF (1,1,0) ．
n AE 2b c 0
设平面 AEF 的一个法向量为 n (a,b,c) ，则 ，
n
AF a b 0
令 a 1可得 n (1, 1,2)．
设 A1B 与平面 AEF 所成角为 ，
n A1B
所以 sin cos n, A1B
2 3
，
n A1B 4 4 1 1 4 6
A B AEF 3即 1 与平面 成角的正弦值为 ．
6
x2 y221．(1) 1
9 6
36
(2)
11
【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出 a,b可得椭圆 C 的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，求出 | y 21 | | y2 | | y1 y2 | (y1 y2 ) 4y1 y2 ，再根据
S 1△AOB | OF | | y1 | | y2 | 可求出结果.2
【详解】（1）依题意得 c 3 c 3 ， ，所以 a 3，b a2 c2 9 3 6 ，
a 3
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 1.
9 6
（2）因为直线 AB 的倾斜角为60 ，所以斜率为 3，
又直线 AB 过点F ( 3,0) ，所以直线 AB : y 3(x 3)，
答案第 10 页，共 12 页
{#{QQABIJQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
y 3(x 3)
联立 2 2 ，消去 x 并整理得11y2x y 12y 36 0，
1
9 6
144 4 11 36 0，
设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，
y y 12 y y 36则 1 2 ，11 1 2
，
11
| y | | y | | y y | (y 144 4 36所以 1 2 1 2 1 y
2
2 ) 4y y
24 3
1 2 ，121 11 11
S 1 | OF | | y | | y | 1 24 3
36
所以
△AOB 3 .2 1 2 2 11 11
22．(1) a 4；
(2) 0,1 .
【分析】(1)利用导数的几何意义和两直线平行即可求解;
(2)所求转化为直线 y a 与函数 h x x xlnx 的图象有两个交点，利用导数画出 h x 的草图，
利用图像即可求解.
a 1
【详解】（1） f x 2 , g x x x
依题意得 f 2 g 1 a，即 1，解得 a 4 .
4
故 f x 1 4 , f 2 1，
x
f x 在点 2, f 2 处的切线方程为 y 1 x 2 ，即 y x 3；
而 g x 在点 1,0 处的切线方程为 y x 1，这两条切线平行，故 a 4 .
（2）函数 y f x 的图象与 y g x 的图象有两个公共点,
答案第 11 页，共 12 页
{#{QQABIJQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}
方程 f x g x 有两个不等实根
a方程1 lnx有两个不等实根
x
方程 a x xlnx有两个不等实根
直线 y a 与函数 h x x xlnx 的图象有两个交点.
h x 1 1 lnx lnx
当 x 0,1 时， h x 0,h x 单调递增；当 x 1, 时， h x 0,h x 单调递减.
h x 有极大值，也是最大值为 h 1 1.
当 x 0 时， h x →0；当 x 时， h x x 1 lnx
可以画出 h x 的草图（如图）：
由图可知当 a 0,1 时，直线 y a 与函数 h x x xlnx 的图象有两个交点，
即函数 y f x 的图象与 y g x 的图象有两个公共点，故 a 0,1 .
答案第 12 页，共 12 页
{#{QQABJIQwQSQ41gugAigQAkBAIA6gAiBZ5h6CEA2QMW6wyACmkMwQ8IkWAwCLCoAxAGg1GRwaFAeAAIIUAMAAPCktRIXFIAB=}A#A}=}#}郑州基石中学高三开学入学考试数学试卷
9.·个圆柱·个圆锥的底面直径和它们的高都与·个球的宜径2柑等，则下列结论止疏的是()
考试时间：120分钟
分值：150分
一、单选题(8小题，每题5分，共40分)
1.己知集合A={x2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∩B=()
A.{x|2≤x≤3}
B.{x3≤x≤4
A.圆柱的侧面积为2πR
C.{x3≤x<4}
D.{如2≤x<3}
B.圆锥的侧而积为2
2.若复数z=i〔2-)《i为虚数单位)，则：的虚部是)
C.圆柱的侧面积与球的表山积相等
A.1
B.2i
C.2
D.i
刀.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
3.已向量a=(3,4),i=(4m),1+=a-,则同=()
10.已知等差数列{8}的前项和为8，a=1l,4=3,则()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.S=35
B.3=13-2n
4.下列函数中，在定义域上羊调递增的是()
C.的最小值为0
D.S的最大值为36
A.f划=
n.-)
G.f(x)=-2x+1
D.f（x)=l0g:x
11.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一津参加演出，下列说法中正确的是()
5.(x-1)(x-2)的展开式中，x项的系数为()
4.若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B.若甲、乙、丙三人五不相邻，则不同的排方式共有6种
A.2
B.14
C.48
D.-2
C.若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不司的排歹方式共有20种
6.椭圆x2+42=1的焦距为()
A.V3
D.若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
B.3
C.25
D.2√5
2
12.己知0为坐标原点，抛物线C:y=2(p>0)的焦点F为1,0)，过点M(2,2)的直线1交抛物线C于A,
7.函数F=sn(m+4>0>0<到的象如图所示，则（）
B两点，点P为批物线C上的动点，则()
A.1PM+PF1的最小值为3
B.C的准线方程为x=-1
C.Q4.08>0
B.p=
C.p=12
D君
D.当PFl时，点P到白线1的距离的最大值为√
8,已知通数了)-方-。n-布定义城上竿调避增。则夹数u的取俏范图是（）
A.-
B.(-0,-]
三、填空题〔1小题，每题5分，共20分】
13.1g20+1g5+2:5=
D.-1,+0)
14已m“=后业ae(任，州m2必的值是
4
15.直线x+y-1=0与圆x2+y2-2+4y+1=0相交，所得的弦的长为
二、多选题(4小题，每题5分，共20分)
筲1页共4页
篇2页共4页{#{QQABIQQQggigABIAABhCAQWwCkMQkACCAAgGwAAIIAAACRFABAA=}#}
{#{QQABIQQQggigABIAABhCAQWwCkMQkACCAAgGwAAIIAAACRFABAA=}#}
