3.3.1从函数观点看一元二次方程讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（有答案）

编号：015 课题:§3.3.1 从函数观点看一元二次方程
目标要求
1、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性．
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的个数．
3、了解函数的零点与方程根的关系．
重点难点
重点：判断一元二次方程根的个数；
难点：函数的零点与方程根的关系．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 二次函数的零点
一般地,一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时____________,即二次函数的图象与_______________,也称为二次函数的零点.
【思考】二次函数的零点就是二次函数图象与轴的交点吗
提示:不是,二次函数的零点是二次函数图象与轴交点的横坐标.
2、一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系
(1)关系(当a>0时).
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
二次函数的零点
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
【思考】
当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系是怎样的
提示:当a<0时
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
二次函数的零点
【课前小题演练】
题1．若b2－4ac＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的个数为 (　 　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
题2．二次函数y＝(2x＋1)(x－5)的零点为 (　　 )
A．，－5 B．－，5 C．2，－ D．－2，
题3．二次函数y＝x2－2的零点所在的区间为 (　 　)
A． B． C． D．
题4．若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0无解 ，则a的取值范围是 (　　 )
A．(－1, ＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，＋∞)
题5．已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为________．
题6．二次函数y＝x2－ax的一个零点为2，则a＝________．
题7．若函数y＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的值．
【课堂题组训练】
题8．函数y＝x2的零点个数为 (　 　)
A．0 B．1 C．2 D．无法判断
题9.函数y＝x2－x－6的零点为 (　 　)
A．－2，3　 B．－3，2　 C．2，3　 D．－2，－3
题10．函数y＝5x2＋4x－1的零点的个数为 (　　 )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
题11．函数y＝9x2－12x＋4的零点所在的区间为 (　 　)
A． B． C． D．
题12．(多选)下列函数存在零点的是 (　 　)
A．y＝x2－x＋1 B．y＝3x2－3x－1 C. y＝x2＋ax－2 D．y＝x2－4x＋4
题12．已知函数y＝x2＋x－a的一个零点为2，则另一个零点是 (　 　)
A．－3 B．－2 C．3 D．6
题13．二次函数y＝x2－ax＋a－1零点的个数为 (　　 )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法判断
题14．函数y＝3x2－2x的零点为________．
题15．若二次函数y＝ax2＋2x＋3(a≠0)没有零点，则实数a的取值范围为________．
题16．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为________．
题17．函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________．
题19．求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．
【综合突破提高】
题20．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是(　　)
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
题21．若二次函数y＝x2＋x－a有一个大于0的零点一个小于0的零点，则实数a的取值范围是(　 　)
A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，3) D．(－3，7)
题22.下列函数在区间(0，1)上存在零点的是 (　 　)
A．y＝x2－3x＋3 B．y＝－2x2＋x＋1 C．y＝ax2－x(0题23．若函数y＝ax2＋b(a≠0)的零点为，那么函数y＝bx2－ax的零点是 (　　 )
A．0， B．0，－ C．0，2 D．0，－2
题24．(多选)二次函数y＝3x2－12x＋5的零点所在的区间为 (　　 )
A． B． C． D．
题25．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，则实数a的值为________，函数f(x)其余的零点为________．
题26．函数f(x)＝的零点是________．
题27．已知二次函数y＝x2＋ax－b(a，b∈R)的两个零点分别为－1，3，则a＝________，b＝________
题28．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是__________．
题29．求证：二次函数y＝x2－3x＋1有两个零点，且在区间上存在零点．
题30．若函数y＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个零点x1，x2，且0编号：015 课题:§3.3.1 从函数观点看一元二次方程
目标要求
1、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性．
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的个数．
3、了解函数的零点与方程根的关系．
重点难点
重点：判断一元二次方程根的个数；
难点：函数的零点与方程根的关系．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 二次函数的零点
一般地,一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时_自变量的值_,即二次函数的图象与__轴交点的横坐标____,也称为二次函数的零点.
【思考】二次函数的零点就是二次函数图象与轴的交点吗
提示:不是,二次函数的零点是二次函数图象与轴交点的横坐标.
2、一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系
(1)关系(当a>0时).
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
二次函数的零点 有两个零点 有一个零点 无零点
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
【思考】
当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系是怎样的
提示:当a<0时
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
二次函数的零点 有两个零点 有一个零点 无零点
【课前小题演练】
题1．若b2－4ac＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的个数为 (　 　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【解析】选B.因为b2－4ac＝0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个零点．
题2．二次函数y＝(2x＋1)(x－5)的零点为 (　　 )
A．，－5 B．－，5 C．2，－ D．－2，
【解析】选B.因为方程＝0的两个根为x1＝－，x2＝5，所以二次函数y＝的零点为－，5.
题3．二次函数y＝x2－2的零点所在的区间为 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选B.解方程x2－2＝0得，x＝±，其中1<<2.
题4．若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0无解 ，则a的取值范围是 (　　 )
A．(－1, ＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，＋∞)
【解析】选B.当a≠0时，只需Δ＝4＋4a＜0，解得a<－1.故a∈(－∞，－1).
题5．已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为________．
【解析】因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为－1，1，所以此函数的零点为－1，1.
答案：－1，1
题6．二次函数y＝x2－ax的一个零点为2，则a＝________．
【解析】由题意，x＝2是方程x2－ax＝0的根，所以4－2a＝0，解得a＝2.
答案：2
题7．若函数y＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的值．
【解析】(1)若a＝0，则y＝－x－1为一次函数，易知函数只有一个零点．
(2)若a≠0，则函数为二次函数，
若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根．故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
综上所述，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
【课堂题组训练】
题8．函数y＝x2的零点个数为 (　 　)
A．0 B．1 C．2 D．无法判断
【解析】选B.由x2＝0得，x＝0.
题9.函数y＝x2－x－6的零点为 (　 　)
A．－2，3　 B．－3，2　 C．2，3　 D．－2，－3
【解析】选A.解方程x2－x－6＝0，得x1＝－2，x2＝3，所以－2，3是函数y＝x2－x－6的零点．
题10．函数y＝5x2＋4x－1的零点的个数为 (　　 )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【解析】选C.考察方程5x2＋4x－1＝0，因为Δ＝42－4×5×＝36>0，所以方程5x2＋4x－1＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数有两个零点．
题11．函数y＝9x2－12x＋4的零点所在的区间为 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由求根公式可得一元二次方程9x2－12x＋4＝0的根为x＝，所以函数y＝9x2－12x＋4的零点所在的区间为.
题12．(多选)下列函数存在零点的是 (　 　)
A．y＝x2－x＋1 B．y＝3x2－3x－1 C. y＝x2＋ax－2 D．y＝x2－4x＋4
【解析】选BCD.在A选项中，Δ＝2－4<0，函数没有零点；B选项中，Δ＝9＋12>0，函数有两个零点；C选项中，Δ＝a2＋8>0，函数有两个零点；D选项中Δ＝16－16＝0，函数有一个零点．
题12．已知函数y＝x2＋x－a的一个零点为2，则另一个零点是 (　 　)
A．－3 B．－2 C．3 D．6
【解析】选A.设函数的另一个零点为t，根据题意得2＋t＝－1，解得t＝－3，即另一个零点是－3.
题13．二次函数y＝x2－ax＋a－1零点的个数为 (　　 )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法判断
【解析】选C.考察方程x2－ax＋a－1＝0，因为Δ＝2－4×＝a2－2a＋2＝2＋1>0，所以方程x2－ax＋a－1＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数有两个零点．
题14．函数y＝3x2－2x的零点为________．
【解析】解方程3x2－2x＝0，得x＝0或x＝.
答案：0，
题15．若二次函数y＝ax2＋2x＋3(a≠0)没有零点，则实数a的取值范围为________．
【解析】由题意，方程ax2＋2x＋3＝0(a≠0)没有实数根，所以Δ＝4－12a<0，所以a>.
答案：
题16．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为________．
【解析】由x2＋2x－1＝0，,解得x1＝－1－，x2＝－1＋，
因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}．
答案：{－3，0}
题17．函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________．
【解析】因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0答案：
题18．已知函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴分别交于点，，求函数y＝x2＋bx＋a的零点．
【解析】由题意，1，2是函数y＝x2＋ax＋b的零点，
所以x1＝1，x2＝2是方程x2＋ax＋b＝0的根，所以，所以，所以方程x2＋2x－3＝0的两个根为x1＝1，x2＝－3，即函数y＝x2＋2x－3的零点为1，－3.
题19．求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．
【解析】(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，
解得x1＝，x2＝－1.又－(－1)＝，
①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.
②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和.
综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.
(3)因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3.
【综合突破提高】
题20．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是(　　)
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
【解析】选B.因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，所以a<0，因为图象与y轴正半轴相交，所以c>0，所以a·c<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点．
题21．若二次函数y＝x2＋x－a有一个大于0的零点一个小于0的零点，则实数a的取值范围是(　 　)
A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，3) D．(－3，7)
【解析】选B.由题意得，02＋0－a<0，所以a>0.
题22.下列函数在区间(0，1)上存在零点的是 (　 　)
A．y＝x2－3x＋3 B．y＝－2x2＋x＋1 C．y＝ax2－x(0【解析】选D.函数y＝x2－3x＋3没有零点，函数y＝－2x2＋x＋1的零点为1，－，函数y＝ax2－x(01，故A，B，C选项中函数均不存在区间(0，1)上的零点．
函数y＝4x2－3的零点为±，其中0<<1.
题23．若函数y＝ax2＋b(a≠0)的零点为，那么函数y＝bx2－ax的零点是 (　　 )
A．0， B．0，－ C．0，2 D．0，－2
【解析】选B.由题意可知2a＋b＝0，即b＝－2a.所以y＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
因为方程－ax(2x＋1)＝0的解是x＝0或x＝－，所以函数y＝bx2－ax的零点是0，－.
题24．(多选)二次函数y＝3x2－12x＋5的零点所在的区间为 (　　 )
A． B． C． D．
【解析】选BD.由求根公式可得一元二次方程3x2－12x＋5＝0的两个根分别是x1＝2－，x2＝2＋，
因为<<，所以－<－<－，故2－<2－<2－，2＋<2＋<2＋，
所以0题25．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，则实数a的值为________，函数f(x)其余的零点为________．
【解析】由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.
答案：6　2
题26．函数f(x)＝的零点是________．
【解析】由x2－4＝0求出x＝±2，但是当x＝2时函数无意义，所以函数的零点是－2.
答案：－2
【误区警示】本题易认为函数的零点有两个，即由x2－4＝0求出x＝±2.
题27．已知二次函数y＝x2＋ax－b(a，b∈R)的两个零点分别为－1，3，则a＝________，b＝________
【解析】由题意得，－1＋3＝－a，(－1)×3＝－b，所以a＝－2，b＝3.
答案：－2　3
题28．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是__________．
【解析】当a＝0时，函数y＝3，无零点，当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得，x＝，所以－1<<1，当a>0时－2a1；当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3，所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞).
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
题29．求证：二次函数y＝x2－3x＋1有两个零点，且在区间上存在零点．
【证明】考察一元二次方程x2－3x＋1＝0.
因为Δ＝2－4×1×1＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
因此二次函数y＝x2－3x＋1有两个零点．
又因为方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为：x1＝，x2＝，其中2<<3，
因此二次函数y＝x2－3x＋1在区间上存在零点．
题30．若函数y＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个零点x1，x2，且0【解析】因为函数y＝x2－(k＋2)x＋1－3k有两个零点x1，x2，且0所以函数y＝x2－(k＋2)x＋1－3k的大致图象如图．
据图象有当x＝0时函数值大于0，当x＝1时函数值小于0，当x＝2时函数值大于0，
即1－3k>0，且－4k<0，且1－5k>0，所以0- 0 -