3.2.2基本不等式的应用讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（有答案）

编号：014 课题:§3.2.2 基本不等式的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、进一步理解并掌握基本不等式．
2、进一步理解并掌握基本不等式的变形公式．
3、能用基本不等式解决一些最大值或最小值问题．
本节重点难点
重点：基本不等式的变形公式；
难点：基本不等式解决一些最大值或最小值问题．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把________称为a，b的算术平均数，________称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
(1)公式：
①条件：a，b是正数；
②结论：_________________；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)变形式：当a，b∈R时，a2＋b2 ____2ab，a2＋b2＋2ab ____ 4ab，ab______ ，
ab ______ (当且仅当a＝b时，等号成立).
3．用基本不等式求最值的结论
对于正数a，b，
(1)和a＋b为定值时，积ab有最 _____ 值；积ab为定值时，和a＋b有最 ___ 值．
(2)取等号的条件：当且仅当________时，＝.
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
【课前小题演练】
题1．已知a>b>0，全集为R，集合M＝{x|bA．P＝M∩( RN) B．P＝( RM)∩N
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
题2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
题3．若正实数x，y满足2x＋y＋8xy＝2，则xy的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
题4.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A． B．2 C．2 D．4
题5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝3xy，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．2
C．3＋2 D．
题6．若对于正实数x，y，有x2＋4xy＋y2≤a(x2＋3xy＋y2)，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题7．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
题8（多选题）．下列函数的最小值为4的有(　　)
A．y＝x2＋ B．y＝x＋－2
C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
题9（多选题）．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，对于代数式(1＋)(1＋)，下列说法正确的是(　　)
A．最小值为9
B．最大值是9
C．当a＝b＝时取得最小值
D．当a＝b＝时取得最大值
题10．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．
题11．已知正实数a，b满足a＋＝3，则＋b的最小值为________．
题12．设a>0，b>0，且a＋2b＝3.
(1)求ab的最大值；(2)求＋的最小值．
【课堂题组训练】
题13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
题14．已知x＜0，则x＋－2有(　　)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
题15.设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)
A．0 B．4 C．－4 D．－2
题16(多选题)．某单位可把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是(　　)
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20 000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
题17(多选题)．下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则 c∈R，ac>bc
B．x＋的最小值为2
C．若a>b，则 c∈R，a＋c>b＋c
D．x2＋最小值为2－2
题18(多选题)．下列函数的最小值为4的有 ( 　　)
A．y＝x2＋ B．y＝x＋－2 C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
题19(多选题)．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，对于代数式(1＋)(1＋)，下列说法正确的是 ( 　　)
A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a＝b＝时取得最小值 D．当a＝b＝时取得最大值
题20．已知x>0，y>0，且＋＝1，则2xy的最小值为________；xy＋3x的最小值为________．
题21．函数f(x)＝的最小值为________．
题22．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值．
(2)x＋y的最小值．
题23．某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x∈[0，10])万元的专项补贴，并以每套72元的价格收购其生产的全部医用防护服．A公司在收到政府x万元补贴后，医用防护服产量增加到t＝4－(万套)，同时A公司生产t万套医用防护服需要投入成本(52＋3x＋45t)万元．设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元．当政府的专项补贴为多少万元时，A公司生产医用防护服产生的总收益最大？
(注：总收益＝销售总金额＋政府专项补贴－成本)
【综合突破拔高】
题24．已知a>0，b>0，则“4a＋b＝4”是“a＝1，b＝4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
题25．已知x>0，y>0 ，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．5 C．7 D．9
题26．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是(　　)
A．3 B．6 C．6 D．12
题27．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为(　　)
A. B．1 C． D．2
题28．若对任意的x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题29．若x，y为正数，则＋的最小值是(　　)
A．3 B． C．4 D．
题30(多选题)．已知x>－3，y>4，且x＋y＝2，则＋的值可能为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
题31(多选题)．已知正实数a，b满足2a＋＋b＋－10＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．2a＋b的最大值为5＋
B．2a＋b的最大值为9
C．2a＋b的最小值为5－
D．2a＋b的最小值为1
题32(多选题)．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是 (　　 )
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20 000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
题33．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
题34．若正数a，b满足a＋b＋2＝ab，则＋的最小值是______，此时b＝______．
题35．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？
题36．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50编号：014 课题:§3.2.2 基本不等式的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、进一步理解并掌握基本不等式．
2、进一步理解并掌握基本不等式的变形公式．
3、能用基本不等式解决一些最大值或最小值问题．
本节重点难点
重点：基本不等式的变形公式；
难点：基本不等式解决一些最大值或最小值问题．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
(1)公式：
①条件：a，b是正数；
②结论： ≤ ；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)变形式：当a，b∈R时，a2＋b2 ≥ 2ab，a2＋b2＋2ab ≥ 4ab，ab ≤ ，
ab ≤ (当且仅当a＝b时，等号成立).
3．用基本不等式求最值的结论
对于正数a，b，
(1)和a＋b为定值时，积ab有最 大 值；积ab为定值时，和a＋b有最 小 值．
(2)取等号的条件：当且仅当 a＝b 时，＝.
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
【课前小题演练】
题1．已知a>b>0，全集为R，集合M＝{x|bA．P＝M∩( RN) B．P＝( RM)∩N
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
【解析】选A.由a>b>0结合基本不等式可得，a>>>b，故P＝M∩( RN).
题2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
【解析】选B.由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)
≤，所以1＋x≤1＋，故x≤.
题3．若正实数x，y满足2x＋y＋8xy＝2，则xy的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为2＝2x＋y＋8xy≥2·＋8xy 8()2＋2·－2≤0，
所以(4－)(2＋)≤0 0<≤ 0题4.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A． B．2 C．2 D．4
【解析】选C.由题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，
当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
所以≥，即ab≥2.
题5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝3xy，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．2
C．3＋2 D．
【解析】选D.因为x＋2y＝3xy，所以＋＝3，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝≥＝，
当且仅当x＝，y＝时取等号．
题6．若对于正实数x，y，有x2＋4xy＋y2≤a(x2＋3xy＋y2)，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.由题意a≥，对任意x，y>0成立，令t＝，t>0，则a≥＝1＋，因为t>0时t＋≥2，所以1＋≤且t＝1，即x＝y时取等号，则a≥.
题7．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
【解析】选C.设长方体底面边长分别为x，y，则y＝，所以容器总造价为z＝2(x＋y)×10＋20xy＝20＋80，由基本不等式得，z＝20＋80≥160，
当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低．
题8（多选题）．下列函数的最小值为4的有(　　)
A．y＝x2＋ B．y＝x＋－2
C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
【解析】选AD.对于A，y＝x2＋≥2＝4，当且仅当x＝±时等号成立，故A正确．
对于B，取x＝－1，则y＝－12<4，故B不正确．
对于C，y＝＋≥4，因为x2＋6＝4无解，故等号不成立，故C错误．
对于D，y＝＋x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝1即x＝2时等号成立，故D正确．
题9（多选题）．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，对于代数式(1＋)(1＋)，下列说法正确的是(　　)
A．最小值为9
B．最大值是9
C．当a＝b＝时取得最小值
D．当a＝b＝时取得最大值
【解析】选AC.
＝(1＋)(1＋)＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
题10．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
答案：
题11．已知正实数a，b满足a＋＝3，则＋b的最小值为________．
【解析】因为正实数a，b满足a＋＝3，
所以＋b＝＝
≥＝，
当且仅当＝ab，即时，等号成立．
答案：
题12．设a>0，b>0，且a＋2b＝3.
(1)求ab的最大值；(2)求＋的最小值．
【解析】(1)ab＝a×2b≤()2＝，当且仅当时等号成立．所以当时ab有最大值.
(2)＋＝×3×＝
＝≥
(b＝a取等号).
【课堂题组训练】
题13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
【解析】选C.设两直角边分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).
因为要求够用且浪费最少，故应选择7 m长的铁丝．
题14．已知x＜0，则x＋－2有(　　)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
【解析】选C.因为x＜0，所以x＋－2
＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
题15.设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)
A．0 B．4 C．－4 D．－2
【解析】选C.由＋＋≥0，得k≥，而＝＋＋2≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，所以－≤－4，
因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，
即实数k的最小值等于－4.
题16(多选题)．某单位可把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是(　　)
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20 000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
【解析】选AD.由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200
≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000].
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
题17(多选题)．下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则 c∈R，ac>bc
B．x＋的最小值为2
C．若a>b，则 c∈R，a＋c>b＋c
D．x2＋最小值为2－2
【解析】选CD.A.当c≤0时，若a>b，则ac>bc不成立，故错误；
B．当x>0时，x＋≥2＝2，取等号时x＝1，当x<0时，x＋＝－≤－2＝－2，取等号时x＝－1，故错误；
C．由“不等式两边同时加上或减去同一个实数，不等号不改变”可知正确；
D．因为x2＋＝＋－2≥
2－2＝2－2，
取等号时x2＋2＝，即x＝±，故正确．
题18(多选题)．下列函数的最小值为4的有 ( 　　)
A．y＝x2＋ B．y＝x＋－2 C．y＝ D．y＝＋x＋1(x>1)
【解析】选AD.对于A，y＝x2＋≥2＝4，当且仅当x＝±时等号成立，故A正确．
对于B，取x＝－1，则y＝－12<4，故B不正确．
对于C，y＝＋≥4，因为x2＋6＝4无解，故等号不成立，故C错误．
对于D，y＝＋x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝1即x＝2时等号成立，故D正确．
题19(多选题)．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，对于代数式(1＋)(1＋)，下列说法正确的是 ( 　　)
A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a＝b＝时取得最小值 D．当a＝b＝时取得最大值
【解析】选AC.＝(1＋)(1＋)＝·＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号． 三、填空题
题20．已知x>0，y>0，且＋＝1，则2xy的最小值为________；xy＋3x的最小值为________．
【解析】根据题意，实数x>0，y>0，由＋＝1≥2，则2xy≥8，当且仅当x＝2，y＝2时，等号成立；因为＋＝1，所以x＋y＝xy，xy＋3x＝4x＋y＝(4x＋y)·＝4＋＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当＝即x＝，y＝3时等号成立．
答案：8　9
题21．函数f(x)＝的最小值为________．
【解析】因为f(x)＝x2＋＋x＋≥2＋2＝6＋2，当且仅当x＝时等号成立，所以f(x)的最小值为6＋2.
答案：6＋2
题22．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值．
(2)x＋y的最小值．
【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
题23．某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x∈[0，10])万元的专项补贴，并以每套72元的价格收购其生产的全部医用防护服．A公司在收到政府x万元补贴后，医用防护服产量增加到t＝4－(万套)，同时A公司生产t万套医用防护服需要投入成本(52＋3x＋45t)万元．设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元．当政府的专项补贴为多少万元时，A公司生产医用防护服产生的总收益最大？
(注：总收益＝销售总金额＋政府专项补贴－成本)
【解析】由题意可得y＝72t＋x－(52＋3x＋45t).因为t＝4－，
所以y＝72t＋x－(52＋3x＋45t)＝－2x＋27t－52
＝－2x＋27×(4－)－52＝－2x－＋56，x∈[0，10].
因为－2x－＋56＝－2(x＋2)－＋60≤－2＋60＝24，
当且仅当2(x＋2)＝，即x＝7时取等号，
所以当政府的专项补贴为7万元时，A公司生产医用防护服产生的总收益最大．
【综合突破拔高】
题24．已知a>0，b>0，则“4a＋b＝4”是“a＝1，b＝4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】选B.a>0，b>0时，4a＋b≥2＝4，取“＝”的充要条件是4a＝b.
因为4a＝b时，不一定有a＝1，b＝4.
题25．已知x>0，y>0 ，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)
A．3 B．5 C．7 D．9
【解析】选C.由x＋y＝(x＋1)＋y－1＝[(x＋1)＋y]·1－1
＝[(x＋1)＋y]·2－1
＝2－1≥3＋4＝7.
当且仅当x＝3，y＝4时取得最小值7.
题26．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是(　　)
A．3 B．6 C．6 D．12
【解析】选D.设直角三角形的两直角边分别为a，b，
因为直角三角形面积为18，即ab＝36，
所以两条直角边的和a＋b≥2＝12，
当且仅当a＝b＝6时取等号，
所以两条直角边的和的最小值是12.
题27．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为(　　)
A. B．1 C． D．2
【解析】选A.设两个正方形边长分别为a，b，两个正方形的面积之和为S，
则由题可得2a＋2b＝2，
即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2×＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
题28．若对任意的x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.由题意，对任意的x>0，则有＝＝≤＝，
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，即的最大值为，
又由对任意的x>0时，≤a恒成立，所以a≥，即a的取值范围为.
题29．若x，y为正数，则＋的最小值是(　　)
A．3 B． C．4 D．
【解析】选C.＋＝＋＋≥4，当且仅当即x＝y＝时等号成立．
【误区警示】同一题目中多次用基本不等式，必须保证每次用时等号成立的条件相同．
题30(多选题)．已知x>－3，y>4，且x＋y＝2，则＋的值可能为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选BCD.因为x＋y＝2，所以x＋3＋y－4＝2＋3－4＝1，
则＋＝[(x＋3)＋(y－4)](＋)＝2＋＋.
又因为x>－3，y>4，所以2＋＋≥4，当且仅当x＝－，y＝时取等号．
故B，C，D，都有可能．
题31(多选题)．已知正实数a，b满足2a＋＋b＋－10＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．2a＋b的最大值为5＋
B．2a＋b的最大值为9
C．2a＋b的最小值为5－
D．2a＋b的最小值为1
【解析】选BD.由题意，设2a＋b＝t(t>0)，
则t＋＋－10＝0，即＋＝10－t，
所以0(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，
即a＝b时，等号成立，
所以(2a＋b)≥9，即t≥9，解得1≤t≤9，
所以1≤2a＋b≤9，即2a＋b的最大值为9，最小值为1.
题32(多选题)．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是 (　　 )
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20 000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
【解析】选AD.由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000].
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
题33．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】设仓库建在离车站d千米处，由已知y1＝2＝，得k1＝20，所以y1＝，y2＝8＝k2·10，得k2＝，所以y2＝d，
所以y1＋y2＝＋≥2＝8.
当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．
答案：5
题34．若正数a，b满足a＋b＋2＝ab，则＋的最小值是______，此时b＝______．
【解析】因为a＋b＋2＝ab，所以b＋2＝ab－a，所以a＝，因为a>0，b>0，所以>0，即b>1，
所以＋＝＋＝＋＝(b－1)＋≥2，即＋≥2，当且仅当b－1＝，即b＝2时取等号．
答案：2　2
题35．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？
【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥
2＝20(x>0).
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．
所以，每批应生产产品80件．
题36．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50【解析】设销售价格定为每件x(50所以y＝＝＝≤＝2 500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.
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