3.2.1基本不等式的证明讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（有答案）

编号：013 课题:§3.2.1 基本不等式的证明
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握基本不等式．
2、理解并掌握基本不等式的变形公式．
3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
本节重点难点
重点：基本不等式的变形公式；
难点：基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把__________称为a，b的算术平均数，________称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
(1)公式：
①条件：a，b是正数；
②结论：___________________；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)变形式：当a，b∈R时，a2＋b2____2ab，a2＋b2＋2ab______4ab，ab _____，
Ab____(当且仅当a＝b时，等号成立).
3．用基本不等式求最值的结论
对于正数a，b，
(1)和a＋b为定值时，积ab有最____值；积ab为定值时，和a＋b有最____值．
(2)取等号的条件：当且仅当________时，＝.
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
【课前小题演练】
题1．设a>0，则a＋的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．5
题2．下列不等式正确的是(　　)
A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2
C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2
题3．若0A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
题4．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝6
C．x＝5 D．x＝10
题5．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形面积的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．
题6．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(0A．aB．v＝
C．D．v＝
题7（多选题）．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．ab>1 B．ab＜1
C．＜1 D．>1
题8（多选题）．下列推导过程，正确的为(　　)
A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2
B．因为x∈R，所以>1
C．因为a<0，所以＋a≥2＝4
D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝
－[＋]≤－2＝－2
题9．已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．
题10．若0题11．(1)已知x>0，y>0，xy＝10，求z＝＋的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
【课堂题组训练】
题12．已知x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝，则(x＋y)(y＋z)的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题13．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　)
A.(a＋b)2≥4ab
B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a－b)2≤4ab
D．(a＋b)2>(a－b)2
题14（多选题）．下列表达式的最小值为2的有(　　)
A．当ab＝1时，a＋b
B．当ab＝1时，＋
C．a2－2a＋3
D．＋
题15（多选题）．下列条件可使＋≥2成立的有(　　)
A．ab＞0 B．ab＜0
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
题16（多选题）．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有 (　 　)
A．ab>1 B．ab＜1 C．＜1 D．>1
题17（多选题）．下列推导过程，正确的为 (　 　)
A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2
B．因为x∈R，所以>1 C．a<0，所以＋a≥2＝4
D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－[＋]≤－2＝－2
题18．若4x＋(x>0，a>0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为________．
题19．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________．
题20．设x>0，y>0，xy＝x＋4y＋a，其中a为参数．
(1)当a＝0时，求x＋y的最小值；
(2)当a＝5时，求xy的最小值．
题21．已知a>b>c，求证：(a－c)≥4.
【综合突破拔高】
题22．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　)
A．1 B． C．2 D．3
题23．函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　)
A．6 B．2 C． D．
题24．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
题25．当x>0时，函数y＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
题26．若0A．1 B． C． D．
题27．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－ B．
C． D．－4
题28（多选题）．已知x，y是正数，且2x＋y＝1，下列结论正确的是(　　)
A．xy的最大值为 B．4x2＋y2的最小值为
C．x(x＋y)最大值为 D．最小值为9
题29（多选题）．当x>0时，下列函数最小值为2的是(　　)
A．y＝x(2－x) B．y＝
C．y＝＋ D．y＝x2＋－1
题30（多选题）．下列表达式的最小值为2的有 (　 　)
A．当ab＝1时，a＋b　　 B．当ab＝1时，＋
C．a2－2a＋3 D．＋
题31．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大利润是________万元．
题32．若正实数a，b满足ab＝2a＋3b，则a＋b的最小值为________．
题33．已知a，b都是正数，求证：≥4.
题34．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．
(1)将矩形AMPN的面积表示为关于DN长的函数．
(2)当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
编号：013 课题:§3.2.1 基本不等式的证明
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握基本不等式．
2、理解并掌握基本不等式的变形公式．
3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
本节重点难点
重点：基本不等式的变形公式；
难点：基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
1. 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
(1)公式：
①条件：a，b是正数；
②结论： ≤ ；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)变形式：当a，b∈R时，a2＋b2 ≥ 2ab，a2＋b2＋2ab ≥ 4ab，ab ≤ ，
ab ≤ (当且仅当a＝b时，等号成立).
3．用基本不等式求最值的结论
对于正数a，b，
(1)和a＋b为定值时，积ab有最 大 值；积ab为定值时，和a＋b有最 小 值．
(2)取等号的条件：当且仅当 a＝b 时，＝.
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
【课前小题演练】
题1．设a>0，则a＋的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．5
【解析】选D.因为a>0，所以a＋＝a＋1＋≥1＋2＝5，当且仅当a＝2时取等号，所以a＋的最小值为5.
题2．下列不等式正确的是(　　)
A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2
C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2
【解析】选C.由a可正、可负，可知A，B错误；由于a2＞0，所以a2＋≥2＝2，当且仅当a2＝，即a＝±1时等号成立，所以C正确；同理可知(－a)2＋≥2，故D错误．
题3．若0A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
【解析】选B.a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·＝.
因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，因为0题4．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝6
C．x＝5 D．x＝10
【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去).
题5．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形面积的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．
【解析】选C.设直角三角形两直角边长分别为a，b，则a＋b＝4，
所以直角三角形的面积S＝ab≤×2＝×4＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号).
故直角三角形面积的最大值是2.
题6．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(0A．aB．v＝
C．D．v＝
【解析】选A.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b，设行驶的路程为s，则v＝＝，因为02>0，
所以<＝.
因为v－a＝－a＝＝>0，所以v>a.综上可得a题7（多选题）．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．ab>1 B．ab＜1
C．＜1 D．>1
【解析】选BD.因为ab≤，a≠b，
所以ab＜1，
又1＝＝<，
所以>1，所以ab<1<.
题8（多选题）．下列推导过程，正确的为(　　)
A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2
B．因为x∈R，所以>1
C．因为a<0，所以＋a≥2＝4
D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝
－[＋]≤－2＝－2
【解析】选AD.因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；
当x＝0时，有＝1，故B不正确；当a<0时，＋a＝－≤－2＝－4，C不正确；由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，且计算正确，D正确．
题9．已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．
【解析】＝＋＝＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．
所以的最小值为4＋2.
答案：4＋2
题10．若0【解析】因为0＜a＜1，0＜b＜1，a≠b，
所以a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，
所以四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
又因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，所以a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，所以a＋b最大．
答案：a＋b
题11．(1)已知x>0，y>0，xy＝10，求z＝＋的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
【解析】(1)因为x>0，y>0，xy＝10.
所以＋＝≥＝2.
当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．
所以zmin＝2.
(2)因为x<3，所以x－3<0，所以3－x>0，
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.
【课堂题组训练】
题12．已知x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝，则(x＋y)(y＋z)的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋xz＋yz＝
y＋xz＝y·＋xz＝xz＋≥
2＝2，当且仅当xz＝，即xz＝1时等号成立．
题13．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　)
A.(a＋b)2≥4ab
B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a－b)2≤4ab
D．(a＋b)2>(a－b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2>(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定．因此C选项错误．
题14（多选题）．下列表达式的最小值为2的有(　　)
A．当ab＝1时，a＋b
B．当ab＝1时，＋
C．a2－2a＋3
D．＋
【解析】选BC.对于选项A，当a，b均为负值时，a＋b<0，故最小值不为2；
对于选项B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b＝±1时取等号，故最小值为2；
对于选项C，a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，当a＝1时，取最小值2；
对于选项D，＋≥
2＝2，当且仅当＝，即a2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.
题15（多选题）．下列条件可使＋≥2成立的有(　　)
A．ab＞0 B．ab＜0
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【解析】选ACD.根据基本不等式的条件知>0，＞0，a，b同号即可．
题16（多选题）．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有 (　 　)
A．ab>1 B．ab＜1 C．＜1 D．>1
【解析】选BD.因为ab≤，a≠b，所以ab＜1，
又1＝＝<，所以>1，所以ab<1<.
题17（多选题）．下列推导过程，正确的为 (　 　)
A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2
B．因为x∈R，所以>1 C．a<0，所以＋a≥2＝4
D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－[＋]≤－2＝－2
【解析】选AD.因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；
当x＝0时，有＝1，故B不正确；当a<0时，＋a≥2＝4是错误的，C不正确；由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，且计算正确，D正确．
题18．若4x＋(x>0，a>0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为________．
【解析】因为x>0，a>0，所以4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，由题意得，＝2，所以a＝16.
答案：16
题19．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时的最小值为________．
【解析】1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
所以＝1或＝－2(舍)，所以k＝1.
＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
答案：1　3
题20．设x>0，y>0，xy＝x＋4y＋a，其中a为参数．
(1)当a＝0时，求x＋y的最小值；
(2)当a＝5时，求xy的最小值．
【解析】(1)当a＝0时，xy＝x＋4y，因为x>0，y>0，则＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当x＝2y＝6时，等号成立，因此，x＋y的最小值为9；
(2)因为a＝5，由xy＝x＋4y＋5可得y(x－4)＝x＋5，
因为x>0，y>0，可得x>4，所以y＝，
所以xy＝＝x＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝(x－4)＋＋13≥2＋13＝25，
当且仅当x－4＝(x>4)，即当x＝10时，等号成立，因此，xy的最小值为25.
题21．已知a>b>c，求证：(a－c)≥4.
【证明】因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，
所以[(a－b)＋(b－c)]＝2＋＋，
又a>b>c，所以＋≥2，故(a－c)≥4，
当且仅当＝时，取“＝”．
【综合突破拔高】
题22．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　)
A．1 B． C．2 D．3
【解析】选D.由题意得，mn≤＝＝3，
当且仅当m＝n时取等号，所以mn的最大值是3.
题23．函数y＝x＋(x>－2)取最小值时x的值为(　　)
A．6 B．2 C． D．
【解析】选B.因为x>－2，所以x＋2>0，
所以y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，
当且仅当x＋2＝且x>－2，即x＝2时等号成立．
题24．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
【解析】选B.(x＋y)＝1＋＋＋4＝5＋＋，
因为x，y为正数，所以＋≥2＝4(当且仅当＝时取等号，即当y＝2x时取等号)，因此(x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9.
题25．当x>0时，函数y＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
【解析】选B.因为x>0，
所以y＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
即y＝有最大值1.
题26．若0A．1 B． C． D．
【解析】选C.因为0所以y＝x＝
＝≤·＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时取等号，
则y＝x的最大值为.
题27．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－ B．
C． D．－4
【解析】选A.因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
题28（多选题）．已知x，y是正数，且2x＋y＝1，下列结论正确的是(　　)
A．xy的最大值为 B．4x2＋y2的最小值为
C．x(x＋y)最大值为 D．最小值为9
【解析】选ABD.选项A，因为xy＝·2xy≤()2＝，当且仅当2x＝y时取等号，此时xy的最大值为，故A正确；
选项B，4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝1－4xy，由选项A可知xy≤，所以4x2＋y2＝1－4xy≥1－4×＝，即4x2＋y2的最小值为，故B正确；
选项C，x(x＋y)≤()2＝，当且仅当x＝x＋y，即x＝，y＝0时取等号，又x，y都是正数，故等号不成立，故C错误；
选项D，＝＋＝(＋)(2x＋y)＝5＋(＋)≤5＋
2＝9，
当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，此时的最小值为9，故D正确．
题29（多选题）．当x>0时，下列函数最小值为2的是(　　)
A．y＝x(2－x) B．y＝
C．y＝＋ D．y＝x2＋－1
【解析】选BD.对于A中，函数y＝x(2－x)＝－x2＋2x，此时函数在(0，＋∞)上无最小值，所以A不正确；
对于B中，由x>0，可得y＝＝x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号，所以B正确；
对于C中，y＝＋＝t＋≥2，
当且仅当t＝，t＝1时，等号成立，但是t＝≥，故C不正确；
对于D中，函数y＝x2＋－1＝x2＋1＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x2＋1＝2，即x＝1时取等号，D正确．
题30（多选题）．下列表达式的最小值为2的有 (　 　)
A．当ab＝1时，a＋b　　 B．当ab＝1时，＋
C．a2－2a＋3 D．＋
【解析】选BC.①对于选项A，当a，b均为负值时，a＋b<0，故最小值不为2；
②对于选项B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a＝b＝±1时取等号，故最小值为2；
③对于选项C，a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，当a＝1时，取最小值2；
④对于选项D，＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.
题31．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大利润是________万元．
【解析】每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大利润为8万元.
答案：5　8
题32．若正实数a，b满足ab＝2a＋3b，则a＋b的最小值为________．
【解析】因为正实数a，b满足ab＝2a＋3b，
所以＋＝1，由基本不等式得a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，
当且仅当2a2＝3b2时等号成立，即a＋b的最小值为5＋2.
答案：5＋2
题33．已知a，b都是正数，求证：≥4.
【证明】因为a>0，b>0，
所以a＋≥2＝2，b＋≥2＝2.
由不等式的性质，得≥4，当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立．
题34．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．
(1)将矩形AMPN的面积表示为关于DN长的函数．
(2)当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
【解析】(1)设DN的长为x米，则AN＝(x＋4)米，
因为＝，所以AM＝，
所以SAMPN＝AN·AM＝(x>0).
(2)由(1)知，矩形花坛AMPN的面积为y＝＝＝3x＋＋24≥2＋24＝48，
当且仅当3x＝，即x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48，故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．
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