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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念与运算
课程标准 考向预测
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 考情分析： 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．
学科素养： 通过集合概念考查数学抽象的核心素养；通过利用数轴或Venn图解决集合的运算问题，考查数学运算及直观想象的核心素养．
栏目导引
知识分步落实
栏目一
考点分类突破
栏目二
微专题系列1
栏目三
知识分步落实
确定性
互异性
属于
不属于
列举法
描述法
A B或B A
A?B或B?A
A＝B
考点分类突破
微专题系列1
微专题系列1 追踪集合中的新定义 ［交汇创新］
课时作业(一)第一节 集合的概念与运算
课程标准 考向预测
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 考情分析： 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．学科素养： 通过集合概念考查数学抽象的核心素养；通过利用数轴或Venn图解决集合的运算问题，考查数学运算及直观想象的核心素养．
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法．
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
［提醒］ N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素(若x∈A，则x∈B) A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A?B或B?A
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
eq \a\vs4\al()
1.两个常用等价关系
A∪B＝A B A，A∩B＝A A B.
2.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A．
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A．
3.子集个数
若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
小题练1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a} P D．a P
D ［因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a P.故选D.］
小题练2．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0A．{x|0C．{x|4≤x<5} D．{x|0B ［M∩N＝{x|≤x<4}．］
小题练3．(必修1P12A组T10改编)设全集为R，集合A＝{x|0解析： 因为集合B＝{x|x≥1}，所以 RB＝{x|x<1}，
所以A∩( RB)＝{x|0答案： {x|0小题练4．(巧用结论)集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是 .
解析： 当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝2；当x≥3时，y≤－3(不合题意，舍去)，所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2，5，6}，共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
答案： 7
考点一 集合的基本概念 自练型
1.已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1 A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34 A
C ［当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；
令－11＝3k－1，得k＝－ Z，所以－11 A，所以B错误；
因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；
令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误．］
2.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C ［当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1，0，1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素．］
3.(2021·江苏天一中学三模)设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．1
C ［由题意得P＝Q＝因为P＝Q，所以当且仅当a＝－1，b＝1时，P＝Q成立，故a－b＝－2，故选C.］
4.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝ .
解析： ①当a－3＝－3时，即a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
②当2a－1＝－3时，即a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不符合集合的互异性，舍去；
③当a2－4＝－3时，即a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，符合题意．
综上，a＝0或1.
答案： 0或1
eq \a\vs4\al()
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
［提醒］ 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．(如题4)
考点二 集合间的基本关系
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为 .
解析： (1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A C B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，共4个．
(2)∵B A，
∴①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则
解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3］.
答案： (1)D (2)(－∞，3］
eq \a\vs4\al()
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
［提醒］ 题目中若有条件B A，则应注意是否需要分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论(如例1(2)).
即时练1.已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．A?B B．B?A
C．A B D．B＝A
B ［因为A＝{x|y＝}，1－x2≥0，
所以－1≤x≤1，
即A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以B?A，故选B.］
即时练2.(变条件)在本例(2)中，若“B A”变为“B?A”，则实数m的取值范围为 .
解析： ∵B?A，∴①若B＝ ，成立，此时m<2；
②若B≠ ，则或
解得2≤m≤3.
由①②可得m的取值范围为(－∞，3］.
答案： (－∞，3］
即时练3.(变条件)在本例(2)中，若“B A”变为“A B”，则实数m的取值范围为 .
解析： 若A B，则即显然无解，所以m的取值范围为 .
答案：
考点三 集合的基本运算 多维型
角度一 集合的运算
(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A． B．S
C．T D．Z
(2)已知集合A＝{(x，y)|y＝x－1}，B＝{(x，y)|y＝－2x＋5}，则A∩B＝( )
A．{(2，1)} B．{2，1}
C．{(1，2)} D．{－1，5}
(3)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析： (1)在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以T∩S＝T，故选C.
(2)方法一(直接法)：联立解得
所以A∩B＝{(2，1)}．
方法二(间接法)：由题意知A∩B为点集，故排除B、D，经检验，只有点(2，1)同时满足方程y＝x－1和y＝－2x＋5，故选A．
(3) UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝( UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
答案： (1)C (2)A (3)D
eq \a\vs4\al()
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为( )
A．－1或0 B．0或1
C．－1或2 D．1或2
(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则( )
A．m≥1 B．1≤m＜3
C．1解析： (1)因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈(A∪B).由集合中元素的互异性可知，m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.
(2)由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1m}且A∪B＝{x|x>1}，所以1≤m＜3.故选B.
答案： (1)D (2)B
eq \a\vs4\al()
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
即时练1.(2021·长春第三次联考)已知集合U＝{x∈N|0A．{2，3，4，5} B．{3，4，5，6}
C．{2，3，4，5，6} D．{3，4，5，6，7}
C ［因为U＝{x∈N|0所以A∪( UB)＝{2，3，4，5，6}，故选C.］
即时练2.(2021·山西名校阶段性测评)已知全集U为R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|2A．{x|3≤x<4} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|2A ［因为A＝{x|x2－2x－3<0}
＝{x|－1所以 UA＝{x|x≤－1或x≥3}，所以B∩( UA)＝{x|3≤x<4}，故选A．］
即时练3.(2021·贵阳市第一学期监测考试)设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
B ［因为B＝{x|2x－a≤0}＝，
A∩B＝{x|－1≤x≤1}，所以＝1，
解得a＝2，故选B.］
微专题系列1 追踪集合中的新定义［交汇创新］
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)(2021·河南新乡二模)定义集合M N＝{x|x∈M且x－1∈N}，已知集合A＝{x|x2＋3x－10<0}，B＝{x|－7A．{x|－5C．{x|－5(2)设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为 .
解析： (1)由x2＋3x－10＝(x－2)(x＋5)<0，解得－5(2)符合条件的理想配集有①M＝{1，3}，N＝{1，3}；②M＝{1，3}，N＝{1，2，3}；③M＝{1，2，3}，N＝{1，3}．共3个．
答案： (1)C (2)3
eq \a\vs4\al()
解决集合中新定义问题的两个关键点
(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．
(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口．在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
即时练1.(2021·东北三校第二次考试)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．16 B．18
C．14 D．8
A ［因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，
所以A*B＝{1，2，3，4，6}，
所以A*B的所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16，故选A．］
即时练2.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是 .
解析： 不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，
当A1＝ 时，A2＝{1，2，3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，
同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，
当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．
答案： 27第一节 集合的概念与运算
课程标准 考向预测
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 考情分析： 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．学科素养： 通过集合概念考查数学抽象的核心素养；通过利用数轴或Venn图解决集合的运算问题，考查数学运算及直观想象的核心素养．
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法．
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素(若x∈A，则x∈B) A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A?B或B?A
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
eq \a\vs4\al()
1.两个常用等价关系
A∪B＝A B A，A∩B＝A A B.
2.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A．
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A．
3.子集个数
若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
小题练1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a} P D．a P
小题练2．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0A．{x|0C．{x|4≤x<5} D．{x|0小题练3．(必修1P12A组T10改编)设全集为R，集合A＝{x|0小题练4．(巧用结论)集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是 .
考点一 集合的基本概念 自练型
1.已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1 A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34 A
2.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3.(2021·江苏天一中学三模)设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．1
4.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝ .
eq \a\vs4\al()
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
［提醒］ 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．(如题4)
考点二 集合间的基本关系
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为 .
eq \a\vs4\al()
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
［提醒］ 题目中若有条件B A，则应注意是否需要分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论(如例1(2)).
即时练1.已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．A?B B．B?A
C．A B D．B＝A
即时练2.(变条件)在本例(2)中，若“B A”变为“B?A”，则实数m的取值范围为 .
即时练3.(变条件)在本例(2)中，若“B A”变为“A B”，则实数m的取值范围为 .
考点三 集合的基本运算 多维型
角度一 集合的运算
(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A． B．S
C．T D．Z
(2)已知集合A＝{(x，y)|y＝x－1}，B＝{(x，y)|y＝－2x＋5}，则A∩B＝( )
A．{(2，1)} B．{2，1}
C．{(1，2)} D．{－1，5}
(3)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
eq \a\vs4\al()
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为( )
A．－1或0 B．0或1
C．－1或2 D．1或2
(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则( )
A．m≥1 B．1≤m＜3
C．1eq \a\vs4\al()
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
即时练1.(2021·长春第三次联考)已知集合U＝{x∈N|0A．{2，3，4，5} B．{3，4，5，6}
C．{2，3，4，5，6} D．{3，4，5，6，7}
即时练2.(2021·山西名校阶段性测评)已知全集U为R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|2A．{x|3≤x<4} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|2即时练3.(2021·贵阳市第一学期监测考试)设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
微专题系列1 追踪集合中的新定义［交汇创新］
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)(2021·河南新乡二模)定义集合M N＝{x|x∈M且x－1∈N}，已知集合A＝{x|x2＋3x－10<0}，B＝{x|－7A．{x|－5C．{x|－5(2)设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为 .
eq \a\vs4\al()
解决集合中新定义问题的两个关键点
(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．
(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口．在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
即时练1.(2021·东北三校第二次考试)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．16 B．18
C．14 D．8
即时练2.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是 .课时作业(一) 集合的概念与运算
［基础保分练］
1.(2021·成都市第一次诊断性检测)设集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{x||x－1|<3，x∈N}，则A∩B＝( )
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3}
C．{x|－1B ［因为A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1所以A∩B＝{0，1，2，3}，故选B．］
2.(2021·河南省名校第一次联考)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝，则M∪N＝( )
A．［0，1］ B．(0，1］
C．［0，1) D．(－∞，1］
A ［集合M＝{x|x2＝x}＝{x|x＝0或x＝1}＝{0，1}，N＝＝{x|03.(2021·上海高考)已知集合A＝{x|x>－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是( )
A．A B B． RA RB
C．A∩B＝ D．A∪B＝R
D ［A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，－1］∪［2，＋∞)，
∴A∪B＝R，其余选项均错误．］
4.(2021·四省八校第一学期考试)已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋y2＝1}，则M∩N中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C ［(x－1)2＋y2＝1表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆．圆心(1，0)到直线x＋y＝0的距离d＝<1，
∴M∩N中元素的个数为2，故选C．］
5.(2021·南昌市高三摸底测试卷)设集合{a，b，}＝{1，2，4}，则a＋b＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
C ［因为2＝，所以a＝1，b＝4，＝2或a＝4，b＝1，＝2，
所以a＋b＝5，故选C．］
6.(2021·贵阳市适应性考试(一))已知U是全集，若集合A满足A∩( UB)＝ ，则( )
A．A∪B＝A B．A∩B＝B
C．A∩B＝ D．A∪B＝B
D ［因为A∩( UB)＝ ，所以A B，
可得A∩B＝A，A∪B＝B，故选D．］
7.已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是 ．
解析： 因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合为( RA)∩B， RA＝{x|x≠0且x≠1}，所以( RA)∩B＝{－1，2，3}．
答案： {－1，2，3}
8.(2021·贵阳市四校联考(三))已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则符合条件的实数a组成的集合为 ．
解析： 因为A∩B＝B，
所以B A．当a＝0时，B＝ A，满足条件；当a≠0时，B＝，因为A＝{－2，1}，所以＝－2或＝1，解得a＝－1或a＝2.
综上可知，符合条件的实数a组成的集合为{0，－1，2}．
答案： {0，－1，2}
9.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为 ．
解析： ∵B＝{x|ax2＝1，a≥0}，∴当a＝0时，B为空集，此时满足B A，∴集合A与B构成“全食”；
若a>0，则B＝.由题意知
＝1或＝，
当＝1时，B＝{1，－1}，B A，A与B构成“全食”；
当＝时，B＝，A与B构成“偏食”．
解得a＝1或a＝4.综上，a的取值集合为{0，1，4}．
答案： {0，1，4}
10.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝［1，3］，求实数m的值；
(2)若A RB，求实数m的取值范围．
解析： A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝［1，3］，
∴解得m＝3.
(2) RB＝{x|xm＋2}．
∵A RB，∴m－2>3或m＋2<－1，
∴m>5或m<－3.
故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞).
［能力提升练］
11.(2021·湖北十一校高三第二次联考)已知非空集合A，B满足以下两个条件：
(1)A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝ ；
(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则有序集合对(A，B)的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B ［若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1 A，3 B，即3∈A，1∈B，此时有1对有序集合对(A，B)；
同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中有3个元素，则3∈B，1∈A，此时有1对有序集合对(A，B)；
若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，则2 A，且2 B，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A，B)的个数为1＋1＝2，故选B．］
12.(2021·江苏徐州二模)某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表：
优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
C ［用集合A表示除草优秀的学生，集合B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则 UA表示除草合格的学生， UB表示植树合格的学生，作出Venn图，如图．
设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都合格的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，化简得x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C．］课时作业(一) 集合的概念与运算
［基础保分练］
1.(2021·成都市第一次诊断性检测)设集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{x||x－1|<3，x∈N}，则A∩B＝( )
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3}
C．{x|－12.(2021·河南省名校第一次联考)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝，则M∪N＝( )
A．［0，1］ B．(0，1］
C．［0，1) D．(－∞，1］
3.(2021·上海高考)已知集合A＝{x|x>－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是( )
A．A B B． RA RB
C．A∩B＝ D．A∪B＝R
4.(2021·四省八校第一学期考试)已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋y2＝1}，则M∩N中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5.(2021·南昌市高三摸底测试卷)设集合{a，b，}＝{1，2，4}，则a＋b＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
6.(2021·贵阳市适应性考试(一))已知U是全集，若集合A满足A∩( UB)＝ ，则( )
A．A∪B＝A B．A∩B＝B
C．A∩B＝ D．A∪B＝B
7.已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是 ．
8.(2021·贵阳市四校联考(三))已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则符合条件的实数a组成的集合为 ．
9.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为 ．
10.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝［1，3］，求实数m的值；
(2)若A RB，求实数m的取值范围．
［能力提升练］
11.(2021·湖北十一校高三第二次联考)已知非空集合A，B满足以下两个条件：
(1)A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝ ；
(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则有序集合对(A，B)的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12.(2021·江苏徐州二模)某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表：
优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
