浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2022学年第一学期环大罗山联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于xOz平面的对称点是（ ）
A．(﹣1，﹣2，3) B．(1，﹣2，3) C．(1，2，﹣3) D．(﹣1，2，3)
3．已知A(0，0，1)，B(0，2，0)，C(3，0，0)，O(0，0，0)，则点O到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．“m<1”是“点P(1，1)在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．正四面体P﹣ABC的棱长为2，点D是△PAB的重心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．椭圆()的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤4，若将军从点A(3，1)处出发，河岸线所在直线方程为y＝﹣x﹣5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．若x，y，z∈R，则
的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得的2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，则（ ）
A．存在m，使C表示圆
B．当m＝6时，则C的渐近线方程为
C．当C表示双曲线时，则m<﹣2或m>4
D．当m＝2时，则C的焦点是
10．若两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5﹣3m与与l2：2x＋(5＋m)y＝8互相平行，则（ ）
A．m＝﹣7 B．m＝﹣1
C．l1与l2之间的距离为 D．与l1、l2距离相等的点的轨迹方程为4x﹣4y＋5＝0
11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面AA1D1D的中心，F是底面ABCD的中心，点M在线段AD上运动．以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．是平面A1BC的一个法向量
B．直线EF平面C1D1DC
C．异面直线EF与A1C垂直
D．存在点M，使得直线A1M与平面A1BC所成的角为
12．2022年4月，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含M，N点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，3)，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．△AFG的周长为
C．△ABF面积的最大值是 D．线段AB长度的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的一条渐近线与直线x＋2y﹣3＝0垂直，则a的值为______．
14．已知圆心在直线3x﹣y＝0上的圆C与x轴的正半轴相切，且C截y轴所得弦的弦长为，则圆C的标准方程为______．
15．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且QF2⊥F2P，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于______．
16．如图，平行六面体中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，则线段D1E的长度为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线（a>0，b>0）的右支与y轴及直线y＝4，y＝﹣2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
（1）求杯身最细之处的周长(杯的厚度忽略不计)：
（2）求此双曲线C的离心率与渐近线方程。
18．（12分）已知圆C：x2＋y2﹣4x＋2y﹣4＝0．
（1）过点P(2，2)作圆C的切线l，求切线l的方程；
（2）过点Q(0，2)的直线m与圆C交于A，B两点，，求直线m的方程．
19．（12分）如图，已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥BD，△ABC和△ABD都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）记用表示；
（3）求异面直线AF和CE所成角的余弦值．
20．（12分）已知直线l：kx﹣y＋2﹣k＝0（k∈R）交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B．
（1）O为坐标原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程：
（2）设点P是直线l经过的定点，求|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程．
21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，，BC＝DC＝2AB＝4，CB⊥CD，，点Q在棱PA上，PQ＝2QA，且PA⊥平面QBD．
（1）求证：平面QBD；
（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)．过F2与x轴垂直的直线与椭圆C交于点D，点D在x轴上方，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，是否存在一定点M使得为定值，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
2022学年第一学期环大罗山联盟期中联考
高二年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B D B C C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得的2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD ABD BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．4 14．(x﹣1)2＋(y﹣3)2＝9 15．2 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．(10分）（1）由题意可得，所以双曲线C过点M，N，所以
解得所以杯身最细之处的周长为．
（2）因为双曲线C为，所以；
渐近线方程为，即．
18．（12分）解：因为圆C：(x﹣2)2＋(y＋1)2＝9，圆心C(2，﹣1)，半径r＝3．
（1）因为点P(2，2)满足圆C的方程，所以点P在圆C上，
因为不存在，所以圆C在点P处的切线斜率为0，
所以，切线l的方程为y＝2
（2）当直线m斜率存在时，设m为y＝kx＋2，即：kx﹣y＋2＝0．
因为圆心C到直线m的距离，
所以直线m的方程为5x＋12y﹣24＝0；
当直线m斜率不存在时，m为x＝0也符合条件；
综上，所求为5x＋12y﹣24＝0或x＝0．
19．（12分）解（1）连接BF．因为BC＝BD，F为CD中点，所以CD⊥BF；同理可得CD⊥AF；
因为，所以CD⊥平面ABF，又因为平面ABF，所以CD⊥AB．
（2）记．
所以，
（3）易得；所以
又所以设所求角为θ，则．
坐标法或其他方法，这里略．视答题情况，同样酌情给分
20．（12分）解：作图可知k<0．令x＝0，求得，令y＝0，求得B(0，2﹣k)，
（1）知：，
所以．
因为，所以．
取到“＝”时，
所以△AOB面积最小时，直线l的方程为2x﹣y＋4＝0．
（2）因为直线l：k(x﹣1)＋(2﹣y)＝0，所以直线l经过的定点P(1，2)，
所以
所以
所以，
取到“＝”时，
所以的值最小时，直线l的方程为x＋y﹣3＝0．
其他解法：这里略，视答题情况酌情给分
21．（12分）解：（1）连接AC交BD于E，连接QE．
因为，所以可得，所以，
又因为平面QBD，，所以平面QBD
（2）以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，过点C作底面ABCD的垂线作为z轴，
建立坐标系．则C(0，0，0)，A(4，2，0)，B(4，0，0)，D(0，4，0)，BD的中点E(2，2，0)．
设P(x，y，z)，可得：
，，，
因为，所以，所以(4﹣x)2＋(2﹣y)2＋z2＝6①
又因为PA⊥平面QBD，平面QBD，所以②
因为PA⊥平面QBD，平面QBD，所以PA⊥QB，
所以，
所以
③
所以①②③，所以，所以，
又平面PAB的法向量为，
所以，设所求角为θ，则．
22．（12分）解：（1）由已知得，所以，
所以，∴b＝1所以椭圆C的方程为
（2）如果存在点M，由于椭圆的对称性可知点M一定在x轴上，
设其坐标为，因为椭圆右焦点F(1，0)，直线斜率存在时设l的方程为y＝k(x﹣1)，
，，则，将y＝k(x﹣1)代入得：
(2k2＋1)x2﹣4k2x＋2k2﹣2＝0，所以，，
又由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得：
则．
当时，，当直线斜率不存在时，存在一定点M(2，0)使得为定值0．
综上：存在定点M(2，0)使得为定值0．