人教版高中数学必修第一册第一章1.5 全称量词和存在量词 课时7 全称量词与存在量词课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
课时7 全称量词与存在量词
教学目标
1. 理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.
2. 了解全称量词命题和存在量词命题的含义,会用数学符号表示含有量词的命题.
3. 能判断含有全称量词或存在量词的命题的真假,提高数学抽象的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
认识全称量词与存在量词的意义 通过全称量词与存在量词的学习，提高逻辑推理和数学抽象素养
认识全称量词命题和存在量词命题 掌握全称量词命题和存在量词命题的判定 通过掌握全称量词命题和存在量词命题的判定，提高逻辑推理素养
情境导学
德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个猜想：“任意取一个奇数，都可以把它写成三个素数之和，比如77，77＝53＋17＋7.”同年欧拉肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且提出此猜想可以有另一等价的版本：每一个大于2的偶数都是两个素数之和，即“1＋1”(1表示1个素数)，如8＝3＋5.这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．后来，数学家们陆续证明出了“9＋9”“7＋7”“6＋6”…“3＋3”“2＋3”，200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1＋2”，即：任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和，如8＝2＋2×3＝3＋5.从陈景润的“1＋2”到“1＋1”似乎仅一步之遥，但迄今为止它仍然没有得到正面证明，也没有被推翻．不难发现，要想正面证明它就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，但想要推翻它只需“存在一个”反例.
【活动1】 理解全称量词与全称量词命题的含义
【问题1】下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1) x>3;
(2) 2x+1是整数;
(3) 对所有的x∈R,x>3;
(4) 对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
初探新知
【问题2】从上面问题中,你能说出什么是全称量词和全称量词命题吗
【问题3】下列命题:(1) 所有质数都是奇数;(2) 对任意x∈R,3x-5>0;(3) 一切负数的平方都是正数.其中是全称量词命题的有哪些
【问题5】用符号“ ”表示下列全称量词命题，并判断其真假．
(1) 任意一个实数乘以0都等于0；
(2) 自然数的平方是正数；
(3) 任意两个有理数的和仍是有理数．
【活动2】认识全称量词命题的符号表示
【问题4】怎样用数学符号表示全称量词和全称量词命题呢
【问题6】语句“2x＋1＝3”和语句“存在一个x∈R，使2x＋1＝3”，两者有什么区别？
【活动3】理解存在量词和存在量词命题的含义
【问题8】下列命题：①存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；②至少有一个正数n，使得n2＋n为奇数；③任意无理数的平方都是无理数．其中是存在量词命题的有哪些？
【问题7】从上面问题中,你能说出什么是存在量词和
存在量词命题吗
【活动4】认识存在量词命题的符号表示
【问题10】用符号“ ”表示下列存在量词命题，并判断其真假．
(1) 至少有一个自然数x0，使1＋3x0<0；
(2) 有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3) 存在一个实数对(x0，y0)，使2x0＋3y0＋3＝0成立．
【问题9】怎样用数学符号表示全称量词和全称量词命题呢
典例精析
【例1】[教材改编题]判断下列全称量词命题的真假：
(1) 所有的奇数都是整数；
(2) 末位为5的整数都能被5整除；
(3) 所有的正方形都是菱形；
(4) x∈R，x2＋2≥2.
思路点拨：理解全称量词的“所有”属性．判断全称量词命题是否为真命题，要对范围内的每一个元素进行验证．
解：
(1) 整数可以分为奇数和偶数，故所有的奇数都是整数，真命题．
(2) 末位为0或5的整数能被5整除，真命题．
(3) 邻边互相垂直的菱形为正方形，故所有的正方形都是菱形，真命题．
(4) 因为x2≥0，所以x2＋2≥2，真命题．
【方法规律】
判断全称量词命题真假的方法：要判断一个全称量词命题为真，必须证明对给定集合中的每一个元素x，命题p(x)均成立；但是要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使得命题p(x)不成立即可(举反例).
【变式训练1】
判断下列全称量词命题的真假：
(1) x∈R，|x|＋1≥1；
(2) 每一条线段的长度都能用正有理数来表示．
【解】
(1)因为|x|≥0,所以|x|+1≥1,真命题
(2)举例边长为1的正方形,其对角线的长度为 , 就不能用正有理数表示,假命题.
思路点拨：理解存在量词的“存在”“有一个”属性．存在量词命题的真假取决于“找得到”和“找不到”．
【例2】 [教材改编题]判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有一个实数x，使x2＋2x－3＝0；
(2) 存在一个x∈R，使 ＝0；
(3) 有些平行四边形是正方形．
【解】
(1) x＝－3，x＝1是方程x2＋2x－3＝0的根，真命题.
(2) 要使分数有意义，分母不能为0，即x－1≠0，则不存在
x∈R，使 ＝0成立，假命题.
(3) 邻边相等且垂直的平行四边形为正方形，真命题．
【方法规律】
判断存在量词命题真假的方法：要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)成立；但是要判断一个存在量词命题为假时，必须证明对给定集合中的每一个元素x，命题p(x)均不成立，即“找得到”和“找不到”．
【变式训练2】
判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有些菱形是正方形；
(2) 至少有一个整数n，使n2＋1是4的倍数．
【解】
(1) 对角线相等的菱形是正方形，故有些菱形是正方形，真命题.
(2) 假设有一个整数n，n2＋1是4的倍数．因为n2＋1是4的倍数，所以n2＋1是偶数，故n2为奇数，所以n为奇数．设n＝2k＋1，k∈N，则n2＋1＝4k2＋4k＋2，故n2＋1除以4的余数为2，与题设矛盾．故不存在整数n，使得n2＋1是4的倍数，假命题．
思路点拨:寻找量词“存在”“任意”等，根据定义辨析．判断一个全称量词命题为真，必须证明对给定集合中的每一个元素x，命题均成立；要判断一个存在量词命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)成立即可．
【例3】判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1) 存在整数x，使得x3<1；
(2) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3) 存在一个四边形不是平行四边形；
(4) 对任意a，b∈R，若a>b，则 < .
【解】
(1) 该命题为存在量词命题，因为存在整数x＝－1，使得x3＝－1<1，故该命题为真命题．
(2) 该命题是全称量词命题，由有序实数对与平面直角坐标系中点的对应关系知该命题为真命题．
(3) 该命题是存在量词命题，因为存在四边形不是平行四边形，如梯形，故该命题为真命题；
(4) 该命题是全称量词命题，取a＝1，b＝－1，满足a>b，但 > ，故该命题为假命题.
【方法规律】
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路：
【变式训练3】 已知语句q(x)：|x－1|＝1－x.
(1) 写出q(1)，q(2)，并判断它们是否为真命题；
(2) 写出“ a∈R，q(a)”，并判断它是否为真命题；
(3) 写出“ b∈R，q(b)”，并判断它是否为真命题．
【解】
(1) q(1)：|1－1|＝1－1，真命题；q(2)：|2－1|＝1－2，由于|2－1|＝1，1－2＝－1，所以|2－1|≠1－2，所以q(2)为假命题．
(2) a∈R，q(a)：|a－1|＝1－a成立，由(1)知q(2) 是假命题，所以该命题为假命题．
(3) b∈R，q(b)：|b－1|＝1－b成立，由(1)知q(1) 是真命题，所以该命题为真命题．
(备选例题)已知命题p:“ x∈[1,+∞),x2-a≥0”,命题q:“ x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”.若命题p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围为 (　　)
A. {a|a≤-2或a=1}
B. {a|a≤-2或1≤a≤2}
C. {a|a≥1}
D. {a|-2≤a≤1}
思路点拨:命题p是全称量词命题,命题q是存在量词命题,分别求出当命题p和命题q为真命题时实数a的取值的集合,再求交集即可.
A
【解】由已知可知p和q均为真命题,由命题p为真命题,得a≤1;由命题q为真命题,知Δ=4a2-4(2-a)≥0成立,得a≤-2或a≥1,所以实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.故选A.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [教材改编题]下列全称量词命题中是真命题的是(　　)
A.所有菱形的四条边都相等 B.任何实数都有平方根
C. x∈R，x3>0 D.梯形的对角线相等
B
A
2. 下列命题中是存在量词命题且为真命题的是(　　)
A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使 >2
4. 已知命题p： x∈R，x2－m≥0是真命题，则实数m的取值范围为________．
3.(多选)下列四个命题中为假命题的是(　　)
A.存在矩形不是平行四边形
B. x∈R，x2<0
C. x>1，x3>1
D.所有四边形的外角和都是360°
m≤0
AB
【解】
由命题p： x∈R，x2－m≥0为真命题，则x2≥m恒成立，又x2≥0，所以可得m≤0.所以实数m的取值范围为m≤0.
5.[2022·山东省青岛市高三一模]若命题“ x∈R,ax2+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
【解】
依题意,命题“ x∈R,ax2+1≥0”为真命题.当a=0时,1≥0恒成立;当a>0时,ax2≥0,ax2+1≥1>0,成立;当a<0时,函数y=ax2+1的图象开口向下,ax2+1≥0不恒成立.综上所述,a≥0.
a≥0
同学们再见！
Goodbye Students！