2022-2023学年第一学期七年级
第11章三角形测试卷参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列三条线段的长度能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，14 D．，4，7
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴长度为1，2，3的三条线段不能构成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；
C、∵6+8＝14，
∴长度为6，8，14的三条线段不能构成三角形，本选项不符合题意；
D、∵，
∴长度为，4，7的三条线段不能构成三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
2．已知正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．九 B．八 C．七 D．六
【分析】应用多边形内角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
这个正多边形的边数是．
故选：A．
3．如图，△BCE的一个外角是（ ）
A．∠A B．∠ACE C．∠AEC D．∠BCD
【分析】根据三角形的外角是一边的延长线与另一边的夹角判断出∠AEC是△BCE的一个外角．
【解答】解：由图可知△ABC的一个外角是∠AEC，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
【分析】根据三角形高的定义即可得出答案．
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴在△ABC中，边AB上的高是CH．
故选：D．
5．机器人从点A0出发朝正东方向走了2m到达点A1，记为第1次行走；接着，在点A1处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达A2，记为第2次行走；再在点A2处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达点A3，记为第3次行走，…以此类推，该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为（ ）
A．20m B．16m C．12m D．10m
【分析】由题意可知机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形，结合其外角和为360°求得边数后再乘以2即可求得答案．
【解答】解：由题意可知机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形，
则其边数为：360°÷60°＝6（条），
那么6×2＝12（m），
即该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为12m，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
【分析】首先对图形进行角标注，根据三角形的外角定理得到∠1＝∠CED+∠C，∠2＝∠CDE+∠C，即∠1+∠2＝∠CDE+∠CED+∠C+∠C；又要根据三角形的内角和定理∠CDE+∠CED+∠C＝180°，结合∠C＝70°便可得到∠1+∠2的度数．
【解答】解：对图形进行标注．
则∠1＝∠CED+∠C，∠2＝∠CDE+∠C．
故∠1+∠2＝∠CDE+∠CED+2∠C．
而∠CDE+∠CED+∠C＝180°，∠C＝70°，
所以∠1+∠2＝180°+70°＝250°．
故选：B．
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．180°B．240°C．360°D．540°
【分析】根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．
【解答】解：如图，
由三角形外角性质可知：
∠1＝∠F+∠B，∠2＝∠A+∠E，
∴在四边形ADCG中，由四边形内角和可知：
∠D+∠C+∠2+∠1＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB＝66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【分析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求∠ABC的度数．
【解答】解：由题意可得，∠C'EB＝∠CEB＝66°，
设∠ABC＝x，则，
∵三角形的内角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，即20°+x＝180°﹣∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE＝180°﹣∠C，即；
∴，
解得：x＝69°，
故选：D．
9．如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若BC⊥EF，∠ABC＝140°，∠AFE＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．30° C．25° D．20°
【分析】延长EF交BC于点H，过点B作BT⊥BC交AF于点T，根据∠ABC＝140°可求出∠ABT＝50°，根据∠AFE＝75°可求出∠AFH＝105°，再证BT∥EF得∠ATB＝∠AFH＝105°，然后利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数．
【解答】解：延长EF交BC于点H，过点B作BT⊥BC交AF于点T，如图所示：
∵BT⊥BC
∴∠TBC＝90°，
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABT＝∠ABC﹣∠TBH＝140°﹣90°＝50°，
∵∠AFE＝75°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AFE＝180°﹣75°＝105°，
∵BC⊥EF，BT⊥BC
∴BT∥EF，
∴∠ATB＝∠AFH＝105°，
∵∠A+∠ABT+∠ATB＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABT+∠ATB）＝180°﹣（50°+105°）＝25°．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据角平分线可得，同理∠DCG＝90°，再根据四边形内角和即可得的度数．
【解答】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
，
∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，
∴，，
∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）
，
．
二．填空题
11．如图，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
12．已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 ．
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8．
故答案为：8．
13．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B＝36°，∠E＝24°，则∠BAC＝ °．
【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ECD的度数，结合角平分线的定义可求出∠ACD的度数，再利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵∠B＝36°，∠E＝24°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝36°+24°＝60°．
∵CE为∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°．
又∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣36°＝84°．
故答案为：84．
14．若一个三角形任意两个角都不相等，且其中一个内角α是另一个内角β的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角α称为该三角形的“倍角”．如果一个“倍角三角形”为直角三角形，则“倍角”的度数是 ．
【分析】两个锐角分别是α、β，且α＞β，根据题意分3种情况讨论：2α＝90°、2β＝90°、α＝2β．
【解答】解：设此三角形的两个锐角分别是α、β，且α＞β，
①2α＝90°，此时α＝β＝45°，不符合题意；
②2β＝90°，此时α＝β＝45°，不符合题意；
③α＝2β，此时α＝60°，β＝30°，符合题意；
∴“倍角”的度数是60°，
故答案为：60°．
15．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 ．
【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，
∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，
则有，
解得，
∴∠C＝70°，
故答案为70°．
三．解答题（一）
16．如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
17．已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．
【分析】由多边形的内角和定理，外角和是360°，即可计算．
【解答】解：设正多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，
∴n＝9，
∴正多边形的每个内角的度数是180°﹣360°÷9＝140°，
答：这个正多边形的边数是9，每个内角的度数是140°．
18．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADC及∠ADE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，进而根据直角三角形的锐角互余求出∠ADE即可．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝180°﹣40°﹣58°＝82°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝50°．
四．解答题（二）
19．一零件形状如图，按规定∠A应等于75°，∠B和∠C应分别是18°和22°，某质检员量得∠BDC＝114°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
【分析】延长BD与AC相交于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC即可判断．
【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点E，
∵∠1是△ABE的外角，∠A＝75°，∠B＝18°，
∴∠1＝∠B+∠A＝75°+18°＝93°，
同理，∠BDC＝∠1+∠C＝93°+22°＝115°，
∵李师傅量得∠BCD＝114°，不是115°，
∴这个零件不合格．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BC边的取值范围．
【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，
即AB﹣AC＝1①，
又AB+AC＝11②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝10，
解得AC＝5，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；
（2）∵AB＝6，AC＝5，
∴1＜BC＜11．
21．阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
五．解答题（三）
22．（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试确定∠A与∠D的数量关系．
（2）如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，试确定∠A与∠E的数量关系．
（3）如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，试确定∠A与∠F的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线性质可得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），根据三角形内角和为180°可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，即可解题；
（2）根据角平分线性质可得∠ACE＝∠ACM，∠CBE＝∠ABC，根据三角形内角和为180°可得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，即可解题；
（3）根据角平分线性质可得∠FBC＝∠PBC，∠FCB＝∠PCB，根据三角形内角和为180°可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，即可解题．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠DCB＝（180°﹣∠A），
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+∠A；
（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，
∴∠ACE＝∠ACM，∠CBE＝∠ABC，
∵∠ACM＝∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，
∴∠ABC+∠C+∠ACE+∠E＝180°，
∴∠E＝∠A；
（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
∴∠FBC＝∠PBC，∠FCB＝∠PCB，
∵∠PBC＝180°﹣∠ABC，∠PCB＝180°﹣∠ACB，
∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）
＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠F＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
23．【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是： ．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝ （用α、β表示）．
【分析】【解决问题】
（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）同理列两式相加可得结论；
（3）根据（1）和（2）可得结论；
【类比应用】
首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，
∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，
∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，
∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，
∴2∠E＝∠B+∠D，
∴
∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；
故答案为：35°；
（2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝∠D+∠B，
∴，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝40度．
故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；
（3）由（1）和（2）得：，
故答案为：；
【类比应用】
如图（5），延长BC交AD于F，
∵∠BFD＝∠B+∠BAD，
∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，
∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D），
∵∠D＝α°、∠B＝β°，
即∠E＝（β﹣α）°．
第1页 共13页2022-2023学年第一学期七年级
第11章三角形测试卷参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列三条线段的长度能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，14 D．，4，7
2．已知正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．九 B．八 C．七 D．六
3．如图，△BCE的一个外角是（ ）
A．∠A B．∠ACE C．∠AEC D．∠BCD
4．如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
5．机器人从点A0出发朝正东方向走了2m到达点A1，记为第1次行走；接着，在点A1处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达A2，记为第2次行走；再在点A2处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达点A3，记为第3次行走，…以此类推，该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为（ ）
A．20m B．16m C．12m D．10m
6．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．180°B．240°C．360°D．540°
8．如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB＝66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
9．如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若BC⊥EF，∠ABC＝140°，∠AFE＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．30° C．25° D．20°
10．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题
11．如图，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是 ．
12．已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 ．
13．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B＝36°，∠E＝24°，则∠BAC＝ °．
14．若一个三角形任意两个角都不相等，且其中一个内角α是另一个内角β的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角α称为该三角形的“倍角”．如果一个“倍角三角形”为直角三角形，则“倍角”的度数是 ．
15．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 ．
三．解答题（一）
16．如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
17．已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．
18．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADC及∠ADE的度数．
四．解答题（二）
19．一零件形状如图，按规定∠A应等于75°，∠B和∠C应分别是18°和22°，某质检员量得∠BDC＝114°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BC边的取值范围．
21．阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
五．解答题（三）
22．（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试确定∠A与∠D的数量关系．
（2）如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，试确定∠A与∠E的数量关系．
（3）如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，试确定∠A与∠F的数量关系．
23．【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是： ．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝ （用α、β表示）．
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