2.1 等式性质与不等式性质 课时1 等式性质与不等式性质(1) 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
知识要点及教学要求
1. 通过具体实例，帮助学生理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值．
2. 在梳理等式性质的基础上，引导学生通过类比的方法研究不等式的性质，并会用作差法比较两个代数式的大小．
3. 利用不等式的性质研究一类重要的不等式——基本不等式，能运用基本不等式证明某些不等式和解决简单的求最大值或最小值的问题，并能运用基本不等式解决实际应用问题．
4. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数．
5. 理解一元二次不等式的概念，利用一元二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法．
高考导向
高考对本章的考查一般有两种形式：
一是考查学生对不等式的意义和性质、不等式的证明和解不等式(组)、基本不等式的运用以及“三个二次”之间的关系等基础知识和基本方法的掌握情况；
二是与其他知识内容交汇在一起，考查学生综合运用不等式的知识和方法分析问题、解决问题的能力．其中，不等式的证明、解不等式(组)、不等式恒成立与能成立问题以及运用基本不等式求最值是考查的重点．
具体如下：
1. 在考查内容上，以考查不等式的性质、不等式(组)的求解、基本不等式的运用以及“三个二次”之间的关系为主，突出对不等式的基础知识和基本方法的考查．其中，函数、方程、不等式之间的关系是每年高考必考的内容，融函数的性质、方程的根和函数的零点、不等式(组)的求解以及不等式的性质和基本不等式的运用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质实现大小关系的比较、不等式的证明和最值与范围的求解,是考查的重点和热点.
2. 在能力要求上，注重对综合运用不等式的有关知识和方法去观察问题、分析问题、解决问题的能力的考查，往往是以导数、数列、三角函数、解析几何和实际应用的背景呈现，考查大小比较、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法的运用水平，考查理性思维的能力，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的解决其他数学问题和实际问题的试题,这类试题既有客观题也有主观题.
学法指导
1. 学习本章内容时，要在初中所学知识的基础上，类比等式的基本性质，研究不等式的基本性质．
2. 利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”的条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
3. 要从方程角度认识不等式，理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，从而会利用一元二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题．
4. 在本章的学习中，要重视数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法的运用，体会不等式的工具作用．
2.1 等式性质与不等式性质
课时1 等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标 学科核心素养
会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系，发展数学抽象及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小 借助比较两数(式)的大小，培养逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”已知这两车队的原价、车型都是一样的，那么该校老师选择哪个车队更实惠？
【活动1】 感受生活中的不等关系
【问题1】请同学们阅读以下问题，并用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系：
(1) 某条高速公路全程限速120 km/h；
(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪含量应不少于2.5%，蛋白质含量应不少于2.3%；
(3) 生产直径为100 mm的圆柱形零件，要求直径误差不超过±1 mm.
初探新知
【问题2】一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2200 km，写出不等式为__________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________.
【问题3】将不等关系表示成不等式(组)的思路是什么？
【活动2】建立模型,应用不等式表示实际问题中的不等关系
【问题4】如何比较两个数的大小关系？
【活动3】利用性质，感悟不等式
【问题5】比较两个数(式)的大小的步骤是什么？
典例精析
【例1】请用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：
(1) 某高速公路规定通过车辆的车货总宽度w(单位：m)不超过2.5 m；
(2) 某种品牌黄酒的质量检查规定：每升中总糖不超过15.0 g，酒精度不低于14.5%，氨基酸态氮不少于0.2 g，非糖固形物不少于5.0 g；
(3) 某钢铁厂把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．
思路点拨：根据题意准确运用不等号表示关键词语，再用不等式(组)表示不等关系．
【解】(1) 某高速公路规定通过车辆的车货总宽度w(单位：m)不超过2.5 m，可用不等式表示为w≤2.5.　
(2) 设每升该品牌黄酒中总糖含量为x g，酒精度为y，氨基酸态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系可用不等式组表示为 .
【解】(3) 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，则本题中的不等关系可用不等式组表示为 .
【方法规律】
用不等式(组)表示变量间的不等关系：
(1) 首先要选取变量，除常用的x，y，z，…外，还可以根据实际问题选用变量，例如时间t、距离d、体积V等．
(2) 其次应准确运用不等号表示不等关系，例如超过(>)、少于(<)、不低于(≥)、不多于(≤)等．刻画变量间的不等关系时，要准确地将自然语言转化为符号语言．
【变式训练1】100 g面食含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;100 g米饭含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司以面粉和大米为主食给学生配餐,现要求每盒快餐至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉.设每盒快餐需面食x(×100 g)、米饭y(×100 g).请用不等式组将问题中的不等关系表示出来.
【解】
将本题中的不等关系用不等式组表示出来就是
【例2】已知x<1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
思路点拨：通过研究这两个式子的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
【解】3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).因为x<1，所以x－1<0，而3x2＋1＞0，所以(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1.
【方法规律】
比较两个式子(数)的大小关系，常用作差法，一般步骤如下：
【变式训练2】
若a<0,b<0,试比较 与 的大小
【解】
因为 .由a<0,b<0,得a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p【例3】某商店出售A，B两种不同价格的商品，由于商品A提价了20%，同时商品B降价了20%，结果都以每件x元出售．如果A，B两种商品各售出一件，那么价格改变后的收入与价格改变前相比，多了还是少了？
思路点拨　设商品A提价前售价为a元/件，商品B降价前售价为b元/件，再将表达式列出即可．
【解】设商品A提价前售价为a元/件，商品B降价前售价为b元/件，则a(1＋20%)＝x，b(1－20%)＝x.价格改变后，商店出售A，B两种商品各一件的收入与价格改变前的差为2x－(a＋b)＝，所以价格改变后比价格改变前的收入少了，少x元．
【方法规律】
通过阅读理解弄清题意,再根据题意建立不等式模型,将实际问题转化为数学问题,最后利用作差法比较大小,使问题获解.
【变式训练3】甲、乙是同班同学，且住在同一小区，两人同时从小区出发去学校，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，且跑步速度大于步行速度，试判断两人谁先到学校．
【解】
设两人的步行速度与跑步速度分别为v1,v2,其中0,所以 ,故乙同学先到学校.
思路点拨　多元比较大小,首先尝试将元进行分类,再逐类比较大小,若不能明确分类,则需逐个比较.比较时要注意先易后难的原则.
（备选例题）
【解】
首先比较a,c的大小:由 ,所以c由于 而 ,所以bc>b(若比较a,b的大小,可平方再转化,也可以由 ,所以a>b)
【方法规律】
多元大小的比较问题,常常先分类,再逐类比较;处理二次根式问题常用平方、换元、有理化等方法.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 某高速公路要求行驶车辆的速度v不得超过120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于100 m．用不等式表示为
(　　)
A. v≥120 km/h且d≥100 m 　
B. v≤120 km/h或d≤100 m
C. v≤120 km/h 　
D. d≥100 m
A
2. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人350元．现工人工资预算为50 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　)
A. 8x＋7y<1 000 　 B. 8x＋7y≥1 000
C. 8x＋7y＝1 000　 　D. 8x＋7y≤1 000
D
3. (多选)下列说法中正确的是( 　　)
A. 某人月收入x(单位：元)不高于4 000元可表示为“x<4 000”
B. 小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮可表示为“x>y”
C. 某变量x至少为a可表示为“x≥a”
某变量y不超过a可表示为“y≤a”
4. 设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________.
CD
m≥n
5. 试比较a2＋b2与2a＋2b－2的大小．
【解】(a2＋b2)－(2a＋2b－2)＝(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)＝(a－1)2＋(b－1)2.因为(a－1)2≥0，(b－1)2≥0，所以(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以a2＋b2≥2a＋2b－2.当a＝b＝1时，a2＋b2＝2a＋2b－2；当a≠1或b≠1时， a2＋b2>2a＋2b－2.
同学们再见！
Goodbye Students！