人教版高中数学必修第一册第二章2.2 基本不等式 课时3 基本不等式(1)(共30张PPT)

(共30张PPT)
第二章
等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
课时3 基本不等式(1)
教学目标
1. 结合实例,从情境中抽象、归纳出算术平均数和几何平均数的概念,从特殊到一般猜想、发现基本不等式.
2. 通过对基本不等式几何意义的探究,感受数学文化之美,体会数形结合的魅力.
3. 探索基本不等式的证明过程,学会用作差法、综合法、分析法证明基本不等式.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解、掌握基本不等式的内容和结构 通过由完全平方公式到基本不等式的过程，培养逻辑推理素养
能够利用不等式的性质证明基本不等式，初步理解分析法的证明方法 借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理、数学运算素养
情境导学
在北京召开的第24届国际数学家大会的会标(如图1)，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．
　
图1　　 　　图2
如果将图中直角三角形的两条直角边的长度分别设为a，b(如图2所示)，你能发现随着直角边长a，b的变化，这个弦图的大正方形和直角三角形的面积间有怎样的不等关系吗？用代替a，代替b后，这个不等式又有什么变化？
【活动1】 认识算术平均数与几何平均数
【问题1】从情境导学中，我们了解到，在日常生活中，我们经常会碰到用和表示的量，你知道它们的名称吗？
初探新知
【问题3】什么是基本不等式 你能证明基本不等式吗
【活动3】理解基本不等式的“内涵”和“外延”，掌
握基本不等式的证明方法
【问题4】如果将基本不等式的条件：正数a，b中的“正数”去掉，基本不等式还成立吗？为什么？
【问题5】如图3，以AB为直径作半圆ADB，圆心为O.过直径AB上一点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
图3
【活动4】通过图形，理解基本不等式的几何意义
【问题6】基本不等式与不等式a2＋b2≥2ab在结构上有什么联系和区别？
【活动5】认识基本不等式和不等式a2＋b2≥2ab的关系
【问题7】基本不等式中的a，b均为正数，而a2＋b2≥2ab中的a，b有无此要求？
典例精析
思路点拨：从基本不等式成立的条件入手，对每个选项进行判断．
【例1】
D
【解】
【方法规律】
在基本不等式应用过程中要注意“一正”“二定”“三相等”．一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．
【变式训练1】(多选) [教材改编题]下列选项中能使＋≥2成立的有(　　)
A. ab>0 B. ab<0 C. a>0，b>0 　D. a<0，b<0
【解】
当 均为正数时， ，故只需a,b同号即可，所
以ACD均满足要求.故选ACD
ACD
【例2】 [2022·天津市高三三模改编题]若0思路点拨：利用基本不等式及作差法比较大小，也可运用特殊值法进行求解．
【解】因为02，a2＋b2>2ab，所以四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，因为0【方法规律】
(1) 在使用基本不等式时，要注意不等式的双向性．
① 从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤（）2
(当且仅当a＝b时取等号)；
② 从右到左：常使用a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).
(2) 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．
(3) 特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．
【变式训练2】已知a，b是不相等的正数，x＝ ，y＝ ，试比较x，y的大小．
【解】
已知a,b是不相等的正数，由 ,
又因为
【例3】已知a，b为正实数，求证：(a＋b)()≥4.
思路点拨　由a, b为正实数，可考虑运用基本不等式证明．
【解】
【方法规律】
对已知符合基本不等式条件的不等式进行证明，应首先考虑运用基本不等式直接证明．证明方法1是先展开，再运用基本不等式证明；证明方法2是直接运用基本不等式，得到两个同向正数不等式，再运用不等式的性质两边相乘得到要证的不等式。
【变式训练3】
已知ab>0,且a≠b,求证:ab+++>4.
【解】
（备选例题）
(1) 设a,b,c均为正实数,求证:a+b+c≥++;
(2) 设a,b,c为不全相等的正实数,且a+b+c=1,求证:>8.
思路点拨　(1) 由待证的不等式形式引发用基本不等求解的想法.　
(2) 由于不等式右边的常数“8”,产生直觉——对左边运用三次基本不等式进行放缩.
【证明】
a,b,c均为正实数,可得a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,三式相加可得(a+b)+(b+c)+(c+a)≥2+2+2,即a+b+c≥++.　
(2) 由a+b+c=1,可得-1==,同理可得-1=,-1=,故而=.由a,b,c均为正实数,可得b+c≥2>0,c+a≥2>0,a+b≥2>0,从而(b+c)(c+a)(a+b)≥2·2·2=8abc,当且仅当b=c且c=a且a=b,即a=b=c=时等号成立,但a,b,c不全相等,故等号不成立,因此(b+c)(c+a)(a+b)>8abc,即>8.
【方法规律】
(1) 证明不等式的方法比较灵活,常用的有:比较法、综合法和分析法等.对涉及正数的条件以及具有和、积的结构特征等的不等式证明,运用基本不等式直接证明常可取到简捷明快的效果.(2) 在证明不等式的过程中,要注意不等式的基本性质的正确应用.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
A
AD
D
4. 若a>1,则a+与3的大小关系是　　　　.
a+≥3
同学们再见！
Goodbye Students！