人教版高中数学必修第一册第二章2.2 基本不等式 课时4 基本不等式(2)(共28张PPT)

(共28张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
课时4 基本不等式(2)
教学目标
1. 掌握基本不等式及相关重要不等式,理解基本不等式成立及应用的条件.
2. 能正确地运用基本不等式求解最值问题,提高分析问题和解决问题的能力.
3. 渗透等价转化、分类讨论等数学思想,积累数学解题经验,培养理性思维的品质.
学习目标
课程目标 学科核心素养
掌握用基本不等式求代数式最值的方法，会灵活创造基本不等式成立的条件 通过创造基本不等式成立的条件，发展数学抽象素养
灵活运用基本不等式解决不等式恒成立问题 通过运用基本不等式解决不等式恒成立问题，发展数学运算、逻辑推理的素养
情境导学
甲、乙两公司每一次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．已知甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片．两次购芯片，哪家公司平均成本较低？你能解决这一问题吗？通过这一问题的解决，你能得出哪些启示？　
【活动1】 对基本不等式进行变形与引申
【问题1】由基本不等式出发，通过变形引申，你还能得出哪些重要的不等式？
初探新知
【活动2】 探究运用基本不等式求代数式最值的方法和规律
【问题2】
【问题3】
【问题4】满足什么条件的代数式能够利用基本不等式模型求最值？
【问题5】你能归纳出利用基本不等式模型求最值的基本方法吗？
【问题6】在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？
【问题7】两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
【问题8】当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，应如何处理？
你能求x+(x>0)最小值吗
【问题9】甲、乙、丙三位同学对问题“当1≤x≤12时，关于x的不等式x2＋4≥(a2＋3a)x恒成立，求实数a的取值范围．”提出了各自的解题思路甲说：“只需要利用不等式左边的最小值大于等于右边的最大值．”
乙说：“把不等式变形为左边含有变量x的函数，右边仅含所求参数a，转化为求左边函数的最值．”
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数的图象求解．”
参考上述解题思路，请你评价上述三种方法．
【问题10】　请你尝试用乙同学的方法解决上述问题．
【活动3】明确不等式恒成立问题中参数取值范围的处理策略
典例精析
【例1】
思路点拨：
由x>2知x-2>0,可通过配凑积为常数,运用基本不等式求最小值.
(2) 由0【解】
【方法规律】
利用基本不等式求最值：(1) 前提是“一正”“二定”“三相等”，三者缺一不可；(2) 要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解.
【变式训练1】
[教材改编题](1) 已知0(2) 已知代数式x+(x<-2),求此代数式的最值.
【解】
(1) 因为x(4-3x)=·(3x)(4-3x)≤·=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.所以x(4-3x)的最大值为,当x(4-3x)取最大值时,x的值为.
(2) 由x<-2可得-(x+2)>0,所以-(x+2)+≥2=8,当且仅当-(x+2)=-,即x=-6时,等号成立,因此(x+2)+≤-8,即x+≤-10,当且仅当x=-6时,等号成立,故所求代数式的最大值为-10,无最小值.
【例2】若正数x，y满足xy＋2x＋y＝8.
(1) 求xy的最大值；
(2) 求x＋y的最小值．
思路点拨：这是一个二元变量的条件最值问题，可以运用条件消去其中的一元，转化为一元变量的函数，再运用基本不等式求出其最值，也可以运用基本不等式进行整体处理．
【解】
正数x,y满足xy+2x+y=8,所以y=.由可得0方法1:xy=x==-,其中0xy=-=-2+12.因为t+≥2=2,当且仅当t=,即x=-1时,等号成立.所以xy≤12-4,即xy的最大值为12-4.方法2:由x>0,y>0,8=xy+2x+y≥xy+2,令=t>0,则t2+2t-8≤0,由此可得t≤-,即≤-,当且仅当即时,等号成立,从而xy≤12-4,即xy的最大值为12-4.　(2) x+y=x+=x+1+-1=x+1+-3≥2-3=2-3,当且仅当x+1=,即x=-1时取等号,所以x+y的最小值为2-3.
【方法规律】
求解二元变量的最值，基本不等式是一个有力的工具，其基本思路有二：
一是根据题目中表达式的特征，发现“正数”“定和”或“定值”，进行整体处理，直接运用基本不等式求解；
二是“消元”，将其转化为一元变量的函数，再运用基本不等式求出其最值．解题时要根据问题的条件灵活地加以选择．
【变式训练2】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
【解】
6
方法1(整体凑配法):由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,所以3xy≤,又xy=9-(x+3y),所以3xy=27-3(x+3y),
即27-3(x+3y)≤,(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,得t≥6,当且仅当即x=3,y=1时取等号,所以x+3y的最小值为6.
【解】
思路点拨　将不等式恒成立转化为左边代数式的最小值大于等于9恒成立求解．将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于9，解不等式求出a的范围，进而求出a的最小值.
【例3】
[2021·江苏省盐城中学高一期中改编题]已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 (　　)
A. 2　 B. 4 C. 6　 D. 8
B
【解】
【方法规律】
不等式恒成立问题常转化为最值问题.若f(x)存在最值,则f(x)≥0恒成立 f(x)min≥0,f(x)≤0恒成立 f(x)max≤0;有时候运用参变分离法可简化求解过程,如λ≥f(x)恒成立 λ≥f(x)max,λ≤f(x)恒成立 λ≤f(x)min.
【变式训练3】
【解】
（备选例题）(1) 设a>b>c,且+≥恒成立,则k的取值范围为　　　　.
(2) 已知a,b∈R,a2+b2-ab=2,① 求a+b的最值;② 求ab的最值.
【解】
(1) 记x=a-b,y=b-c,则a-c=x+y,因为a>b>c,所以x>0,y>0,+≥恒成立,即等价于k≤(x+y),由(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即y=2x时等号成立,所以k≤9,即k的取值范围是k≤9.　(2) ① 由a2+b2-ab=2可得(a+b)2=2+3ab,所以ab=[(a+b)2-2],由ab≤可得[(a+b)2-2]≤,所以-2≤a+b≤2,当且仅当a=b=时,取得最大值2,当且仅当a=b=-时,取得最小值-2.② 由a2+b2-ab=2可得a2+b2=2+ab,由a2+b2≥2|ab|可得2+ab≥2|ab|,所以-≤ab≤2,当且仅当a=b=时,取得最大值2,当且仅当a=-b=或a=-b=-时,取得最小值-.
【方法规律】
不等式恒成立问题常转化为最值问题研究.
(2) 求最值问题,可运用基本不等式,或直接构造不等关系求解.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
AC
C
1. 已知x>0,y>0,若x+y=4,则xy的最大值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
2. [2021·重庆市高一期末改编题]若x,y是正数,且+=1,则xy有 (　　)
A. 最大值36 B. 最小值　
C. 最小值36 D. 最大值
4. 若x<1,则代数式x+的最大值为　　　　,此时x=　　　　.
-3
-1
5. 已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为　　　　.
2
同学们再见！
Goodbye Students！