垂径定理1[上学期]
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课件24张PPT。垂直于弦的直径(一)ABCDO圆既是中心对称图形，又是轴对称图形提问：圆是什么对称图形？圆是特殊的中心对称图形，绕对称中心旋转任意角度都与原来重合。旋转不变性BAA/OB/OACBNMD圆的轴对称形， 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。或：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 任意一条直径都是圆的对称轴（ ）如图：
直径AB垂直于直径CD，则这是图形是轴对称图形吗?若把AB向下平移，即直径CD垂直于弦AB与M，则这是图形是轴对称图形吗？怎样证明？ 图中有哪些相等的线段和相等的弧呢?如图理由是:连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OM⊥ＡＢ，∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AＤ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：直径CD⊥弦AB与M，
则AM=BM，
＝
＝⌒ＢＣ⌒ＢＤ⌒①直线CD过圆心O ② CD⊥AB③AM=BM
④弧AC=弧BC
⑤弧AD=弧BD垂径定理： 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O ② CD⊥AB③AM=BM
④弧AC=弧BC
⑤弧AD=弧BD垂径定理：①直线CD过圆心③ AM=BM
②CD⊥AB
④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD探索一：结论：推论1.(1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧。OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。
推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CD辩一辩直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.例1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的距离为 3 cm,求⊙O的半径.O ABE变式1.在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB的长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.变式2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满足关系式
＿＿＿＿＿＿＿＿＿（? a）2+d2=R2应用1:垂径定理有关的计算题.练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________. 35 例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦AB=４０ cm ，CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。 CD20152525247CDFFAB、ＣＤ在点O两侧ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２AB、ＣＤ在点O同侧ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。例３. 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。E.ACDBO证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ∵ＯＥ⊥ＡＢ∴ＡＥ＝ＥＢ∵ＯＥ⊥ＣＤ∴ＣＥ＝ＥＤ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ即ＡＣ＝ＢＤ应用2:垂径定理有关的证明题.小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。练习： 在⊙Ｏ中，ＡＢ．ＣＤ为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．ＡＢＣＯＤＥ已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF课堂小结请同学们谈谈你的收获-------再见
直径AB垂直于直径CD，则这是图形是轴对称图形吗?若把AB向下平移，即直径CD垂直于弦AB与M，则这是图形是轴对称图形吗？怎样证明？ 图中有哪些相等的线段和相等的弧呢?如图理由是:连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OM⊥ＡＢ，∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AＤ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：直径CD⊥弦AB与M，
则AM=BM，
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＝⌒ＢＣ⌒ＢＤ⌒①直线CD过圆心O ② CD⊥AB③AM=BM
④弧AC=弧BC
⑤弧AD=弧BD垂径定理： 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O ② CD⊥AB③AM=BM
④弧AC=弧BC
⑤弧AD=弧BD垂径定理：①直线CD过圆心③ AM=BM
②CD⊥AB
④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD探索一：结论：推论1.(1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧。OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。
推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CD辩一辩直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.例1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的距离为 3 cm,求⊙O的半径.O ABE变式1.在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB的长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.变式2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满足关系式
＿＿＿＿＿＿＿＿＿（? a）2+d2=R2应用1:垂径定理有关的计算题.练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________. 35 例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦AB=４０ cm ，CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。 CD20152525247CDFFAB、ＣＤ在点O两侧ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２AB、ＣＤ在点O同侧ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。例３. 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。E.ACDBO证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ∵ＯＥ⊥ＡＢ∴ＡＥ＝ＥＢ∵ＯＥ⊥ＣＤ∴ＣＥ＝ＥＤ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ即ＡＣ＝ＢＤ应用2:垂径定理有关的证明题.小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。练习： 在⊙Ｏ中，ＡＢ．ＣＤ为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．ＡＢＣＯＤＥ已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF课堂小结请同学们谈谈你的收获-------再见
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