湘教版数学九年级上册 3.6 位似 练习（含答案）

3.6　位　似
一、选择题
1.【2021·长春双阳区期末】如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
2.下列关于位似图形的说法:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列语句正确的是(　　)
A．相似图形都是位似图形，位似图形都是相似图形
B．位似图形都是相似图形，且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
4.如图所示的图形中是位似图形的有(　　)
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
5.【2020·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B. C. D．(－2，－1)
6.【中考·毕节】在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为(　　)
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4)
7.【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且位似比为2:1，则线段DF的长度为(　　)
A. B．2 C．4 D．2
8.如图，下列位似图形中，面积比是1∶9的是 (　　)
OA＝OA′ OA＝AA′ OA＝2AA′ OA＝AA′
A B C D
9.【中考·潍坊】在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(　　)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C.
D.或
10.如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是(　　)
A．位似中心是点B，相似比是2∶1
B．位似中心是点D，相似比是2∶1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2∶1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1∶2
11.在平面直角坐标系中,已知两点A(7,5),B(4,3),先将线段AB向右平移1个单位,再向上平移1个单位,然后以原点O为位似中心,将其缩小为原来的,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(　　)
A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(-4,-3) D.(3,2)或(-3,-2)
二、填空题
12.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小得到△A'B'C'.若AA'=2OA',则△ABC与△A'B'C'的周长比为　 　.
13.【中考·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝________.
14.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
15.【2019·滨州】在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是__________________．
三、解答题
16.【2020·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为2的△A2B2C2.
17.如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对三角形是位似图形？
(2)选择其中一对加以证明．
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B'(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A,则点A'的坐标为　 　;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 　.
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.
20.正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C1，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标；
(2)求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
参考答案
一、选择题
1.【2021·长春双阳区期末】如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　A　)
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
2.下列关于位似图形的说法:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的个数是(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列语句正确的是(　B　)
A．相似图形都是位似图形，位似图形都是相似图形
B．位似图形都是相似图形，且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
4.如图所示的图形中是位似图形的有(　C　)
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
5.【2020·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为(　A　)
A．(－1，－1) B. C. D．(－2，－1)
6.【中考·毕节】在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为(　　)
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4)
【点拨】∵△OA′B′与△OAB是以O(0，0)为位似中心的位似图形，且B(0，3)的对应点B′的坐标为(0，－6)，
∴OB∶OB′＝1∶2＝OA∶OA′.
∵A(1，2)，∴A′(－2，－4)．
【答案】A
7.【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且位似比为2:1，则线段DF的长度为(　D　)
A. B．2 C．4 D．2
8.如图，下列位似图形中，面积比是1∶9的是 (　D　)
OA＝OA′ OA＝AA′ OA＝2AA′ OA＝AA′
A B C D
9.【中考·潍坊】在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(　B　)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C.
D.或
【点拨】点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(m×2，n×2)或(m×(－2)，n×(－2))，即(2m，2n)或(－2m，－2n)．故选B.
10.如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是(　C　)
A．位似中心是点B，相似比是2∶1
B．位似中心是点D，相似比是2∶1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2∶1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1∶2
11.在平面直角坐标系中,已知两点A(7,5),B(4,3),先将线段AB向右平移1个单位,再向上平移1个单位,然后以原点O为位似中心,将其缩小为原来的,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(　B　)
A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(-4,-3) D.(3,2)或(-3,-2)
【提示】易得点A,B平移后的对应点的坐标为A'(8,6),B'(5,4),则点A'的对应点C的坐标为(4,3)或(-4,-3).
二、填空题
12.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小得到△A'B'C'.若AA'=2OA',则△ABC与△A'B'C'的周长比为　 　.
【答案】3∶1
13.【中考·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝________.
【点拨】以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
OA＝2，AC＝3，∴＝＝＝.
【答案】
14.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
【答案】5
15.【2019·滨州】在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是__________________．
【点拨】以原点O为位似中心，考虑位似图形是在原点的同侧和异侧两种情况，本题易丢掉其中一种情况而致错．
【答案】(－1，2)或(1，－2)
三、解答题
16.【2020·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为2的△A2B2C2.
解：如图所示，△A2B2C2即为所求．
17.如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对三角形是位似图形？
解：△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，一共有3对．
(2)选择其中一对加以证明．
【点拨】(2)题答案不唯一．
解：△DFE与△DBA是位似图形．
证明：∵AB∥EF，∴△DFE∽△DBA.
又∵这两个三角形的对应点的连线交于一点D，
∴△DFE与△DBA是位似图形．
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B'(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A,则点A'的坐标为　 　;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 　.
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
(1)①　(5,6)　
②　1∶2　
解:(2)△A'B'C'的面积=4m.
19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,点C1的坐标为(3,2).
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,点C2的坐标为(-6,4).
(3)点D2的坐标为(2a,2b).
20.正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C1，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标；
解：如图所示，正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标为(0，0)．
(2)求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
解：∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，
点A1的坐标为(1，0)，
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，
则OA3＝A3C3＝4，
∴可得OA4＝A4C4＝8，OA5＝16，
故A4 (8，0)，A5(16，0)，B4 (16，8)，C4(8，8)．