3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 同步练习（含答案）

第三章 3.2.1 函数的单调性与最大（小）值
一、单选题
1．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的最大值、最小值分别是（　　）
A．， B．，1 C．， D．1，
4．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知小于2的正数x，y满足关系式，则+的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
二、多选题
9． 下列函数是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（　　）
A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1
C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－
11．已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（　　）
A．为增函数 B．为增函数
C．的解集为 D．的解集为
12．已知函数，若，且，设，则（　　）
A．t没有最小值 B．t的最小值为
C．t的最小值为 D．t的最大值为
三、填空题
13．函数的单调增区间是　 　.
14．对任意的，不等式恒成立，求正实数t的取值范围是　 　.（其中是自然对数的底数）
15．已知在上恒成立，则实数的最大值为　 　．
16．函数的最大值为　 　．
四、解答题
17．已知函数的最大值是.
（1）求的值；
（2）若（，），求的最小值．
18．已知，函数.
（1）若，求；
（2）若，当时，求的最小值.
19．设函数．
（1）证明：函数在上单调递减；
（2）求函数的值域．
20． 已知函数.
（1）直接写出的解集；
（2）若，其中，求的取值范围；
（3）已知为正整数，求的最小值（用表示）.
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．A
5．B
6．B
7．D
8．A
9．A,C
10．A,C,D
11．A,B,D
12．B,D
13．和
14．
15．
16．
17．（1）解：
则在上单调递增，在上单调递减．
故，即．
（2）解：由（1）可知，
则．
因为，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故，即的最小值是8．
18．（1）解：由题意知，，解得，
.
（2）解：，，
设，因为，则，令，，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
当时在上单调递增，所以，
当时在上单调递减，在上单调递增，所以，
当时在上单调递减，所以，
.
19．（1）证明：对任意的，，且，
，
，
∵，
∴，
∴，
即：
∴函数在上单调递减．
（2）解：
∴的定义域为，
令，则，
①当时，在单调递减，又∵，
所以的值域为；
②当时，，所以在单调递减，又∵，
所以的值域为；
③当时，，所以在单调递减，在单调递增，
，
所以的值域为．
所以，综上可得：
当时，的值域为；
当时，的值域为．
20．（1）解：∵，
∴即为，
当时，，故，显然不成立；
当时，，故，即，解得.综上所述，的解集为.
（2）解：设，则，
令，整理得：，
故，且，得.
∴在 上单调递增，
所以，
即.
（3）解：
①时，；
②时，；
③时，；
④时，，
∴.