1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
1.3.2空间向量运算
的坐标表示
复习导入
空间直角坐标系
空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
空间向量基本定理
不共面，则对，唯一有序实数组，使得
点的坐标
向量的坐标
复习导入
名 称 坐 标 表 示
加法
减法
数乘
数量积
模长
夹角
平行
垂直
平面向量运算的坐标表示
设，
类比平面向量坐标运算，你能得出空间向量坐标运算并给出证明吗？
新知探究
设
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
空间向量运算的坐标表示
如何证明？
新知探究
空间向量运算的坐标表示
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设则
所以
利用向量数量积的分配律以及
得，
其他运算类似可证，请同学们自主完成。
新知探讨
名 称 坐 标 表 示
加法
减法
数乘
数量积
模长
夹角
平行 当时
垂直
空间向量运算的坐标表示
设
新知探讨
思考：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
O
如图建立空间直角坐标系，
设，是空间中任意两点，
则.
于是.
空间两点间的距离公式
例题讲解
练习1.已知，求：
(1) ＋，－，·，
(2)(2)·(－)，(＋)·(－)．
解(1):
;
;
.
(2): (2)(－) ；
(＋)(－).
例题讲解
例2.如图，在正方体中，分别是，的中点.
求证.
证明:不妨设正方体的棱长为1，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则所以.
又，，所以.
所以.
所以，即.
例题讲解
例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，.
(1)求的长.(2)求与所成角的余弦值.
解(1):建立如图所示的空间直角坐标系，
则点的坐标为点的坐标为.
于是.
例题讲解
例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，.
(1)求的长.(2)求与所成角的余弦值.
解(2):由已知，得，
，，
所以，
所以
所以
所以，与所成角的余弦值是.
例题讲解
练习2.已知空间三点，，，设＝，
＝，若向量＋与－2互相垂直，求的值．
解:，
，
∴＋，
．
∵ ＋与互相垂直，
∴，即，
.
例题讲解
练习3.已知空间三点.设，.若与互相平行，求.
解:∵，
，
∴
∵与平行，所以，
即，所以
则或.
例题讲解
练习4.已知,分别在以下情形下求实数的值.
(1)； (2).
解: (1)，
，所以，解得
(2)
，
即，解得
例题讲解
练习5.已知空间三点.
求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)∵
∴
(2) ∵
∴.
例题讲解
练习6.如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且, ,求
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)过作于，则,
,
所以点坐标为,
又因为 ，
所以.
例题讲解
练习6.如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且, ,求
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (2)因为， ，
, ，
所以， ，
则， ，
所以
小结
名 称 坐 标 表 示
加法
减法
数乘
数量积
模长
夹角
平行 当时
垂直