2.1 认识一元二次方程 同步课件(共23张PPT) 2023-2024学年九年级数学上册（北师大版）

(共23张PPT)
2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
学习目标
1.通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念；
2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项.
3.会求一元二次方程的近似解.
重点
理解一元二次方程的概念.
难点
会求一元二次方程的近似解.
一元一次方程的概念：只含有_______未知数（元），未知数最高次数是_____，等号两边都是________，这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般形式：___________________________________。
一个
1
整式
幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
5
8
18
x
8-2x
5-2x
x
解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为
m,宽为 m,
根据题意,可得方程：
(8 - 2x)
(5 - 2x)
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ①
观察下面等式：
102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　
根据题意，可得方程：　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1
x+2
x+3
x+4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
8m
6m
10m
1m
7m
x
由勾股定理得，滑动前梯底端距墙　　　　m
设如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　　　m
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
6
x＋6
化简，得
x2＋12x-15＝0
观察下列各方程有什么共同点？
②只有一个未知数
③未知数最高次数是2
①等号两边都是整式
共同点：
【提问】结合一元一次方程的概念，你发现了什么？
2x2 - 13x + 11 = 0
x2 - 8x - 20＝0
x2＋12x-15＝0
一元二次方程组概念：只含有_______未知数（元），
并且未知数最高次数是_____，
等号两边都是________，
这样的方程叫一元二次方程。
一个
2
整式
ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
一元二次方程的一般形式为___________________________________。
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
为什么a≠0
例1：判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因
(1)x2 + -7=0
(2)x3-2x+8=0
(3)x2 -3y+4=0
(4)ax2+bx+c=0
(5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
分母中有未知数
最高项次数为3
有两个未知数
a可能为0
化简之后是一元一次方程
1．下列方程中，一元二次方程有（　　）
①x2+x＝10；②2x2﹣5xy+4＝0；③；④x2＝4；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:
(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x;
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x;
(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
x2-3x-75=0
x2-2x-168=0
x2-20x+50=0
例2：将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2=6x-1
(x+2)(x -1)=6
2y-3y2=0
4x2-5=x
3x(x-3)=5(x+2)
3x2-6x+1=0
x2 + x- 8＝0
-3y2+2y=0
4x2-x-5=0
3x2-14x-10=0
3
-6
1
1
1
-8
3
-14
-10
-3
2
0
4
-1
-5
1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为 (　 　)
A．x2＋ x＋ ＝0 B．x2－6x－3＝0
C．x2－ x－ ＝0 D．x2－ x＋ ＝0
2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________
2x2－x－7＝0
C
例3：关于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0,
1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
a≠2
a= 2
例4：a为何值时，方程为一元二次方程？
解：∵方程为一元二次方程
∴ ，解得
∴
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，
即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
5
8
18
x
8-2x
5-2x
x
解：如果设所求的宽为 x m ,
根据题意,可得方程：
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ①
[问题一] x有可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.
x不可能小于0，因为宽度不能为负.
x不可能大于4，因为(8-2x)表示地毯的长，所以有8-2x>0.
x不可能大于2.5，因为(5-2x) 表示地毯的宽，所以有5-2x>0.
幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
5
8
18
x
8-2x
5-2x
x
解：如果设所求的宽为 x m ,
根据题意,可得方程：
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ①
[问题二]你能确定 x 的大致范围吗？
0 < x < 2.5
幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
5
8
18
x
8-2x
5-2x
x
解：如果设所求的宽为 x m ,
根据题意,可得方程：
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ①
[问题三]填写下表：
[问题四]你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
所求宽度为 x = 1 m.
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
8m
6m
10m
1m
7m
x
设如果设梯子底端滑动x m，
[问题一]小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？
[问题二]底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
不正确，因为x=1时，方程左边不等于0
不可能，因为x=2时，方程左边不等于0
不可能，因为x=3时，方程左边不等于0
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
8m
6m
10m
1m
7m
x
设如果设梯子底端滑动x m，
[问题三]填写下表
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
通过观察发现，若想使代数式的值为 0，那么 x 的取值应在 1 和 1.5 之间。
所以 1 < x < 1.5
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
8m
6m
10m
1m
7m
x
设如果设梯子底端滑动x m，
[问题三]进一步计算
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1＜x＜1.2，因此x的整数部分是1，十分位是1.
五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？
解: 设第一个整数为 x．
x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2 ＝ (x＋3)2＋(x＋4)2．
3x2＋6x＋5 ＝ 2x2＋14x＋25．
x2－8x－20＝0．
根据列表求值估算，解得 x1＝10，x2＝－2．
所以，这五个整数分别是10,11,12,13,14 或 -2,-1,0,1,2.
一个面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m. 苗固的长和宽各是多少？
解: 设苗圃宽为 x m．
x(x＋2) ＝ 120．
解的x1＝ 10，x2= -12 (舍去)．
所以，苗圃的宽为 10 m，长为 12 m．