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专题21.2.4 一元二次方程根与系数关系（重难点）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1 x2的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方程化为4x2﹣5x+1＝0，
根据题意得x1 x2．
故选B．
2．若关于x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，则另一个根是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣7
【答案】B
【解析】∵设方程x2﹣5x+a＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝5，
∵x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，
∴2+x2＝5，
解得：x2＝3．
故选B．
3．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020
【答案】A
【解析】∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴＝1－（﹣2021）＝2022．
故选A．
4．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【答案】A
【解析】∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选A．
5．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．1 B． C．2023 D．
【答案】B
【解析】∵方程的两根分别为、，
∴，，，
∴
∴
．
故选B．
6．如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，
解得m1＝m2＝1．
故选B．
7．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵x2+x+n=mx，
∴x2+（1-m）x+n=0，
∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，
∵，
∴x1+x2<0，x1x2>0，
∴m-1<0，n>0，
∴m<1，n>0，
故选C．
8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【答案】A
【解析】∵，，
∴，可以看作一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴
，
故选A．
9．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．当k时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k
D．若方程有实数根，则k
【答案】D
【解析】若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k且k≠0；
综上所述k的取值范围是k．
故A错误，C错误，D正确．
故选D．
10．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，
∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．
∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，
∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，
∵有两个相等的实数根，
∴x1+x1＝﹣，
整理得：d＝a（x2﹣x1）．
故选B．
11．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，是一元二次方程的两根，
∴
∴，
∴
∴，
故选B．
12．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为( )
A．11 B． C．11或 D．11或或1
【答案】C
【解析】∵关于的方程的两个实数根
∴，
∵
∴
∴，整理得：，解得，
当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；
当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；
∴k的值为11或．
故选C．
二、填空题
13．设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为 ．
【答案】﹣2
【解析】∵m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．关于x的方程x2+bx 2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．
【答案】-2
【解析】设方程的另一个根为t，
根据题意得1×t=-2，解得t=-2．
故答案为：-2．
15．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
【答案】1000
【解析】∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
16．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．
【答案】5
【解析】∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，即：，
∴，
故答案为：5．
17．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么 ．
【答案】
【解析】设王同学将a看成a′，得到方程a′x2+bx+c＝0有两根为2和4，
根据根与系数的关系得6，8，
则．
故答案为：．
18．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2： ．
【答案】x2﹣4x+2＝0
【解析】设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵它的两根之和是4，两根之积是2，
∴﹣p＝4，q＝2，
∴p＝﹣4，
∴这个方程为：x2﹣4x+2＝0．
故答案为：x2﹣4x+2＝0．
19．（2023·湖南永州·校考三模）已知，分别为一元二次方程的两个实数解，则的值为______．
【答案】
【解析】∵，分别为一元二次方程的两个实数解，
∴
∴
故答案为：．
20．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
21．已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．
【解析】（1）证明：方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4＞0，
则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m﹣2+2m﹣1＝0，
解得：m＝2，
设另一根为a，则有﹣1+a＝﹣m﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣3，即方程的另一根为x＝﹣3．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
即m＞﹣1；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝2，x1 x2＝﹣m，
∵，
∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，
∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
而m＞﹣1，
∴m的值为1．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明：对于任意实数，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围．
【解析】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴对于任意实数，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为，
∴，，
∵这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围．
24．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．
【解析】（1）由题意得：Δ＝（2m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣，
即m的取值范围为m≥﹣；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝13，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝13，
∴（2m+1）2﹣4m2+m2＝13，
整理得m2+4m﹣12＝0，
解得m1＝﹣6，m2＝2，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
25．阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．
根据p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则p1，即1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）．
【解析】∵2＝0，
∴2n2﹣5n﹣1＝0，
根据2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，
∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n，mn，
（1）mn；
（2）原式29．
26．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
【解析】 (1)解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
∴m≤．
(2)当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵方程的根为x1，x2，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（x2+1）
＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
＝﹣x2﹣x1﹣2
＝3﹣2
＝1
27．【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即．比较两边系数可得：______，______．
任务：
(1)填空：______，______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根______，______．
……
(3)已知关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出的值．
【解析】（1）解：由可得：
，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（3）解：，
，
，
关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，
，
解得：或
的值为：－1或4．
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专题21.2.4 一元二次方程根与系数关系（重难点）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1 x2的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．若关于x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，则另一个根是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣7
3．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020
4．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
5．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．1 B． C．2023 D．
6．如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
9．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．当k时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k
D．若方程有实数根，则k
10．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d
11．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为( )
A．11 B． C．11或 D．11或或1
二、填空题
13．设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为 ．
14．关于x的方程x2+bx 2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．
15．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
16．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．
17．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么 ．
18．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2： ．
19．（2023·湖南永州·校考三模）已知，分别为一元二次方程的两个实数解，则的值为______．
20．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．
三、解答题
21．已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明：对于任意实数，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围．
24．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．
25．阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．
根据p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则p1，即1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）．
26．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
27．【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即．比较两边系数可得：______，______．
任务：
(1)填空：______，______．
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根______，______．
……
(3)已知关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出的值．
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