2023-2024学年初中数学七年级上册9.8 幂的乘方 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·槐荫期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法即可求解。
2．（2023七下·宿州月考）若，则等于（ ）
A．7 B．4 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法计算方法可得，再求出n的值即可。
3．（2023·安徽模拟）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：A．
【分析】利用同底数的乘法计算方法求解即可。
4．（2023七上·渠县期末）若n为正整数，则计算的结果是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得原式=-22n+1+22n+1，然后合并同类项即可.
5．（2023八上·吴忠期末）下列算式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵与不是同类项，不能合并，
∴，故答案为：A的结果不等于；
∵，
∴选项B的结果不等于；
∵，
∴选项C的结果不等于；
∵，
∴选项D的结果等于.
故答案为：D.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C、D.
6．（2022七上·滨城期中）与算式的运算结果相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法公式求解即可。
7．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
8．若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】由 相乘得：y= ，代入其中一式得x=4，故 =
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查了同底数幂的乘法.观察题目先求出y的值是关键.
二、填空题
9．（2023七下·寿阳期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接根据同底数幂的乘法即可求解。
10．（2023七下·瓯海月考）已知，则的值为 ．
【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：16.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
11．（2023七下·深圳期中）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：21.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。
12．（2023七下·深圳期中）已知，则的值为
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由得，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法可得，再将代入计算即可。
三、计算题
13．计算。
（1）32×（-3）3×3；
（2）（-y）2·（-y3）
（3）4×27×8
（4）（x-y）3（x-y）（y-x）2
【答案】（1）解：32×（-3）3×3=-32×33×3=-32+3+1=-36
（2）解：（-y）2·（-y3）=-y2·y3=-y5.
（3）解：4×27×8=22×27×23=212.
（4）解：（x-y）3（x-y）（y-x）2=（x-y）3（x-y）（x-y）2=（x-y）6.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）先根据负数的奇数次幂还是负数将 32×（-3）3×3 转化为同底数幂的乘法，再由底数不变指数相加即可得出答案；
（2）直接根据同底数幂的乘法运算法则，底数不变指数相加即可得出答案；
（3）先将 4×27×8 转化为以2为底数的同底数幂相乘，即 22×27×23 ，再由底数不变指数相加即可得出答案；
（4）先将 （y-x)2 等于（x-y）2，根据同底数幂的乘法运算法则，底数不变指数相加即可得出答案.
四、解答题
14．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
15．先阅读下列材料，再解答后面的问题．
材料：一般地，n个相同因数相乘， 记为an，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log（即=3）
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．
问题：
（1）计算以下各对数的值：= ；= ；= ．
（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
+= （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则am an=am+n以及对数的含义证明上述结论．
【答案】（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，+= ；
（3）logaMN
（4）证明：设logaM=m，logaN=n，
则M=am，N=an，
∴MN=am an=am+n，
∴logaMN=logaam+n=m+n，
故logaN+logaM=logaMN．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】解：（1）∵4=22，16=24，64=26，
∴=2；
=4；
=6．
（2）4×16=64，
+
=
；
（3）logaN+logaM=logaMN．
(4)证明：logaM=m，logaN=n，
则M=am，N=an，
∴MN=am an=am+n，
∴logaMN=logaam+n=m+n，
故logaN+logaM=logaMN．
【分析】（1）根据对数的定义，把求对数写成底数的幂即可求解；
（2）根据（1）的计算结果即可写出结论；
（3）利用对数的定义以及幂的运算法则am an=am+n即可证明．
五、综合题
16．（2019八上·合肥月考）基本事实：若 （a>0，且a≠1，m，n都是正整数），则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题：
（1）如果 ，求x的值．
（2）如果 ，求x的值．
【答案】（1）解： ，
，
2＋7x=22 ，
x=3
（2）解： ，
，
，
x=2 .
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x=222，得出1+7x=22，求解即可；②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x=4，求解即可．
17．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．
（1）试求12*3和2*5的值；
（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．
【答案】（1）解：12*3=1012×103=1015，2*5=102×105=107
（2）解：不相等．
∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= ×10c= ，
a*（b*c）=a*（10b×10c）=a*10b+c=10a× = ，
∴（a*b）*c≠a*（b*c）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）依据定义列出算式，然后再依据同底数幂的乘法法则进行计算即可，最后，再进行比较即可；（2）首先依据定义进行进行计算，然后，依据计算结果进行判断即可.
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一、选择题
1．（2023七下·槐荫期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·宿州月考）若，则等于（ ）
A．7 B．4 C．2 D．6
3．（2023·安徽模拟）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七上·渠县期末）若n为正整数，则计算的结果是（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．（2023八上·吴忠期末）下列算式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七上·滨城期中）与算式的运算结果相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
9．（2023七下·寿阳期中）计算： ．
10．（2023七下·瓯海月考）已知，则的值为 ．
11．（2023七下·深圳期中）已知，，则 ．
12．（2023七下·深圳期中）已知，则的值为
三、计算题
13．计算。
（1）32×（-3）3×3；
（2）（-y）2·（-y3）
（3）4×27×8
（4）（x-y）3（x-y）（y-x）2
四、解答题
14．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
15．先阅读下列材料，再解答后面的问题．
材料：一般地，n个相同因数相乘， 记为an，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log（即=3）
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．
问题：
（1）计算以下各对数的值：= ；= ；= ．
（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
+= （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则am an=am+n以及对数的含义证明上述结论．
五、综合题
16．（2019八上·合肥月考）基本事实：若 （a>0，且a≠1，m，n都是正整数），则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题：
（1）如果 ，求x的值．
（2）如果 ，求x的值．
17．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．
（1）试求12*3和2*5的值；
（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法即可求解。
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法计算方法可得，再求出n的值即可。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：A．
【分析】利用同底数的乘法计算方法求解即可。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得原式=-22n+1+22n+1，然后合并同类项即可.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵与不是同类项，不能合并，
∴，故答案为：A的结果不等于；
∵，
∴选项B的结果不等于；
∵，
∴选项C的结果不等于；
∵，
∴选项D的结果等于.
故答案为：D.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C、D.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法公式求解即可。
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】由 相乘得：y= ，代入其中一式得x=4，故 =
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查了同底数幂的乘法.观察题目先求出y的值是关键.
9．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接根据同底数幂的乘法即可求解。
10．【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：16.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：21.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。
12．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由得，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法可得，再将代入计算即可。
13．【答案】（1）解：32×（-3）3×3=-32×33×3=-32+3+1=-36
（2）解：（-y）2·（-y3）=-y2·y3=-y5.
（3）解：4×27×8=22×27×23=212.
（4）解：（x-y）3（x-y）（y-x）2=（x-y）3（x-y）（x-y）2=（x-y）6.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）先根据负数的奇数次幂还是负数将 32×（-3）3×3 转化为同底数幂的乘法，再由底数不变指数相加即可得出答案；
（2）直接根据同底数幂的乘法运算法则，底数不变指数相加即可得出答案；
（3）先将 4×27×8 转化为以2为底数的同底数幂相乘，即 22×27×23 ，再由底数不变指数相加即可得出答案；
（4）先将 （y-x)2 等于（x-y）2，根据同底数幂的乘法运算法则，底数不变指数相加即可得出答案.
14．【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
15．【答案】（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，+= ；
（3）logaMN
（4）证明：设logaM=m，logaN=n，
则M=am，N=an，
∴MN=am an=am+n，
∴logaMN=logaam+n=m+n，
故logaN+logaM=logaMN．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】解：（1）∵4=22，16=24，64=26，
∴=2；
=4；
=6．
（2）4×16=64，
+
=
；
（3）logaN+logaM=logaMN．
(4)证明：logaM=m，logaN=n，
则M=am，N=an，
∴MN=am an=am+n，
∴logaMN=logaam+n=m+n，
故logaN+logaM=logaMN．
【分析】（1）根据对数的定义，把求对数写成底数的幂即可求解；
（2）根据（1）的计算结果即可写出结论；
（3）利用对数的定义以及幂的运算法则am an=am+n即可证明．
16．【答案】（1）解： ，
，
2＋7x=22 ，
x=3
（2）解： ，
，
，
x=2 .
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x=222，得出1+7x=22，求解即可；②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x=4，求解即可．
17．【答案】（1）解：12*3=1012×103=1015，2*5=102×105=107
（2）解：不相等．
∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= ×10c= ，
a*（b*c）=a*（10b×10c）=a*10b+c=10a× = ，
∴（a*b）*c≠a*（b*c）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）依据定义列出算式，然后再依据同底数幂的乘法法则进行计算即可，最后，再进行比较即可；（2）首先依据定义进行进行计算，然后，依据计算结果进行判断即可.
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