2023-2024学年初中数学七年级上册9.11 平方差公式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·江州期末）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝15，那么a＋b的值为（ ）.
A．±8 B．-4 C．2 D．±2
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15，
∴(2a+2b)2-1=15，
∴(2a+2b)2=16，
∴2a+2b=±4，
∴a+b=±2.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式可得原式=(2a+2b)2-1=15，求出(2a+2b)2的值，然后开平方即可.
2．（2023七下·绥德期末）已知，，则的值为（ ）
A．39 B．23 C．18 D．9
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：39.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
3．（2023八下·兴宁期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解： A、a2与a3 不是同类项，无法合并，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、 ，此项正确，故符合题意；
D、 ， 此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方及平方差公式分别计算，再判断即可.
4．（2023·东营）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、平方差公式进行运算即可求解。
5．（2023七下·南山期末）a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
【分析】根据a、b、c是三个连续的正整数，用含b的式子表示出a、c，然后根据长方形与正方形的面积计算公式分别表示出正方形与长方形的面积，再比较大小即可.
6．（2023七下·吴江月考）已知，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】先利用平方差公式对整式进行局部因式分解，再将代数式的值整体代入化简即可.
7．（2023八下·泰山期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）进行分析即可。
二、填空题
8．（2023七下·天桥期末）计算：
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+3）（a-3）=a2-32=a2-9.
故第一空答案为：a2-9.
【分析】根据平方差公式直接得出结果。
9．（2023七下·榆林期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图①中：长方形的面积=（a+b）（a-b），
图②中：图形的面积=a2-b2，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2
【分析】分别表示出图①、图②的面积，根据两面积相等即得等式.
10．（2023七下·金堂期末）已知，则 ．
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴a2-b2=3，
∴原式=a2-b2=3，
故答案为：3.
【分析】利用平方差公式将原式展开，再整体代入计算即可.
11．（2023七下·宝应期末）已知，则 ．
【答案】-24
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=4，x-y=-6，
∴x2-y2=(x+y)(x-y)=4×(-6)=-24.
故答案为：-24.
【分析】根据平方差公式可得x2-y2=(x+y)(x-y)，然后将已知条件代入进行计算.
三、计算题
12．（2023·兰州）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式结合单项式乘多项式即可求解。
四、解答题
13．（2022七下·会同期末）证明是13的倍数．
【答案】证明：，
，
∵26能被13整除，
∴结论成立．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式可得924-1=(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)(33-1)=26(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)，据此证明.
14．（2023七下·建邺期末）是否存在正整数x和y，使得，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：由得
则或或，
可得方程组：
，，
解得：
，，
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据x2=y2+2023，变形得：x2-y2=2023，利用平方差公式因式分解得：(x+y)(x-y)=1×2023或7×289或17×119，得出不同的二元一次方程组，解出相关的二元一次方程组的x，y的值即可。
五、综合题
15．（2022·叶县期末）乘法公式的探究及应用．
（1），阴影部分的面积可表示为 ；用含字母，的式子表示
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 均用含字母，的代数式表示
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；用式子表达
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）解：原式，
，
；
原式，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）由图形可得长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为(a+b)(a-b)；
故答案为：a-b，a+b，(a+b)(a-b)；
（3）由(1)(2)可知图阴影部分面积与图拼成的长方形面积相等，所以有，，故答案为：；
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得图1阴影部分的面积；
（2）由题意可得：图2长方形的长为a+b，宽为a-b，结合长方形的面积公式可得图2阴影部分的面积；
（3）根据图1、图2阴影部分面积相等可得等式；
（4）①原式可变形为20222-(2022-1)×(2022+1)，然后结合平方差公式进行计算；
②原式可变形为[(2m+n)+p]·[(2m+n)-p]，然后结合平方差公式进行计算.
16．（2023七下·清远期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：____（选择正确的一个）
A． B．
C． D．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①计算：
②计算：.
【答案】（1）C
（2）解：①解：原式
②解：原式
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积=a2-b2，图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】（1）分别表示图1、图2阴影部分的面积，然后根据阴影部分的面积相等就可得到等式；
（2）①原式可变形为(2023-1)×(2023+1)-20232，然后利用平方差公式进行计算；
②原式可变形为(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1，然后利用平方差公式进行计算.
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一、选择题
1．（2023七下·江州期末）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝15，那么a＋b的值为（ ）.
A．±8 B．-4 C．2 D．±2
2．（2023七下·绥德期末）已知，，则的值为（ ）
A．39 B．23 C．18 D．9
3．（2023八下·兴宁期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·东营）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·南山期末）a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
6．（2023七下·吴江月考）已知，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
7．（2023八下·泰山期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023七下·天桥期末）计算：
9．（2023七下·榆林期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为 ．
10．（2023七下·金堂期末）已知，则 ．
11．（2023七下·宝应期末）已知，则 ．
三、计算题
12．（2023·兰州）计算：．
四、解答题
13．（2022七下·会同期末）证明是13的倍数．
14．（2023七下·建邺期末）是否存在正整数x和y，使得，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.
五、综合题
15．（2022·叶县期末）乘法公式的探究及应用．
（1），阴影部分的面积可表示为 ；用含字母，的式子表示
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 均用含字母，的代数式表示
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；用式子表达
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
16．（2023七下·清远期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：____（选择正确的一个）
A． B．
C． D．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①计算：
②计算：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15，
∴(2a+2b)2-1=15，
∴(2a+2b)2=16，
∴2a+2b=±4，
∴a+b=±2.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式可得原式=(2a+2b)2-1=15，求出(2a+2b)2的值，然后开平方即可.
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：39.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解： A、a2与a3 不是同类项，无法合并，故不符合题意；
B、 ， 此项错误，故不符合题意；
C、 ，此项正确，故符合题意；
D、 ， 此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方及平方差公式分别计算，再判断即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、平方差公式进行运算即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
【分析】根据a、b、c是三个连续的正整数，用含b的式子表示出a、c，然后根据长方形与正方形的面积计算公式分别表示出正方形与长方形的面积，再比较大小即可.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】先利用平方差公式对整式进行局部因式分解，再将代数式的值整体代入化简即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）进行分析即可。
8．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+3）（a-3）=a2-32=a2-9.
故第一空答案为：a2-9.
【分析】根据平方差公式直接得出结果。
9．【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图①中：长方形的面积=（a+b）（a-b），
图②中：图形的面积=a2-b2，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2
【分析】分别表示出图①、图②的面积，根据两面积相等即得等式.
10．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴a2-b2=3，
∴原式=a2-b2=3，
故答案为：3.
【分析】利用平方差公式将原式展开，再整体代入计算即可.
11．【答案】-24
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=4，x-y=-6，
∴x2-y2=(x+y)(x-y)=4×(-6)=-24.
故答案为：-24.
【分析】根据平方差公式可得x2-y2=(x+y)(x-y)，然后将已知条件代入进行计算.
12．【答案】解：
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式结合单项式乘多项式即可求解。
13．【答案】证明：，
，
∵26能被13整除，
∴结论成立．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式可得924-1=(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)(33-1)=26(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)，据此证明.
14．【答案】解：由得
则或或，
可得方程组：
，，
解得：
，，
【知识点】平方差公式及应用；二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据x2=y2+2023，变形得：x2-y2=2023，利用平方差公式因式分解得：(x+y)(x-y)=1×2023或7×289或17×119，得出不同的二元一次方程组，解出相关的二元一次方程组的x，y的值即可。
15．【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）解：原式，
，
；
原式，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）由图形可得长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为(a+b)(a-b)；
故答案为：a-b，a+b，(a+b)(a-b)；
（3）由(1)(2)可知图阴影部分面积与图拼成的长方形面积相等，所以有，，故答案为：；
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得图1阴影部分的面积；
（2）由题意可得：图2长方形的长为a+b，宽为a-b，结合长方形的面积公式可得图2阴影部分的面积；
（3）根据图1、图2阴影部分面积相等可得等式；
（4）①原式可变形为20222-(2022-1)×(2022+1)，然后结合平方差公式进行计算；
②原式可变形为[(2m+n)+p]·[(2m+n)-p]，然后结合平方差公式进行计算.
16．【答案】（1）C
（2）解：①解：原式
②解：原式
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积=a2-b2，图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】（1）分别表示图1、图2阴影部分的面积，然后根据阴影部分的面积相等就可得到等式；
（2）①原式可变形为(2023-1)×(2023+1)-20232，然后利用平方差公式进行计算；
②原式可变形为(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1，然后利用平方差公式进行计算.
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