2023-2024学年初中数学七年级上册9.11 平方差公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022七下·电白月考）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七上·济阳期末）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
3．（2021七下·靖西期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
4．（2021八上·东坡期末）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·攸县期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·槐荫期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·曲靖模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
二、填空题
9．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．
10．（2023七下·石家庄期中）已知，则的个位数字是 ．
11．（2023七下·安乡县期中）计算： ．
12．（2021七上·金山期中）计算： ．
三、计算题
13．（2022七下·电白月考）计算：×××…××．
四、解答题
14．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
五、综合题
15．（2023七下·石阡期中）如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表示）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
请仿照康康的解题过程计算：．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
16．（2023七下·宁远期中）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是：A．， B． （请选择正确的选项）：
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，则 ；
②计算：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2-1）S=（2-1）
∴S=
=
=
= ，
=
故答案为：C．
【分析】将代数式变形为（2-1） ，再利用平方差公式计算即可。
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（24-1）（24+1）…（216+1）
=（28-1）…（216+1）
=232-1，
故答案为：A．
【分析】将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1），然后利用平方差公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
【分析】找出不超过80的正整数中所有的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、不可以使用平方差公式，故A不符合题意；
B、不可以使用平方差公式，故B不符合题意；
C、可以使用平方差公式，故C符合题意；
D、不可以使用平方差公式，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、合并同类项、多项式乘多项式、平方差公式进行运算即可求解。
7．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据平方差公式。合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法进行运算即可求解。
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2;
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;
由图3,得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab这四个式子之间得关系.
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
【分析】观察等号左边第一个因数分别是1，3，5，7…，是以1开始的奇数，所以第n个数是2n-1；等号左边第二个因数分别是3，5，7，9…，是以3开始的奇数，所以第n个数是2n+1。等号右边第一项底数分别是2，4，6，8…，是2开始的偶数，所以第n个数是2n。
所以结果是
故填：
10．【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
∵，，，，，
∴指数4个数一循环，
∵32÷4=8，
∴个位数字为6，
∴的个位数字为5，
即 的个位数字是5，
故答案为：5.
【分析】先求出N，再求出个位数字为6，最后计算求解即可。
11．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= ，
=4（1-）+
=4-+=4；
故答案为：14.
【分析】将原式变形为，利用平方差公式计算即可.
12．【答案】9960
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（99.8+0.2）×（99.8-0.2）
=100×99.6
=9960．
故答案为：9960．
【分析】利用平方差公式计算即可。
13．【答案】解：原式=××××(1+)××…××
=××××××…××
=.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先利用平方差公式展开，再计算即可。
14．【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：②如图，
A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
③由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2．
故答案为：[ n（n+1）]2．
【分析】①从大正方形减去小正方形，阴影部分为a2﹣b2，第二个图阴影部分的面积为（a+b）（a-b），可以推证平方差公式。
②如图，A表示面积为1×1的正方形，B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，表示出总和即等于大正方形的面积即62。
③由②的推断可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+4+...+n）2，然后化简求出结果即可。
15．【答案】（1）；；
（2）解：
，
∴原式的值为．
（3）解：证明：设一个奇数为，则另一个比它大且相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
∵，
∴ ，
故答案为： ； ； .
【分析】（1）利用正方形和矩形的面积公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
16．【答案】（1）B
（2）解：① 4② ．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分面积=a2-b2，图2阴影部分面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
故答案为：B.
（2）①∵a2-b2=（a+b）（a-b）=9（a-b）=36，
∴a-b=4；
故答案为：4.
【分析】（1）分别求出图1、图2中阴影部分的面积，根据两面积相等即得结论；
（2）①利用平方差公式将原式化为a2-b2=（a+b）（a-b）=36，再将a+b=9代入即可求解；
②利用平方差公式先计算，可得原式=20+19+···+2+1 ，据此计算即可.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册9.11 平方差公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022七下·电白月考）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2-1）S=（2-1）
∴S=
=
=
= ，
=
故答案为：C．
【分析】将代数式变形为（2-1） ，再利用平方差公式计算即可。
2．（2022七上·济阳期末）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（24-1）（24+1）…（216+1）
=（28-1）…（216+1）
=232-1，
故答案为：A．
【分析】将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1），然后利用平方差公式计算即可.
3．（2021七下·靖西期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
【分析】找出不超过80的正整数中所有的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，即可求解.
4．（2021八上·东坡期末）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
5．（2023七下·攸县期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、不可以使用平方差公式，故A不符合题意；
B、不可以使用平方差公式，故B不符合题意；
C、可以使用平方差公式，故C符合题意；
D、不可以使用平方差公式，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
6．（2023七下·槐荫期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、合并同类项、多项式乘多项式、平方差公式进行运算即可求解。
7．（2023·曲靖模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据平方差公式。合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法进行运算即可求解。
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2;
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;
由图3,得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab这四个式子之间得关系.
二、填空题
9．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
【分析】观察等号左边第一个因数分别是1，3，5，7…，是以1开始的奇数，所以第n个数是2n-1；等号左边第二个因数分别是3，5，7，9…，是以3开始的奇数，所以第n个数是2n+1。等号右边第一项底数分别是2，4，6，8…，是2开始的偶数，所以第n个数是2n。
所以结果是
故填：
10．（2023七下·石家庄期中）已知，则的个位数字是 ．
【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，
∵，，，，，
∴指数4个数一循环，
∵32÷4=8，
∴个位数字为6，
∴的个位数字为5，
即 的个位数字是5，
故答案为：5.
【分析】先求出N，再求出个位数字为6，最后计算求解即可。
11．（2023七下·安乡县期中）计算： ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= ，
=4（1-）+
=4-+=4；
故答案为：14.
【分析】将原式变形为，利用平方差公式计算即可.
12．（2021七上·金山期中）计算： ．
【答案】9960
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（99.8+0.2）×（99.8-0.2）
=100×99.6
=9960．
故答案为：9960．
【分析】利用平方差公式计算即可。
三、计算题
13．（2022七下·电白月考）计算：×××…××．
【答案】解：原式=××××(1+)××…××
=××××××…××
=.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先利用平方差公式展开，再计算即可。
四、解答题
14．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：②如图，
A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
③由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2．
故答案为：[ n（n+1）]2．
【分析】①从大正方形减去小正方形，阴影部分为a2﹣b2，第二个图阴影部分的面积为（a+b）（a-b），可以推证平方差公式。
②如图，A表示面积为1×1的正方形，B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，表示出总和即等于大正方形的面积即62。
③由②的推断可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+4+...+n）2，然后化简求出结果即可。
五、综合题
15．（2023七下·石阡期中）如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表示）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
请仿照康康的解题过程计算：．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
【答案】（1）；；
（2）解：
，
∴原式的值为．
（3）解：证明：设一个奇数为，则另一个比它大且相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
∵，
∴ ，
故答案为： ； ； .
【分析】（1）利用正方形和矩形的面积公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
16．（2023七下·宁远期中）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是：A．， B． （请选择正确的选项）：
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，则 ；
②计算：．
【答案】（1）B
（2）解：① 4② ．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分面积=a2-b2，图2阴影部分面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
故答案为：B.
（2）①∵a2-b2=（a+b）（a-b）=9（a-b）=36，
∴a-b=4；
故答案为：4.
【分析】（1）分别求出图1、图2中阴影部分的面积，根据两面积相等即得结论；
（2）①利用平方差公式将原式化为a2-b2=（a+b）（a-b）=36，再将a+b=9代入即可求解；
②利用平方差公式先计算，可得原式=20+19+···+2+1 ，据此计算即可.
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