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(沪教版五四制)2023-2024学年初中数学七年级上册9.12 完全平方公式 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023·长沙）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式对选项逐一运算即可求解。
2．下列整式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： =x2+2x+1 ，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式将原式展开，即可判断.
3．（2023七下·金堂期末） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、 ，此项错误，故不符合题意；
C、 ， 此项错误，故不符合题意；
D、 ，此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式分别计算，再判断即可.
4．（2023七下·平南期末）若，，则的值为（ ）
A．20 B．140 C．150 D．200
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
，
故答案为：B.
【分析】通过两数差的完全平方公式求代数式的值.
5．（2023七下·平南期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误，
故答案为：C.
【分析】合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
6．（2023·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。
7．（2023·日照）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方式、合并同类项对选项逐一运算即可求解。
8．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A项表示的是边长为（a-b)的正方形面积，且根据完全平方差公式，等式成立，符合题意；
B项根据完全平方和公式，等式成立，但B表示的边长为（a+b)的正方形面积，不符合题意；
C项根据平方差公式，等式成立，但C表示的是长为（a+b)，宽为（a-b)的矩形的面积，不符合题意；
D项根据乘法分配律，等式成立，但D表示的是长为（a-b)，宽为b的矩形的面积，不符合题意；
故选：A.
【分析】图中阴影部分的面积=。
二、填空题
9．（2023七下·罗湖期末）已知，，则 ．
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x-y=1，xy=6，
∴x2+y2=(x-y)2+2xy=1+12=13.
故答案为：13.
【分析】根据完全平方公式可得x2+y2=(x-y)2+2xy，然后将已知条件代入进行计算.
10．已知，则 ．
【答案】1
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴x=1-y，
∴，
故答案为：1
【分析】先根据题意即可得到x=1-y，进而代入运用完全平方公式即可求解。
11．（2023七下·温州期末）已知，，则 .
【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x-y）2=8，xy=3，
∴（x+y）2=（x-y）2+4xy=8+3×4=20.
故答案为：20.
【分析】根据完全平方公式的恒等变形可得（x+y）2=（x-y）2+4xy，然后整体代入计算可得答案.
12．（2023七下·鄞州期末）已知，则代数式的值为 ．
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设，，
，
，
，
故答案为：8.
【分析】利用整体换元法将代数式进行变形，再通过完全平方公式计算代数式的值.
三、解答题
13．（2023八下·铁锋期中）已知，求的值．
【答案】解：∵
∴ ，
∴ ．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式可得(a+)2=(a-)2+4，然后代入进行计算.
四、作图题
14．（2020七下·江阴月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）图2中间的小正方形(即阴影部分)面积可表示为 .
（2）观察图2，请你写出三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系式： .
（3）根据（2）中的结论，若x＋y=－6，xy=2.75，则x－y= .
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3所示，它表示了(2m＋n)(m＋n)=2m2＋3mn＋n2.试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(m＋n)(m＋2n)=m2＋3mn＋2n2.
【答案】（1）
（2）
（3）x-y=±5
（4）解：根据题意，画出长 ，宽 的长方形即可，其中要包含1个边长为m的正方形，2个边长为n的正方形，3个长为m宽为n的长方形，如下图所示：
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分小正方形的边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，即 ，由正方形得面积公式可知阴影部分的面积为： ；（2）由图2可知，大正方形的边长为 ，则面积为 ，或大正方形的面积还可以由小正方形面积加4个小长方形的面积之和得到，即 ，故可得： ；（3）由（2）知 ∴将 代入得
∴ ；
【分析】（1）阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即 ，再用正方形面积公式进行计算即可得解；（2）根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积之和，两种不同算法进行计算即可得到等式；（3）根据（2）中结论，得 ，通过将 代入进行计算即可得解；（4）画出长 ，宽 的长方形即可得解.
五、综合题
15．（2023七下·天桥期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ．
观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系： ．
（2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值．
②已知的值．
（3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）；；
（2）解：①∵
又：，代入得
②令，
∴，
∴
∴
（3）解：由题知：，
∴
∴
∴
图中阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：可以直接用正方形的面积计算公式来求：（a+b）2；方法2：把正方形的面积看成两个矩形和两个小正方形的面积和：ab+ab+a2+b2=a2+2ab+b2；所以（a+b）2=a2+2ab+b2；
故第1空答案为：（a+b）2；第2空答案为：a2+2ab+b2；第3空答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）先直接用大正方形的边长的平方写出大正方形的面积得：（a+b）2，再用两个矩形和两个小正方形的面积和表示大正方形的面积得：a2+2ab+b2，根据它们是同一个正方形的面积得出这两个式子相等即可；
（2）①由已知a+b=8，得出（a+b）2=a2+2ab+b2=64，得出2ab=64-（a2+b2），即可求得ab；②设a=2023-x，b=x-2021，则就可以理解为已知a2+b2，求ab，先计算a+b=2，然后通过变形可求得ab的值，也就是（2023-x）（x-2021）的值；
（3）已知中的BE=2也就是y-x=2，然后根据（x-y）2和x2+y2之间的关系，变形求出2xy的值，再求出（x+y）2的值，求它的算术平方根求得（x+y）的值，然后根据三角形面积计算公式求阴影部分的面积：，然后整理带入求值即可。
16．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】（1）解：
答：该长方形空地的面积为．
（2）解：．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为．
（3）解：当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（2）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（3）在第（2）问的基础上，将，代入进行计算.
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(沪教版五四制)2023-2024学年初中数学七年级上册9.12 完全平方公式 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023·长沙）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列整式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·金堂期末） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·平南期末）若，，则的值为（ ）
A．20 B．140 C．150 D．200
5．（2023七下·平南期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·日照）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·罗湖期末）已知，，则 ．
10．已知，则 ．
11．（2023七下·温州期末）已知，，则 .
12．（2023七下·鄞州期末）已知，则代数式的值为 ．
三、解答题
13．（2023八下·铁锋期中）已知，求的值．
四、作图题
14．（2020七下·江阴月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）图2中间的小正方形(即阴影部分)面积可表示为 .
（2）观察图2，请你写出三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系式： .
（3）根据（2）中的结论，若x＋y=－6，xy=2.75，则x－y= .
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3所示，它表示了(2m＋n)(m＋n)=2m2＋3mn＋n2.试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(m＋n)(m＋2n)=m2＋3mn＋2n2.
五、综合题
15．（2023七下·天桥期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ．
观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系： ．
（2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值．
②已知的值．
（3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
16．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式对选项逐一运算即可求解。
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： =x2+2x+1 ，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式将原式展开，即可判断.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意；
B、 ，此项错误，故不符合题意；
C、 ， 此项错误，故不符合题意；
D、 ，此项正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式分别计算，再判断即可.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
，
故答案为：B.
【分析】通过两数差的完全平方公式求代数式的值.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误，
故答案为：C.
【分析】合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方式、合并同类项对选项逐一运算即可求解。
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A项表示的是边长为（a-b)的正方形面积，且根据完全平方差公式，等式成立，符合题意；
B项根据完全平方和公式，等式成立，但B表示的边长为（a+b)的正方形面积，不符合题意；
C项根据平方差公式，等式成立，但C表示的是长为（a+b)，宽为（a-b)的矩形的面积，不符合题意；
D项根据乘法分配律，等式成立，但D表示的是长为（a-b)，宽为b的矩形的面积，不符合题意；
故选：A.
【分析】图中阴影部分的面积=。
9．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x-y=1，xy=6，
∴x2+y2=(x-y)2+2xy=1+12=13.
故答案为：13.
【分析】根据完全平方公式可得x2+y2=(x-y)2+2xy，然后将已知条件代入进行计算.
10．【答案】1
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴x=1-y，
∴，
故答案为：1
【分析】先根据题意即可得到x=1-y，进而代入运用完全平方公式即可求解。
11．【答案】20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x-y）2=8，xy=3，
∴（x+y）2=（x-y）2+4xy=8+3×4=20.
故答案为：20.
【分析】根据完全平方公式的恒等变形可得（x+y）2=（x-y）2+4xy，然后整体代入计算可得答案.
12．【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设，，
，
，
，
故答案为：8.
【分析】利用整体换元法将代数式进行变形，再通过完全平方公式计算代数式的值.
13．【答案】解：∵
∴ ，
∴ ．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式可得(a+)2=(a-)2+4，然后代入进行计算.
14．【答案】（1）
（2）
（3）x-y=±5
（4）解：根据题意，画出长 ，宽 的长方形即可，其中要包含1个边长为m的正方形，2个边长为n的正方形，3个长为m宽为n的长方形，如下图所示：
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分小正方形的边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，即 ，由正方形得面积公式可知阴影部分的面积为： ；（2）由图2可知，大正方形的边长为 ，则面积为 ，或大正方形的面积还可以由小正方形面积加4个小长方形的面积之和得到，即 ，故可得： ；（3）由（2）知 ∴将 代入得
∴ ；
【分析】（1）阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即 ，再用正方形面积公式进行计算即可得解；（2）根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积之和，两种不同算法进行计算即可得到等式；（3）根据（2）中结论，得 ，通过将 代入进行计算即可得解；（4）画出长 ，宽 的长方形即可得解.
15．【答案】（1）；；
（2）解：①∵
又：，代入得
②令，
∴，
∴
∴
（3）解：由题知：，
∴
∴
∴
图中阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：可以直接用正方形的面积计算公式来求：（a+b）2；方法2：把正方形的面积看成两个矩形和两个小正方形的面积和：ab+ab+a2+b2=a2+2ab+b2；所以（a+b）2=a2+2ab+b2；
故第1空答案为：（a+b）2；第2空答案为：a2+2ab+b2；第3空答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）先直接用大正方形的边长的平方写出大正方形的面积得：（a+b）2，再用两个矩形和两个小正方形的面积和表示大正方形的面积得：a2+2ab+b2，根据它们是同一个正方形的面积得出这两个式子相等即可；
（2）①由已知a+b=8，得出（a+b）2=a2+2ab+b2=64，得出2ab=64-（a2+b2），即可求得ab；②设a=2023-x，b=x-2021，则就可以理解为已知a2+b2，求ab，先计算a+b=2，然后通过变形可求得ab的值，也就是（2023-x）（x-2021）的值；
（3）已知中的BE=2也就是y-x=2，然后根据（x-y）2和x2+y2之间的关系，变形求出2xy的值，再求出（x+y）2的值，求它的算术平方根求得（x+y）的值，然后根据三角形面积计算公式求阴影部分的面积：，然后整理带入求值即可。
16．【答案】（1）解：
答：该长方形空地的面积为．
（2）解：．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为．
（3）解：当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（2）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（3）在第（2）问的基础上，将，代入进行计算.
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