2023-2024学年初中数学七年级上册9.12 完全平方公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·霍州期中）若，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．（2023·郴州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九下·孝南月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·杭州期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
5．（2022七下·清城期中）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021八上·隆昌期中）有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
7．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
8．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．（2023八下·凤翔月考）已知，则的值为 ．
10．（2023七下·大渡口期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为 ．
11．（2022·石景山模拟），，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ．
12．（2022七下·泗县期中）已知（2021-a）（a-2022）＝5，则（a-2021）2+（a-2022）2＝ ．
三、计算题
13．（2023七下·吴江月考）已知，．
（1）计算：；
（2）求的值；
（3）求的值．
四、解答题
14．（2023七下·龙岗期中）先化简，再求值： [(x+2y)2-(x-2y)2-(x+2y)(x-2y)-4y2]÷2x，其中x=-2，y= ；
五、综合题
15．（2023七下·金牛期末）已知，．
（1）求的值；
（2）将长方形和长方形如图所示放置，，，、的长分别为、的一半，求图中阴影部分的面积．
16．（2023七下·鄞州期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ．（只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数满足，求的值；
②若三个实数满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式进行运算，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a5=a7，故错误；
B、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
C、-3a2b+2a2b=-a2b，故正确；
D、(-3a3)2=9a6，故错误.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据完全平方公式可判断B；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为，
BE=AB-AE=6-a=b-，
∴a+b=6+，S1=（a-）（b-）=ab-；
∵S2=5S1，
∴S2=5ab-，
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2-5+S1+S2=6×10，
整理得a2+b2+6ab=65+36，
即（a+b）2+4ab=65+36，
∴（6+）2+4ab=65+36，
∴ab=6+6，
∴a2+b2=65+36-6ab=65+36-36-36=29.
故答案为：A.
【分析】由重合部分小正方形的面积为5，其边长为，由拼图可知a+b=6+①，由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2+6ab=65+36，从而利用配方法变形后将①代入化简可得ab=6+6，进而即可求出a2+b2的值了.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：图3中的阴影部分的面积为：（a b）2，
图2中的阴影部分的面积为：（2b a）2，
由题意得，（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，
整理得，b2＝2，
则小正方形卡片的面积是2，
故答案为：A．
【分析】分别表示出图2和图3中阴影部分的面积可得（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，再求出b2＝2，即可得到小正方形卡片的面积是2。
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形 A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
.
故答案为：B.
【分析】设正方形A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得 ，由图乙可得： ，从而求出，，，图丙的阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
9．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a-b=1，
∴a3-a2b+b2-2ab=a2(a-b)+b2-2ab=a2+b2-2ab=(a-b)2=1.
故答案为：1.
【分析】待求式可变形为a2(a-b)+b2-2ab，将a-b=1代入可得原式=a2+b2-2ab=(a-b)2，据此计算.
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴x-1=0，y+2=0，
∴x=1，y=-2，
∴x+y=1-2=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用完全平方公式求出，再求出x=1，y=-2，最后代入计算求解即可。
11．【答案】5
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：5．
【分析】假设四角的小正方形的边长为n，中心正方形的边长为m，则m+2n的值恰好是图中最大的正方形的边长，求出其面积即可。
12．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设m＝a 2021，n＝a 2022，
则原题变为： mn＝ 5，即mn＝5，求m2＋n2，
∵m2＋n2
＝（m n）2＋2mn
＝[（a 2021） （a 2022）]2＋2×5，
＝（a 2021 a＋2022）2＋10
＝1＋10
＝11．
故答案为：11．
【分析】设m＝a 2021，n＝a 2022，再利用完全平方公式可得m2＋n2＝[（a 2021） （a 2022）]2＋2×5，再计算即可。
13．【答案】（1）解：，，
；
（2）解：
，
当，时，
原式
；
（3）
，
，
，
或，
或
或．
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【分析】(1)先将两数差的完全平方公式进行变形，再整体代入求值.
(2)先进行整式的乘法运算，再通过变形将已知的代数式的值整体代入求值.
(3)先利用幂的乘方法则化简整式，再通过完全平方公式计算结果.
14．【答案】解：原式=[x2+4xy+4y2-(x2- 4xy+4y2)-(x2-4y2)-4y2] ÷2x
=(x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2-4y2)÷2x
=(8xy-x2)÷2x
=4y-x．
当x=-2，y=时，原式=4×-×(-2)=3．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答
15．【答案】（1）解：整理原式，
把，，代入中，
所以；
（2）解：因为，，、的长分别为、的一半，
所以，，
图中阴影部分的面积，
所以把，，，代入上式，
即，
由（1）知，，
所以，
所以图中阴影部分的面积为．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式整理原式得到，进而将，代入即可求解；
（2）先根据题意得到，，进而得到图中阴影部分的面积，再将，，，代入，进而由（1）知，，然后结合题意即可求解。
16．【答案】（1）
（2）解：①，
；
②，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(1)由正方形的面积计算公式可得，
用分割法计算正方形面积可得，
，
故答案为：.
【分析】(1)观察图形，利用正方形面积的不同计算方式列出等式.
(2)将等式进行变形，再将代数式的值整体代入求解.
先利用同底数幂的乘除运算进行化简，再代入整式求解.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册9.12 完全平方公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·霍州期中）若，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
2．（2023·郴州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式进行运算，进而即可求解。
3．（2023九下·孝南月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a5=a7，故错误；
B、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
C、-3a2b+2a2b=-a2b，故正确；
D、(-3a3)2=9a6，故错误.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据完全平方公式可判断B；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
4．（2023七下·杭州期中）如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为，
BE=AB-AE=6-a=b-，
∴a+b=6+，S1=（a-）（b-）=ab-；
∵S2=5S1，
∴S2=5ab-，
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2-5+S1+S2=6×10，
整理得a2+b2+6ab=65+36，
即（a+b）2+4ab=65+36，
∴（6+）2+4ab=65+36，
∴ab=6+6，
∴a2+b2=65+36-6ab=65+36-36-36=29.
故答案为：A.
【分析】由重合部分小正方形的面积为5，其边长为，由拼图可知a+b=6+①，由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2+6ab=65+36，从而利用配方法变形后将①代入化简可得ab=6+6，进而即可求出a2+b2的值了.
5．（2022七下·清城期中）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：图3中的阴影部分的面积为：（a b）2，
图2中的阴影部分的面积为：（2b a）2，
由题意得，（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，
整理得，b2＝2，
则小正方形卡片的面积是2，
故答案为：A．
【分析】分别表示出图2和图3中阴影部分的面积可得（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，再求出b2＝2，即可得到小正方形卡片的面积是2。
6．（2021八上·隆昌期中）有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形 A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
.
故答案为：B.
【分析】设正方形A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得 ，由图乙可得： ，从而求出，，，图丙的阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
7．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
8．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
二、填空题
9．（2023八下·凤翔月考）已知，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a-b=1，
∴a3-a2b+b2-2ab=a2(a-b)+b2-2ab=a2+b2-2ab=(a-b)2=1.
故答案为：1.
【分析】待求式可变形为a2(a-b)+b2-2ab，将a-b=1代入可得原式=a2+b2-2ab=(a-b)2，据此计算.
10．（2023七下·大渡口期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴x-1=0，y+2=0，
∴x=1，y=-2，
∴x+y=1-2=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用完全平方公式求出，再求出x=1，y=-2，最后代入计算求解即可。
11．（2022·石景山模拟），，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ．
【答案】5
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：5．
【分析】假设四角的小正方形的边长为n，中心正方形的边长为m，则m+2n的值恰好是图中最大的正方形的边长，求出其面积即可。
12．（2022七下·泗县期中）已知（2021-a）（a-2022）＝5，则（a-2021）2+（a-2022）2＝ ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设m＝a 2021，n＝a 2022，
则原题变为： mn＝ 5，即mn＝5，求m2＋n2，
∵m2＋n2
＝（m n）2＋2mn
＝[（a 2021） （a 2022）]2＋2×5，
＝（a 2021 a＋2022）2＋10
＝1＋10
＝11．
故答案为：11．
【分析】设m＝a 2021，n＝a 2022，再利用完全平方公式可得m2＋n2＝[（a 2021） （a 2022）]2＋2×5，再计算即可。
三、计算题
13．（2023七下·吴江月考）已知，．
（1）计算：；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：
，
当，时，
原式
；
（3）
，
，
，
或，
或
或．
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【分析】(1)先将两数差的完全平方公式进行变形，再整体代入求值.
(2)先进行整式的乘法运算，再通过变形将已知的代数式的值整体代入求值.
(3)先利用幂的乘方法则化简整式，再通过完全平方公式计算结果.
四、解答题
14．（2023七下·龙岗期中）先化简，再求值： [(x+2y)2-(x-2y)2-(x+2y)(x-2y)-4y2]÷2x，其中x=-2，y= ；
【答案】解：原式=[x2+4xy+4y2-(x2- 4xy+4y2)-(x2-4y2)-4y2] ÷2x
=(x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2-4y2)÷2x
=(8xy-x2)÷2x
=4y-x．
当x=-2，y=时，原式=4×-×(-2)=3．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答
五、综合题
15．（2023七下·金牛期末）已知，．
（1）求的值；
（2）将长方形和长方形如图所示放置，，，、的长分别为、的一半，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：整理原式，
把，，代入中，
所以；
（2）解：因为，，、的长分别为、的一半，
所以，，
图中阴影部分的面积，
所以把，，，代入上式，
即，
由（1）知，，
所以，
所以图中阴影部分的面积为．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式整理原式得到，进而将，代入即可求解；
（2）先根据题意得到，，进而得到图中阴影部分的面积，再将，，，代入，进而由（1）知，，然后结合题意即可求解。
16．（2023七下·鄞州期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ．（只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数满足，求的值；
②若三个实数满足，求的值．
【答案】（1）
（2）解：①，
；
②，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(1)由正方形的面积计算公式可得，
用分割法计算正方形面积可得，
，
故答案为：.
【分析】(1)观察图形，利用正方形面积的不同计算方式列出等式.
(2)将等式进行变形，再将代数式的值整体代入求解.
先利用同底数幂的乘除运算进行化简，再代入整式求解.
1 / 1
