2023-2024学年初中数学七年级上册9.13 提取公因式法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·宝安期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·宁远期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·安乡县期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．（x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15 B．2x2－4x－1＝2x（x－2）－1
C．x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y） D．x3－9x＝x（x＋3）（x－3）
4．（2023七下·攸县期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·济阳期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·舒城模拟）下列从左到右是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·无锡期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题
9．（2023·南宁模拟）因式分解： ．
10．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
11．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
12．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
三、计算题
13．（2023八下·南山期中）把下列多项式分解因式
（1）-a+a3b2
（2）(x-1)(x-3)+1．
四、解答题
14．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题1 数与式）已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
15．（新人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法同步练习）已知多项式2x3 -x +m有一个因式(2x+1)，求m的值.
五、综合题
16．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
D、 ，等号右边不是整式的乘积，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 （x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 2x2－4x－1＝2x（x－2）－1，不符合因式分解的定义，故不符合题意；
C、 x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y+1） ，故不符合题意；
D、x3-9x=x（x+3）（x-3），故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】∵，
∴公因式是，
故答案为：A。
【分析】利用公因式的定义求解即可。
5．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、属于因式分解，B符合题意；
C、左右两边式子的a可取值不同，不为同一条式子，不为因式分解，C不符合题意；
D、不属于因式分解，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一判断即可求解。
6．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解： A：，不符合题意；
B：，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意；
C：，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意；
D：，属于因式分解，符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。根据因式分解的定义对每个选项一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A：-2x2+4x=-2x(x-2)，故A错误；
B：x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；
C：x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，故C正确；
D：x2+6x-9不能分解，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A提取公因式-2x即可进行判断；对B提取x即可判断；对C提取(x-y)即可判断；D不能进行分解.
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-2x=x(y-2).
故答案为：x(y-2).
【分析】直接提取公因式x即可.
10．【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
11．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
12．【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
13．【答案】（1）-a+a3b2
＝-a（1-），
＝-a（1+ab）（1-ab）
（2）原式＝x2-x-3x+3+1
＝x2-4x+4
＝（x-2）2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】=【分析】（1）首先提取公因式-a，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用多项式乘多项式的运算法则计算后，再利用完全平方公式分解即可
14．【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
15．【答案】解答：解法一：设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b)，
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b
比较系数得，解得，∴m=
解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算，取x=-，
，故m=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.
16．【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册9.13 提取公因式法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023八下·宝安期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
2．（2023七下·宁远期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
D、 ，等号右边不是整式的乘积，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
3．（2023七下·安乡县期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．（x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15 B．2x2－4x－1＝2x（x－2）－1
C．x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y） D．x3－9x＝x（x＋3）（x－3）
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 （x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 2x2－4x－1＝2x（x－2）－1，不符合因式分解的定义，故不符合题意；
C、 x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y+1） ，故不符合题意；
D、x3-9x=x（x+3）（x-3），故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
4．（2023七下·攸县期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】∵，
∴公因式是，
故答案为：A。
【分析】利用公因式的定义求解即可。
5．（2023八下·济阳期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、属于因式分解，B符合题意；
C、左右两边式子的a可取值不同，不为同一条式子，不为因式分解，C不符合题意；
D、不属于因式分解，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一判断即可求解。
6．（2023·舒城模拟）下列从左到右是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解： A：，不符合题意；
B：，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意；
C：，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意；
D：，属于因式分解，符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。根据因式分解的定义对每个选项一一判断即可。
7．（2023七下·无锡期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A：-2x2+4x=-2x(x-2)，故A错误；
B：x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；
C：x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，故C正确；
D：x2+6x-9不能分解，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A提取公因式-2x即可进行判断；对B提取x即可判断；对C提取(x-y)即可判断；D不能进行分解.
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
9．（2023·南宁模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-2x=x(y-2).
故答案为：x(y-2).
【分析】直接提取公因式x即可.
10．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
11．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
12．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
三、计算题
13．（2023八下·南山期中）把下列多项式分解因式
（1）-a+a3b2
（2）(x-1)(x-3)+1．
【答案】（1）-a+a3b2
＝-a（1-），
＝-a（1+ab）（1-ab）
（2）原式＝x2-x-3x+3+1
＝x2-4x+4
＝（x-2）2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】=【分析】（1）首先提取公因式-a，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用多项式乘多项式的运算法则计算后，再利用完全平方公式分解即可
四、解答题
14．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题1 数与式）已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
15．（新人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法同步练习）已知多项式2x3 -x +m有一个因式(2x+1)，求m的值.
【答案】解答：解法一：设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b)，
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b
比较系数得，解得，∴m=
解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算，取x=-，
，故m=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.
五、综合题
16．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
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