2023-2024学年初中数学七年级上册9.14 公式法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·石阡期中）下列多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·呈贡模拟）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．（2023七下·瓯海月考）把多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·高州月考）下列因式分解正确的是（ )
A． B．
C． D．
5．（2023八下·宝安期中）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·广陵期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·兰州）因式分解： ．
9．（2023八下·深圳期末）分解因式： .
10．（2023八下·上海市期中）方程的根是 ．
11．（2023七下·南山期末）任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示.如：.设这四个连续的自然数分别为，则，其中“"用含的式子表示为 .
三、计算题
12．（2023七下·东阿期末）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
四、解答题
13．（2022七上·黄浦期中）分解因式：
14．（2022七下·卢龙期末）
（1）因式分解：3﹣6a +3．
（2）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
五、综合题
15．（2023七下·广陵期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
（3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
16．（2022七下·桐城期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、不能因式分解，不符合题意；
B、不能因式分解，不符合题意；
C、，能分解因式，符合题意；
D、不能因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴（2x±3）2=，
∴k=，
故答案为：D
【分析】根据运用公式法进行因式分解的方法结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、16x2-8x+1=（4x-1）2，故A符合题意；
B、4x2-4=4（x+1）（x+1），故B不符合题意；
C、-x2+2x-1=-（x-1）2，故C不符合题意；
D、2x（x-1）-（x-1）=（x-1）（2x-1），故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式，可对A、C作出判断；若多项式含有公因式，先提取公因式，再利用公式法分解因式，分解到不能再分解为止可对B，D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、根据因式分解的定义，A不符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵不符合因式分解的定义，∴C不符合题意；
D、∵，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A：x3-x=x(x+1)(x-1)，故A错误；
B：m2+m+=(m+)2，故B正确；
C：不属于因式分解，故C错误；
D：-x2+y2=(y-x)(y+x)，故D错误.
故答案为：B.
【分析】A没有分解彻底；利用完全平方公式可判断B；C不属于因式分解；利用平方差公式可判断D.
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求解。
9．【答案】（a+6）（a-6）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a2-36=（a+6）（a-6）.
故答案为：（a+6）（a-6）
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且能化成平方形式，因此可以利用平方差公式分解因式.
10．【答案】，，
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得。
∴，
解得，，，
故答案为：，，
【分析】先根据提公因式、公式法进行因式分解，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2.
故答案为：n2+3n+1.
【分析】利用完全平方公式将式子分解因式可得答案.
12．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）直接提取公因式即可；
（3）直接提取公因式即可.
13．【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】利用平方差公式和提公因式法因式分解即可。
14．【答案】（1）解：3﹣6a +3
=
=．
（2）解：因为
由①得 x－2x＋2≥1，
解得： x≤1，
由②得 1＋x＞2x－2，
解得：x＜3，
∴不等式组的解集为x≤1．
其解集在数轴上的表示如下：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）利用不等式的性质求出 不等式组的解集为x≤1，再将解集在数轴上表示即可。
15．【答案】（1）
（2）解：因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
（3）解：因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2；
【分析】（1）将(x-y)看作整体，然后利用完全平方公式进行分解；
（2）将(x-2)看作整体，令x-2=m，则原式=9m2-6m+1=(3m-1)2，然后将x-2=m代入即可；
（3）将(x2-6x)看作整体，令x2-6x=m，则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2，然后将x2-6x=m代入即可.
16．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]2=（49-25）2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]2=（36-20）2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册9.14 公式法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2023七下·石阡期中）下列多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、不能因式分解，不符合题意；
B、不能因式分解，不符合题意；
C、，能分解因式，符合题意；
D、不能因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2023·呈贡模拟）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴（2x±3）2=，
∴k=，
故答案为：D
【分析】根据运用公式法进行因式分解的方法结合题意即可求解。
3．（2023七下·瓯海月考）把多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解.
4．（2023八下·高州月考）下列因式分解正确的是（ )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、16x2-8x+1=（4x-1）2，故A符合题意；
B、4x2-4=4（x+1）（x+1），故B不符合题意；
C、-x2+2x-1=-（x-1）2，故C不符合题意；
D、2x（x-1）-（x-1）=（x-1）（2x-1），故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式，可对A、C作出判断；若多项式含有公因式，先提取公因式，再利用公式法分解因式，分解到不能再分解为止可对B，D作出判断.
5．（2023八下·宝安期中）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、根据因式分解的定义，A不符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵不符合因式分解的定义，∴C不符合题意；
D、∵，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
6．（2023七下·广陵期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A：x3-x=x(x+1)(x-1)，故A错误；
B：m2+m+=(m+)2，故B正确；
C：不属于因式分解，故C错误；
D：-x2+y2=(y-x)(y+x)，故D错误.
故答案为：B.
【分析】A没有分解彻底；利用完全平方公式可判断B；C不属于因式分解；利用平方差公式可判断D.
7．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
二、填空题
8．（2023·兰州）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求解。
9．（2023八下·深圳期末）分解因式： .
【答案】（a+6）（a-6）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a2-36=（a+6）（a-6）.
故答案为：（a+6）（a-6）
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且能化成平方形式，因此可以利用平方差公式分解因式.
10．（2023八下·上海市期中）方程的根是 ．
【答案】，，
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得。
∴，
解得，，，
故答案为：，，
【分析】先根据提公因式、公式法进行因式分解，进而即可求解。
11．（2023七下·南山期末）任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示.如：.设这四个连续的自然数分别为，则，其中“"用含的式子表示为 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2.
故答案为：n2+3n+1.
【分析】利用完全平方公式将式子分解因式可得答案.
三、计算题
12．（2023七下·东阿期末）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）直接提取公因式即可；
（3）直接提取公因式即可.
四、解答题
13．（2022七上·黄浦期中）分解因式：
【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】利用平方差公式和提公因式法因式分解即可。
14．（2022七下·卢龙期末）
（1）因式分解：3﹣6a +3．
（2）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：3﹣6a +3
=
=．
（2）解：因为
由①得 x－2x＋2≥1，
解得： x≤1，
由②得 1＋x＞2x－2，
解得：x＜3，
∴不等式组的解集为x≤1．
其解集在数轴上的表示如下：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）利用不等式的性质求出 不等式组的解集为x≤1，再将解集在数轴上表示即可。
五、综合题
15．（2023七下·广陵期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
（3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
【答案】（1）
（2）解：因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
（3）解：因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2；
【分析】（1）将(x-y)看作整体，然后利用完全平方公式进行分解；
（2）将(x-2)看作整体，令x-2=m，则原式=9m2-6m+1=(3m-1)2，然后将x-2=m代入即可；
（3）将(x2-6x)看作整体，令x2-6x=m，则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2，然后将x2-6x=m代入即可.
16．（2022七下·桐城期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]2=（49-25）2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]2=（36-20）2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
1 / 1
