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(沪教版五四制)2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·道县期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八上·江油月考）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
4．（2022九上·遵义月考）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为（ ）
A．-12 B．3 C．-3或12 D．3或12
5．（2022八上·津南期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·台湾）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（ ）
A．-12 B．-3 C．3 D．12
7．（2022七下·杭州期中）因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（ ）
A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④
8．（2022七下·港北期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5）
C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2
二、填空题
9．因式分解： ．
10．（2023·巴中模拟）因式分解： ．
11．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 用a、b代数式表示
12．（2023·广东模拟）分解因式：x2﹣2x﹣8= ．
13．（2021七下·镇海期末）阅读下面材料：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
∵x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝ ．
14．（2020·内江）分解因式：
三、计算题
15．（2023·杨浦模拟）解方程组：
四、解答题
16．在分解因式 时，甲看错了 值，分解的结果是 ，乙看错了 值，分解的结果是 ，求 的值.
17．已知x﹣y=4，x﹣3y=2，求x2﹣4xy+3y2的值．
18．分解因式：x4+4．（提示：可通过添项，将多项式配成一个完全平方式，再进行分解）
19．（2021八上·喀什期末）我们知道形如 的二次三项式可以分解因式为 ，所以 .
但小白在学习中发现，对于 还可以使用以下方法分解因式.
.
这种在二次三项式 中先加上9，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了.
（1）请使用小白发现的方法把 分解因式；
（2）填空：x2-10xy+9y2=x2-10xy+ +9y2- =(x-5y)2-16y2
=（x-5y）2-（ ）2=[（x-5y）+ ][（x-5y）- ]
=（x-y）（x- ）.
（3）请用两种不同方法分解因式 .
五、综合题
20．（2023七下·宁远期中）提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
（1）基础运用：把多项式进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
21．（2022七下·北仑期中）几何和代数是密切相关的.
（1）如图 1， 这是由四个小长方形拼成的大长方形.我们发现：
12
所以得到等式：
上述等式的变形过程叫 .
（2）利用图 2， 请你仿照上述的过程， 请把用两个多项式的乘积表示， 直接写出结果.
（3）如图3， 已有这些小长方形和小正方形.请你利用所有的图形拼出一个大的长方形， 并给出一个与 （1） 中结论类似的等式.
22．（2020八下·宝安期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即
令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．
令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，得 ，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式 分解因式；
（2）若多项式 含有因式 及 ，求a+ b 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
A、从左到右的变形不为因式分解，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义结合题意运用公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可求解。
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】A ： x2+y2≠（x+y）2，所以不对；
B ： 右边是多项式，不符合因式分解定义，所以不对；
C ： x2-x-6=(x-3)(x+2)，且符合因式分解定义，所以属于因式分解；
D：(x+y)(x-y)=x2-y2，但是右边是多项式，不属于因式分解；
故答案为：C.
【分析】根据整式乘法和因式分解的定义进行选择即可。
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、原式＝x（x﹣1），故此选项错误；
B、原式＝（a﹣4）（a+1），故此选项错误；
C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，故此选项错误；
D、原式＝（x+y）（x﹣y），故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】A、原式提取公因式x得到结果，即可做出判断；B、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断；C、等式左边不是完全平方式，不能利用完全平方公式分解；D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵
∴或
∴或，
故答案为：D.
【分析】利用十字相乘法分解可得x2+5x-14=(x-2)(x+7)，结合已知条件可得a、b、c的值，然后代入a+2c中进行计算.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故答案为：D
【分析】A、提公因式x即可分解，然后判断；
B、利用十字相乘法进行分解，再判断即可；
C、利用完全平方公式分解，再判断即可；
D、利用平方差公式分解，再判断即可；
6．【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，多项式可因式分解成，
，，，
，
故答案为：A.
【分析】首先将多项式利用十字相乘法分解因式，然后结合已知求出a、b、c，再代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：①2x2-x=x（2x-1），
②x2+4+4x=（x+2）2，
③x2+x-2=（x+2）（x-1），
④-x2+4x-4=-（x-2）2，
即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④没有相同的因式，
故答案为：C.
【分析】根据提取公因式、公式法、十字相乘法分别将因式分解，再判断即可.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，分解不彻底，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、此题没有公因式可提，只能直接利用平方差公式分解，据此判断此选项；
B、先提取公因式法分解，再利用十字相乘法分解到每一个因式都不能再分解为止，据此判断此选项；
C、直接利用平方差公式分解后，括号内再合并同类项，据此可判断此选项；
D、直接利用完全平方公式分解，据此可判断此选项.
9．【答案】（x-2y）（x+3y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（x-2y）（x+3y），
故答案为：（x-2y）（x+3y）.
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
10．【答案】m(x+1)(x+5)
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为 m(x+1)(x+5)
【分析】先进行提公因式，再根据十字相乘法分解即可。
11．【答案】6a+8b
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵长方形的面积=2a2+3b2+7ab=（a+3b）（2a+b）
∴长方形的长和宽为：a+3b、2a+b
∴长方形的周长=（a+3b+2a+b）×2=6a+8b.
故答案为：6a+8b
【分析】先根据各纸片的面积求出长方形的面积的表达式，然后因式分解得到长方形长和宽，最后即可求出长方形的周长.
12．【答案】（x﹣4）（x+2）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x+2）．
【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可。
13．【答案】（2x+y-3）（x-11y+1）
【知识点】解二元一次方程组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
设，
∴，
解得m=-3，n=1，
∴，
故填： （2x+y-3）（x-11y+1）.
【分析】先运用十字相乘法分解 2x2﹣21xy﹣11y2 ，然后设，比较系数即可列出关于m、n的方程组，解方程组即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
15．【答案】解：由②得： ，
∴ 或
解得： 或 ，
∴原方程组的解为： 或
【知识点】二元一次方程组的解；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】先根据十字相乘法分解②，进而可将原方程组化为 或 ，进而即可求出解集。
16．【答案】解：分解因式 时，甲看错了 值，
分解的结果是 ，
且 ，
∴ .
∵乙看错了 值，分解的结果是 ，
且 ，
∴
∴
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】由于甲看错了a值，分解的结果是 ，先根据整式的乘法计算，然后根据恒等的关系求出b的值；再根据乙看错了b值，分解的结果是(x-2)(x-3)，可求出a的值，最后代值计算即可.
17．【答案】解：∵x﹣y=4，x﹣3y=2；
∴x2﹣4xy+3y2=（x﹣y）（x﹣3y）=4×2=8．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】由x2﹣4xy+3y2=（x﹣y）（x﹣3y），直接将x﹣y=4，x﹣3y=2代入，即可求得答案．
18．【答案】解：原式=x4+4+4x2﹣4x2
=x4+4x2+4﹣4x2
=（x2+2）2﹣4x2
=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】首先添项，利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
19．【答案】（1）解：
=
=
=
=
= ；
（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y
（3）解法1：原式 .
解法2：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（2）解：
=
=
=
=
=（x-y）（x-9y）
故答案为： ； ； ； ； ； ；
【分析】（1）在 上加16减去16，仿照小白的解法，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）在原多项式上加 再减去 ，仿照小白的解法解答；
（3）将 分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加 再减去 仿照小白的解法解答.
20．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用阅读材料利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可.
21．【答案】（1）因式分解
（2）
（3）解：结合已知的矩形形状，作出的图：
，
∵，
又∵
∴有等式：，
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据因式分解的定义可知：等式变形过程叫：因式分解，
故答案为：因式分解；
（2）∵，
又∵
∴，
故答案为：；
【分析】（1）将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形，就是因式分解，据此即可判断得出答案；
（2）首先表示出大长方形的长为（2x+y），宽为（2x+8），根据长方形的面积等于长乘以宽可得S大长方形=，再根据各个小图形的面积之和等于整个大长方形的面积可得S大长方形=，由用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，即可得出答案；
（3）先求出图3中所有图形的面积之和，再利用因式分解计算即可.
22．【答案】（1）解： ；
令： ，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，
解得： ，
从而 =x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设 （其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程 的解，
所以 ，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值代入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
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(沪教版五四制)2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
A、从左到右的变形不为因式分解，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义结合题意运用公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可求解。
2．（2023七下·道县期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】A ： x2+y2≠（x+y）2，所以不对；
B ： 右边是多项式，不符合因式分解定义，所以不对；
C ： x2-x-6=(x-3)(x+2)，且符合因式分解定义，所以属于因式分解；
D：(x+y)(x-y)=x2-y2，但是右边是多项式，不属于因式分解；
故答案为：C.
【分析】根据整式乘法和因式分解的定义进行选择即可。
3．（2022八上·江油月考）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、原式＝x（x﹣1），故此选项错误；
B、原式＝（a﹣4）（a+1），故此选项错误；
C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，故此选项错误；
D、原式＝（x+y）（x﹣y），故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】A、原式提取公因式x得到结果，即可做出判断；B、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断；C、等式左边不是完全平方式，不能利用完全平方公式分解；D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
4．（2022九上·遵义月考）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为（ ）
A．-12 B．3 C．-3或12 D．3或12
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵
∴或
∴或，
故答案为：D.
【分析】利用十字相乘法分解可得x2+5x-14=(x-2)(x+7)，结合已知条件可得a、b、c的值，然后代入a+2c中进行计算.
5．（2022八上·津南期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故答案为：D
【分析】A、提公因式x即可分解，然后判断；
B、利用十字相乘法进行分解，再判断即可；
C、利用完全平方公式分解，再判断即可；
D、利用平方差公式分解，再判断即可；
6．（2022·台湾）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（ ）
A．-12 B．-3 C．3 D．12
【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，多项式可因式分解成，
，，，
，
故答案为：A.
【分析】首先将多项式利用十字相乘法分解因式，然后结合已知求出a、b、c，再代入计算即可.
7．（2022七下·杭州期中）因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（ ）
A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：①2x2-x=x（2x-1），
②x2+4+4x=（x+2）2，
③x2+x-2=（x+2）（x-1），
④-x2+4x-4=-（x-2）2，
即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④没有相同的因式，
故答案为：C.
【分析】根据提取公因式、公式法、十字相乘法分别将因式分解，再判断即可.
8．（2022七下·港北期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5）
C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，分解不彻底，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、此题没有公因式可提，只能直接利用平方差公式分解，据此判断此选项；
B、先提取公因式法分解，再利用十字相乘法分解到每一个因式都不能再分解为止，据此判断此选项；
C、直接利用平方差公式分解后，括号内再合并同类项，据此可判断此选项；
D、直接利用完全平方公式分解，据此可判断此选项.
二、填空题
9．因式分解： ．
【答案】（x-2y）（x+3y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（x-2y）（x+3y），
故答案为：（x-2y）（x+3y）.
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
10．（2023·巴中模拟）因式分解： ．
【答案】m(x+1)(x+5)
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为 m(x+1)(x+5)
【分析】先进行提公因式，再根据十字相乘法分解即可。
11．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 用a、b代数式表示
【答案】6a+8b
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵长方形的面积=2a2+3b2+7ab=（a+3b）（2a+b）
∴长方形的长和宽为：a+3b、2a+b
∴长方形的周长=（a+3b+2a+b）×2=6a+8b.
故答案为：6a+8b
【分析】先根据各纸片的面积求出长方形的面积的表达式，然后因式分解得到长方形长和宽，最后即可求出长方形的周长.
12．（2023·广东模拟）分解因式：x2﹣2x﹣8= ．
【答案】（x﹣4）（x+2）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x+2）．
【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可。
13．（2021七下·镇海期末）阅读下面材料：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
∵x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝ ．
【答案】（2x+y-3）（x-11y+1）
【知识点】解二元一次方程组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
设，
∴，
解得m=-3，n=1，
∴，
故填： （2x+y-3）（x-11y+1）.
【分析】先运用十字相乘法分解 2x2﹣21xy﹣11y2 ，然后设，比较系数即可列出关于m、n的方程组，解方程组即可得出答案.
14．（2020·内江）分解因式：
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
三、计算题
15．（2023·杨浦模拟）解方程组：
【答案】解：由②得： ，
∴ 或
解得： 或 ，
∴原方程组的解为： 或
【知识点】二元一次方程组的解；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】先根据十字相乘法分解②，进而可将原方程组化为 或 ，进而即可求出解集。
四、解答题
16．在分解因式 时，甲看错了 值，分解的结果是 ，乙看错了 值，分解的结果是 ，求 的值.
【答案】解：分解因式 时，甲看错了 值，
分解的结果是 ，
且 ，
∴ .
∵乙看错了 值，分解的结果是 ，
且 ，
∴
∴
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】由于甲看错了a值，分解的结果是 ，先根据整式的乘法计算，然后根据恒等的关系求出b的值；再根据乙看错了b值，分解的结果是(x-2)(x-3)，可求出a的值，最后代值计算即可.
17．已知x﹣y=4，x﹣3y=2，求x2﹣4xy+3y2的值．
【答案】解：∵x﹣y=4，x﹣3y=2；
∴x2﹣4xy+3y2=（x﹣y）（x﹣3y）=4×2=8．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】由x2﹣4xy+3y2=（x﹣y）（x﹣3y），直接将x﹣y=4，x﹣3y=2代入，即可求得答案．
18．分解因式：x4+4．（提示：可通过添项，将多项式配成一个完全平方式，再进行分解）
【答案】解：原式=x4+4+4x2﹣4x2
=x4+4x2+4﹣4x2
=（x2+2）2﹣4x2
=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】首先添项，利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
19．（2021八上·喀什期末）我们知道形如 的二次三项式可以分解因式为 ，所以 .
但小白在学习中发现，对于 还可以使用以下方法分解因式.
.
这种在二次三项式 中先加上9，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了.
（1）请使用小白发现的方法把 分解因式；
（2）填空：x2-10xy+9y2=x2-10xy+ +9y2- =(x-5y)2-16y2
=（x-5y）2-（ ）2=[（x-5y）+ ][（x-5y）- ]
=（x-y）（x- ）.
（3）请用两种不同方法分解因式 .
【答案】（1）解：
=
=
=
=
= ；
（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y
（3）解法1：原式 .
解法2：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（2）解：
=
=
=
=
=（x-y）（x-9y）
故答案为： ； ； ； ； ； ；
【分析】（1）在 上加16减去16，仿照小白的解法，先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）在原多项式上加 再减去 ，仿照小白的解法解答；
（3）将 分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加 再减去 仿照小白的解法解答.
五、综合题
20．（2023七下·宁远期中）提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
（1）基础运用：把多项式进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用阅读材料利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可.
21．（2022七下·北仑期中）几何和代数是密切相关的.
（1）如图 1， 这是由四个小长方形拼成的大长方形.我们发现：
12
所以得到等式：
上述等式的变形过程叫 .
（2）利用图 2， 请你仿照上述的过程， 请把用两个多项式的乘积表示， 直接写出结果.
（3）如图3， 已有这些小长方形和小正方形.请你利用所有的图形拼出一个大的长方形， 并给出一个与 （1） 中结论类似的等式.
【答案】（1）因式分解
（2）
（3）解：结合已知的矩形形状，作出的图：
，
∵，
又∵
∴有等式：，
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据因式分解的定义可知：等式变形过程叫：因式分解，
故答案为：因式分解；
（2）∵，
又∵
∴，
故答案为：；
【分析】（1）将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形，就是因式分解，据此即可判断得出答案；
（2）首先表示出大长方形的长为（2x+y），宽为（2x+8），根据长方形的面积等于长乘以宽可得S大长方形=，再根据各个小图形的面积之和等于整个大长方形的面积可得S大长方形=，由用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，即可得出答案；
（3）先求出图3中所有图形的面积之和，再利用因式分解计算即可.
22．（2020八下·宝安期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即
令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．
令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，得 ，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式 分解因式；
（2）若多项式 含有因式 及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1）解： ；
令： ，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，
解得： ，
从而 =x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设 （其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程 的解，
所以 ，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值代入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
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