2023-2024学年高中数学人教B版（2019）必修一第一册 1.1 集合 同步练习
一、选择题
1．（2022高一上·重庆月考）下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高一上·贵港期末）若全集，集合，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高一上·青岛期末）已知集合，则的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023高一上·增城期末）设全集，若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高一上·江苏月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一上·朝阳期末）设集合，集合，则A与B的关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高一上·湖北月考）下列选项正确的是（ ）
A．若集合有个子集，则
B．若集合，则
C．若集合，，若，则的取值范围是
D．若集合，，则
8．（2023高一上·钦州期末）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域.以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域.其中正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022高一上·河北期中）已知集合，若，则a的值为 ．
10．（2022高一上·湖北月考）已知全集，，则 .
11．（2023高一上·郴州期末）已知集合，且，则实数a的取值范围为 .
12．（2022高一上·广丰月考）已知，，若，则实数的取值范围是 .
13．（2022高一上·广丰月考）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是 ．
14．（2022高一上·如皋期中）已知集合，则 .
三、解答题
15．（2023高一上·孝义期末）已知集合，，，全集为实数集R．
（1）求，；
（2）若，求a的取值范围．
16．（2023高一上·佛山期末）已知集合，，其中．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
17．（2022高一上·清远月考）在①是的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若选__________，求实数m的取值范围.
18．（2023高一上·桐柏期末）已知集合．
（1）若时，求；
（2）时，求a的取值范围．
19．（2023高一上·闵行期末）设集合．
（1）若，试用区间表示集合A、B，并求；
（2）若，求实数a的取值范围．
20．（2023高一上·河北期末）记不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
21．（2023高一上·张家口期末）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，且满足，求实数的取值范围.
22．（2023高一上·延庆期末）已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
（1）判断是否正确？并说明理由；
（2）证明：．
答案解析部分
1．【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】A：由集合相等易知，A符合题意；
B：，B不正确；
C：，故正确；
D：空集是任何集合的子集，则，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用集合相等的判断方法、元素与集合的关系、集合的包含关系判断方法，进而找出关系正确的选项。
2．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为全集，集合，
所以，
所以，
所以只有C的集合符合条件，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合交集和补集的运算法则，进而得出集合A。
3．【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，元素个数为2，
故答案为：C.
【分析】运用集合的交并集运算计算，再判断元素个数.
4．【答案】A,B,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】对于A，，，A符合题意；
对于B，，，B符合题意；
对于C， ，，C符合题意；
对于D，当时，，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则、并集的运算法则、补集的运算法则和集合间的包含关系，从而找出结论正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由，可得，所以，
由，可得，所以，
所以是的真子集，所以。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合M，再利用绝对值不等式求解方法得出集合N，再利用并集和补集的运算法则得出集合。
6．【答案】A
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；交集及其运算
【解析】【解答】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合终边相等的角的集合判断方法，进而判断出两集合的包含关系。
7．【答案】B,D
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【解答】对于A选项，若集合有个子集，则关于的方程只有一个实数解.
当时，则有，解得，合乎题意，
当时，则，解得.
因此，若集合有个子集，则或，A不符合题意；
对于B选项，若集合，则，即，故，B对；
对于C选项，集合，，且，则，C不符合题意；
对于D选项，因为集合，
，
所以，集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，故，D对.
故答案为：BD.
【分析】 由题意知，集合A中只有1个元素，再分a=0和a≠0两种情况，讨论求解，即可判断A；根据集合相等求出a，b，c可判断B；由，得，可判断C；集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，可判断D.
8．【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系
【解析】【解答】对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3，...1+2018=2019，②正确；
对于③，当时，，③错误；
对于④，如果，，则则，，，且时，，所以有理数集是一个数域.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数域的定义和元素与集合的关系，进而找出正确的选项。
9．【答案】-2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.
当时，，不合题意，舍去.
故．
故答案为：-2.
【分析】 根据题意，分别令和两种情况结合集合的性质进行讨论，可求出 a的值 .
10．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由可得，解得或，即或，
又因为，因此，.
故答案为：.
【分析】先求出分式不等式，然后结合补集的定义即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合并集和补集的运算法则，从而得出实数a的取值范围。
12．【答案】或
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴①时，，
解得；
②时，或，
解得或，
∴的取值范围是或 .
故答案为：或.
【分析】根据即可讨论B： 时，；时，或，然后解出a的范围.
13．【答案】4
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：4
【分析】根据新定义求出 中元素的个数 .
14．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，
故.
故答案为：
【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算可得答案.
15．【答案】（1）解：因为，
或，又，
，或；
（2）解：因为，，且
所以.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求；
（2）由交集的性质，说明集合A与C必有公共元素，可求a的取值范围.
16．【答案】（1）解：由得：，即；
，；
当时，满足，此时，即；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知：；
当时，，解得：；
当时，或，解得：；
当时，，当时，.
【知识点】空集；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合交集与集合包含关系的关系，再利用分类讨论的方法和集合的包含关系，进而借助数轴求出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合交集的运算法则和空集的定义，进而结合分类讨论的方法从而借助数轴求出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）解：当时，集合，，
所以；
（2）解：选择①：因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
因为，所以，
又因为，
所以（等号不同时成立），
解得，
因此实数m的取值范围是.
选择②：因为，所以.
因为，所以，
又因为，所以，
解得，
因此实数m的取值范围是.
选择③：因为，
而，且不为空集，
，
所以或，
解得或，
故实数m的取值范围是或.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，，由交集的定义求解即可；
(2)若选①，则可得集合是集合 的真子集，根据集合间的包含关系列出不等求解即可；
若②则有，根据集合间包含关系列出不等求解即可；
若选③，由，，可得或，求解即可.
18．【答案】（1）解：时，，
或.
（2）解：因为，又，∴
∴，A的取值范围.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）根据并集的定义进行运算即可；
（2）由 得 ，则 ，求解可得 a的取值范围．
19．【答案】（1）解：当时，由得，所以.
由得，所以，
所以.
（2）解：由得，所以，
由于，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合绝对值、不等式的解法，求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解出 ；
(2)根据已知条件，结合AB，即可求解出实数a的取值范围．
20．【答案】（1）解：当时，
的解为或
（2）解：
a的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）分别求出集合，再求并集即可；
（2）分别求出集合和，它们的交集不为空集，列出不等式求解.
21．【答案】（1）解：，
当时，或，
所以或；
（2）解：当时，或，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）分别解出两个不等式，求出集合A，B，从而可求出；
（2）求出集合B，再由列不等式可求出实数的取值范围.
22．【答案】（1）解：不正确.
例如：.
当时，因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
而此时，
所以对任意不正确.
（2）证明：①若，则.
此时有，且，或且，或且三种情况
当且时，，此时.
当且时，，此时.
当且时，，此时.
因此成立.
②若，则.
此时，且，则.
此时.
因此成立.
综合①②可知，成立.
【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）利用集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意，再结合并集的运算法则和元素与集合的关系，进而判断出对任意不正确。
（2）利用集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意，再结合分类讨论的方法，从而利用交集的运算法则和元素与集合的关系，进而证出 成立。
1 / 12023-2024学年高中数学人教B版（2019）必修一第一册 1.1 集合 同步练习
一、选择题
1．（2022高一上·重庆月考）下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】A：由集合相等易知，A符合题意；
B：，B不正确；
C：，故正确；
D：空集是任何集合的子集，则，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用集合相等的判断方法、元素与集合的关系、集合的包含关系判断方法，进而找出关系正确的选项。
2．（2022高一上·贵港期末）若全集，集合，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为全集，集合，
所以，
所以，
所以只有C的集合符合条件，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合交集和补集的运算法则，进而得出集合A。
3．（2023高一上·青岛期末）已知集合，则的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，元素个数为2，
故答案为：C.
【分析】运用集合的交并集运算计算，再判断元素个数.
4．（2023高一上·增城期末）设全集，若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】对于A，，，A符合题意；
对于B，，，B符合题意；
对于C， ，，C符合题意；
对于D，当时，，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则、并集的运算法则、补集的运算法则和集合间的包含关系，从而找出结论正确的选项。
5．（2022高一上·江苏月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由，可得，所以，
由，可得，所以，
所以是的真子集，所以。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合M，再利用绝对值不等式求解方法得出集合N，再利用并集和补集的运算法则得出集合。
6．（2023高一上·朝阳期末）设集合，集合，则A与B的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；交集及其运算
【解析】【解答】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合终边相等的角的集合判断方法，进而判断出两集合的包含关系。
7．（2022高一上·湖北月考）下列选项正确的是（ ）
A．若集合有个子集，则
B．若集合，则
C．若集合，，若，则的取值范围是
D．若集合，，则
【答案】B,D
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【解答】对于A选项，若集合有个子集，则关于的方程只有一个实数解.
当时，则有，解得，合乎题意，
当时，则，解得.
因此，若集合有个子集，则或，A不符合题意；
对于B选项，若集合，则，即，故，B对；
对于C选项，集合，，且，则，C不符合题意；
对于D选项，因为集合，
，
所以，集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，故，D对.
故答案为：BD.
【分析】 由题意知，集合A中只有1个元素，再分a=0和a≠0两种情况，讨论求解，即可判断A；根据集合相等求出a，b，c可判断B；由，得，可判断C；集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，可判断D.
8．（2023高一上·钦州期末）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域.以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域.其中正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系
【解析】【解答】对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3，...1+2018=2019，②正确；
对于③，当时，，③错误；
对于④，如果，，则则，，，且时，，所以有理数集是一个数域.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数域的定义和元素与集合的关系，进而找出正确的选项。
二、填空题
9．（2022高一上·河北期中）已知集合，若，则a的值为 ．
【答案】-2
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.
当时，，不合题意，舍去.
故．
故答案为：-2.
【分析】 根据题意，分别令和两种情况结合集合的性质进行讨论，可求出 a的值 .
10．（2022高一上·湖北月考）已知全集，，则 .
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由可得，解得或，即或，
又因为，因此，.
故答案为：.
【分析】先求出分式不等式，然后结合补集的定义即可求出答案.
11．（2023高一上·郴州期末）已知集合，且，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合并集和补集的运算法则，从而得出实数a的取值范围。
12．（2022高一上·广丰月考）已知，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵，
∴①时，，
解得；
②时，或，
解得或，
∴的取值范围是或 .
故答案为：或.
【分析】根据即可讨论B： 时，；时，或，然后解出a的范围.
13．（2022高一上·广丰月考）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是 ．
【答案】4
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：4
【分析】根据新定义求出 中元素的个数 .
14．（2022高一上·如皋期中）已知集合，则 .
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，
故.
故答案为：
【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算可得答案.
三、解答题
15．（2023高一上·孝义期末）已知集合，，，全集为实数集R．
（1）求，；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
或，又，
，或；
（2）解：因为，，且
所以.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求；
（2）由交集的性质，说明集合A与C必有公共元素，可求a的取值范围.
16．（2023高一上·佛山期末）已知集合，，其中．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由得：，即；
，；
当时，满足，此时，即；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知：；
当时，，解得：；
当时，或，解得：；
当时，，当时，.
【知识点】空集；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合交集与集合包含关系的关系，再利用分类讨论的方法和集合的包含关系，进而借助数轴求出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合交集的运算法则和空集的定义，进而结合分类讨论的方法从而借助数轴求出实数a的取值范围。
17．（2022高一上·清远月考）在①是的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若选__________，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，，
所以；
（2）解：选择①：因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
因为，所以，
又因为，
所以（等号不同时成立），
解得，
因此实数m的取值范围是.
选择②：因为，所以.
因为，所以，
又因为，所以，
解得，
因此实数m的取值范围是.
选择③：因为，
而，且不为空集，
，
所以或，
解得或，
故实数m的取值范围是或.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，，由交集的定义求解即可；
(2)若选①，则可得集合是集合 的真子集，根据集合间的包含关系列出不等求解即可；
若②则有，根据集合间包含关系列出不等求解即可；
若选③，由，，可得或，求解即可.
18．（2023高一上·桐柏期末）已知集合．
（1）若时，求；
（2）时，求a的取值范围．
【答案】（1）解：时，，
或.
（2）解：因为，又，∴
∴，A的取值范围.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）根据并集的定义进行运算即可；
（2）由 得 ，则 ，求解可得 a的取值范围．
19．（2023高一上·闵行期末）设集合．
（1）若，试用区间表示集合A、B，并求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，由得，所以.
由得，所以，
所以.
（2）解：由得，所以，
由于，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合绝对值、不等式的解法，求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解出 ；
(2)根据已知条件，结合AB，即可求解出实数a的取值范围．
20．（2023高一上·河北期末）记不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
的解为或
（2）解：
a的取值范围为
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）分别求出集合，再求并集即可；
（2）分别求出集合和，它们的交集不为空集，列出不等式求解.
21．（2023高一上·张家口期末）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，且满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
当时，或，
所以或；
（2）解：当时，或，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）分别解出两个不等式，求出集合A，B，从而可求出；
（2）求出集合B，再由列不等式可求出实数的取值范围.
22．（2023高一上·延庆期末）已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
（1）判断是否正确？并说明理由；
（2）证明：．
【答案】（1）解：不正确.
例如：.
当时，因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
而此时，
所以对任意不正确.
（2）证明：①若，则.
此时有，且，或且，或且三种情况
当且时，，此时.
当且时，，此时.
当且时，，此时.
因此成立.
②若，则.
此时，且，则.
此时.
因此成立.
综合①②可知，成立.
【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）利用集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意，再结合并集的运算法则和元素与集合的关系，进而判断出对任意不正确。
（2）利用集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意，再结合分类讨论的方法，从而利用交集的运算法则和元素与集合的关系，进而证出 成立。
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