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(沪教版五四制)2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022·新都模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果多项式 分解因式为 ，那么 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．12 D．-12
3．如果二次三项式 可以分解因式为 （x+q）·（x-2），那么 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
4．（2022八下·长沙开学考）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
5．（2021八上·玉林期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·弋江期末）分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7）
C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）
7．（2021八上·江油期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．x2﹣4x+4＝（x﹣4）2
D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
8．（2021八上·福绵期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022七上·芷江月考）分解因式：
10．（2022·博山模拟）分解因式： ．
11．（2022·内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ .
12．（2022·武威会考）因式分解： .
三、计算题
13．（2023八上·平昌期末）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
14．若x2﹣4x+m可分解成（x+3）（x﹣7），求m的值．
15．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，求整数m的值．
五、综合题
16．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值.
方法一设另一个因式为 ，得
，
则 ，
∴ 解得 ，
∴另一个因式为 的值为 .
方法二：设另一个因式为 ，得
，
∴当 时， ，
即 ，解得 ，
∴
，
∴另一个因式为 的值为-21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 .
（2）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
17．（2021八上·嵩县期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
B、根据完全平方差公式可知，故本选项不符合题意；
C、根据十字相乘法分解因式可知，故本选项符合题意；
D、该运算属于整式乘法，得到了展开式而不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、无法进行因式分解；将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此即可判断B、C、D.
2．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ∵
=
=x2+2x-35.
∴-m=2，
∴m=-2.
故答案为：A.
【分析】先进行多项式乘以多项式的运算，然后比较一次项的系数，即可求出结果.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： = ，
∴= ，
∴，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先进行多项式乘多项式的运算将 展开，再根据恒等的关系，建立关于p、q的二元一次方程求解，即可解答.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、x2＋9不能分解，所以A选项不符合题意；
B、x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3），所以B选项符合题意；
C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；
D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】x2＋9、x2＋2x-1不能分解，据此判断A、D；利用十字相乘法可判断B；对C中的式子提取3即可判断.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵2a 2b＝2（a b），故选项A正确；
x2 9＝（x＋3）（x 3），故选项B正确；
a2＋4a 4≠（a 2）2，故选项C错误；
x2 x＋2＝ （x2＋x 2）＝ （x 1）（x＋2），故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】直接提取公因式2，分解因式，据此即可判断；两项的符号相反，都可以写成一个整式的完全平方，故直接利用平方差公式分解，据此即可判断B；因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形，据此即可判断C；先利用添括号法则，将整个多项式放到一个带负号的括号内，进而将括号内的多项式利用十字相乘法分解因式，据此即可判断D.
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、 a（x+y）＝ax+ay ，是多项式乘法，错误；
B、 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） 是因式分解，正确；
C、 x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 ，因式分解的结果不对，错误；
D、 x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x ，不是因式分解，错误；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式分解成几个因式连乘积的形式叫因式分解，根据定义分别判断，即可作答.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】A、原式不能分解，故答案为：A错误，符合题意；
B、 ，故答案为：B正确，不符合题意；
C、 ，故答案为：C正确，不符合题意；
D、 ，故答案为：D正确，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、a2+4a-4不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解，即可判断A错误；
B、利用提公因式法进行因式分解，即可判断B正确；
C、利用平方差公式进行因式分解，即可判断C正确；
D、利用十字相乘法进行因式分解，即可判断D正确.
9．【答案】（3x+5y）（2x-y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：（3x+5y）（2x-y）.
【分析】直接利用十字相乘法分解即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
11．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）.
【分析】首先利用十字相乘法分解可得原式=(a2+1)(a2-4)，然后对后面括号中的式子利用平方差公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：采取十字相乘因式分解法直接分解，
，
故答案为：.
【分析】观察二次项的系数为1，一次项的系数的绝对值为8，常数项为-9（9×1=9，9-1=8），因此利用十字相乘法分解因式即可.
13．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）观察发现，含有公因式2a2b，直接提取公因式即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）首先提取2，然后利用平方差公式分解即可；
（4）利用十字相乘法分解即可.
14．【答案】解：∵x2﹣4x+m可分解成（x+3）（x﹣7），且（x+3）（x﹣7）=x2﹣4x﹣21，
∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21，
∴m=﹣21．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】由因式分解的定义，可得x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21，继而求得m的值．
15．【答案】解：∵能在整数范围内分解因式：﹣6=﹣3×2，﹣6=﹣6×1，﹣6=2×（﹣3），﹣6=（﹣1）×6，
∴m=±5，m=±1．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）求出即可．
16．【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为 ，得 ，则 ，
∴ 解得
故另一个因式为 的值为5.
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：(1)设另一个因式为：x+n，
∴ ，
∴，
∴n-3=-p，-3n=-6，
∴n=2，p=1.
故答案为：1.
【分析】(1)设另一个因式为：x+n，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系列等式计算，即可解答；
(2)设另一个因式为：x+a，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系，即等式两边相同指数项的系数相等列等式计算，即可解答.
17．【答案】（1）解：
x2﹣6x＋8
（2）解：令 ，
则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3 =
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）观察此二次三项式，二次项系数为1，一次项系数为负数，常数项为正数，因此将常数项8分解为-2×（-4），且一次项系数-6=-2+（-4），据此分解因式；
（2）将（x-y）看着整体，观察系数特点，可得到3=1×3，4=1+3，再分解因式即可.
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(沪教版五四制)2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022·新都模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
B、根据完全平方差公式可知，故本选项不符合题意；
C、根据十字相乘法分解因式可知，故本选项符合题意；
D、该运算属于整式乘法，得到了展开式而不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、无法进行因式分解；将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此即可判断B、C、D.
2．如果多项式 分解因式为 ，那么 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．12 D．-12
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ∵
=
=x2+2x-35.
∴-m=2，
∴m=-2.
故答案为：A.
【分析】先进行多项式乘以多项式的运算，然后比较一次项的系数，即可求出结果.
3．如果二次三项式 可以分解因式为 （x+q）·（x-2），那么 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： = ，
∴= ，
∴，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先进行多项式乘多项式的运算将 展开，再根据恒等的关系，建立关于p、q的二元一次方程求解，即可解答.
4．（2022八下·长沙开学考）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3）
C．3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y） D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、x2＋9不能分解，所以A选项不符合题意；
B、x2＋x﹣6＝（x﹣2）（x＋3），所以B选项符合题意；
C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；
D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】x2＋9、x2＋2x-1不能分解，据此判断A、D；利用十字相乘法可判断B；对C中的式子提取3即可判断.
5．（2021八上·玉林期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵2a 2b＝2（a b），故选项A正确；
x2 9＝（x＋3）（x 3），故选项B正确；
a2＋4a 4≠（a 2）2，故选项C错误；
x2 x＋2＝ （x2＋x 2）＝ （x 1）（x＋2），故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】直接提取公因式2，分解因式，据此即可判断；两项的符号相反，都可以写成一个整式的完全平方，故直接利用平方差公式分解，据此即可判断B；因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形，据此即可判断C；先利用添括号法则，将整个多项式放到一个带负号的括号内，进而将括号内的多项式利用十字相乘法分解因式，据此即可判断D.
6．（2021八上·弋江期末）分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7）
C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
7．（2021八上·江油期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．x2﹣4x+4＝（x﹣4）2
D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、 a（x+y）＝ax+ay ，是多项式乘法，错误；
B、 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） 是因式分解，正确；
C、 x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 ，因式分解的结果不对，错误；
D、 x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x ，不是因式分解，错误；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式分解成几个因式连乘积的形式叫因式分解，根据定义分别判断，即可作答.
8．（2021八上·福绵期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】A、原式不能分解，故答案为：A错误，符合题意；
B、 ，故答案为：B正确，不符合题意；
C、 ，故答案为：C正确，不符合题意；
D、 ，故答案为：D正确，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、a2+4a-4不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解，即可判断A错误；
B、利用提公因式法进行因式分解，即可判断B正确；
C、利用平方差公式进行因式分解，即可判断C正确；
D、利用十字相乘法进行因式分解，即可判断D正确.
二、填空题
9．（2022七上·芷江月考）分解因式：
【答案】（3x+5y）（2x-y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：（3x+5y）（2x-y）.
【分析】直接利用十字相乘法分解即可.
10．（2022·博山模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
11．（2022·内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ .
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）.
【分析】首先利用十字相乘法分解可得原式=(a2+1)(a2-4)，然后对后面括号中的式子利用平方差公式分解即可.
12．（2022·武威会考）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：采取十字相乘因式分解法直接分解，
，
故答案为：.
【分析】观察二次项的系数为1，一次项的系数的绝对值为8，常数项为-9（9×1=9，9-1=8），因此利用十字相乘法分解因式即可.
三、计算题
13．（2023八上·平昌期末）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）观察发现，含有公因式2a2b，直接提取公因式即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）首先提取2，然后利用平方差公式分解即可；
（4）利用十字相乘法分解即可.
四、解答题
14．若x2﹣4x+m可分解成（x+3）（x﹣7），求m的值．
【答案】解：∵x2﹣4x+m可分解成（x+3）（x﹣7），且（x+3）（x﹣7）=x2﹣4x﹣21，
∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21，
∴m=﹣21．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】由因式分解的定义，可得x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21，继而求得m的值．
15．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，求整数m的值．
【答案】解：∵能在整数范围内分解因式：﹣6=﹣3×2，﹣6=﹣6×1，﹣6=2×（﹣3），﹣6=（﹣1）×6，
∴m=±5，m=±1．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）求出即可．
五、综合题
16．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值.
方法一设另一个因式为 ，得
，
则 ，
∴ 解得 ，
∴另一个因式为 的值为 .
方法二：设另一个因式为 ，得
，
∴当 时， ，
即 ，解得 ，
∴
，
∴另一个因式为 的值为-21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 .
（2）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为 ，得 ，则 ，
∴ 解得
故另一个因式为 的值为5.
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：(1)设另一个因式为：x+n，
∴ ，
∴，
∴n-3=-p，-3n=-6，
∴n=2，p=1.
故答案为：1.
【分析】(1)设另一个因式为：x+n，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系列等式计算，即可解答；
(2)设另一个因式为：x+a，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系，即等式两边相同指数项的系数相等列等式计算，即可解答.
17．（2021八上·嵩县期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【答案】（1）解：
x2﹣6x＋8
（2）解：令 ，
则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3 =
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）观察此二次三项式，二次项系数为1，一次项系数为负数，常数项为正数，因此将常数项8分解为-2×（-4），且一次项系数-6=-2+（-4），据此分解因式；
（2）将（x-y）看着整体，观察系数特点，可得到3=1×3，4=1+3，再分解因式即可.
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