2023-2024学年初中数学七年级上册9.16 分组分解法 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022七上·芷江月考）把分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】此题采用分组分解法，首先将原式进行“一三”分组，进而将三项那一组利用完全平方公式分解因式，进而再利用平方差公式继续分解即可.
2．（2022八下·章丘期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（ ）
A．a2＋4 B．a2＋2a＋1 C．a2－1 D．9a2－6a＋1
【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、在实数范围内不能进行因式分解，则此项符合题意；
B、，则此项不符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、，则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法和公式法逐项判断即可。
3．（2023七下·台儿庄期中）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） B．a3-b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3-b3＝（a-b）（a2-ab+b2） D．a3-b3＝（a+b）（a2+ab-b2）
【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，
∴ a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） ，
故答案为：A.
【分析】利用因式分解法分解因式即可。
4．（2023八下·泗县期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为x， 常数项为
故答案为：A
【分析】根据题意先求出，再求出a=1即可作答。
5．（2022八上·威远期中）已知是正整数，，且，则等于（ ）
A．-1 B．1或23 C．1 D．-1或23
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵x2-xy-xz+yz=23，
∴x（x-y）-z（x-y）=23
∴（x-y）（x-z）=23，
∵x，y，z为正整数，x＞y，
∴x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，
∴x-y=1，x-z=23或x-y=23，x-z=1.
故答案为：B
【分析】利用分组分解法和提公因式法将等式的右边分解因式，可得到（x-y）（x-z）=23，再根据x，y，z为正整数，x＞y，可知x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，由此可求出x-z的值.
6．（2022八上·嘉定期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ，只有C选项 小于0 ，即C选项不能分解因式，
故答案为：C．
【分析】利用根的判别式逐项判断即可。
7．（2022七下·浙江）已知 ，则代数式 ab的值为（ ）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；等式的性质；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵a-b=3，b+c=-5，
∴a-b＋b＋c=3-5，
即a+c=-2，
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质把两式相加，得出a+c=-2，再把原式进行因式分解得出原式=（a-b）（a+c），然后再代入进行计算，即可得出答案.
8．下列各式中，计算结果是x3+4x2-7x-28的是（ ）
A．（x2+7）（x+4） B．（x2-2）（x+14）
C．（x+4）（x2-7） D．（x+7）（x2-4）
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解： x3+4x2-7x-28
=x2（x+4）-7（x+4）
=（x+4）（x2-7）.
故答案为：C.
【分析】利用分组分解法，找出公因式（x+4），利用提取公因式法进行因式分解即可.
二、填空题
9．（2023·杨浦模拟）如果关于x的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得．
故答案为：．
【分析】利用根的判别式列出不等式，再求出即可。
10．（2023·永嘉模拟）分解因式： .
【答案】（a+1）（a-1）（a-b）
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：原式=（a3-a2b）-（a-b）
=a2（a-b）-（a-b）
=（a-b）（a2-1）
=（a-b）（a+1）（a-1）.
故答案为：（a-b）（a+1）（a-1）.
【分析】先利用“二二”分组法将前两项与后两项分别分为一组，第一组内利用提取公因式法分解因式，进而在组间利用提取公因式法分解因式，最后再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
11．（2023八下·成都月考）分解因式： .
【答案】（x-2y）（x+2y+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：（x-2y）（x+2y+1）.
【分析】对前两项利用平方差公式分解可得原式=(x+2y)(x-2y)+(x-2y)，然后提取公因式(x-2y)即可.
12．（2023·宁波模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：时，解得或，
，
故答案为：
【分析】先利用公式法求出一元二次方程x2+3x+1=0的两个根，进而再因式分解即可.
三、计算题
13．（2023八下·定边期末） 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得.人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”。
根据以上方法，把下列各式因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）原式可变形为4x4+y4+4x2y2-4x2y2，然后对前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为a2-4am+4m2-4m2-n2+4mn=(a2-4am+4m2)-(4m2+n2-4mn)，对括号中的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用平方差公式分解即可.
四、解答题
14．（2022七下·滦南期末）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：＋4x＋3
解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6
【答案】解：原式=＋2x＋3x＋6
．
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】利用分组分解法分解因式即可。
15．（2021八下·建华期末）分解因式（在实数范围内）： ．
【答案】解：a3 3a =a(a2-3)
= ．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
五、综合题
16．（2022八上·临汾期末）材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
解答下列问题：
（1）分解因式：；
（2）请尝试用上面材料中的方法分解因式．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用分组分解因式的计算方法求解即可。
17．（2022八下·府谷期末）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.
例“两两分组”.
解：原式
例三一分组”.
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
分解因式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）先用分组分解法将原式进行二二分组，然后再利用提公因式法进行因式分解；
（2）先用分组分解法将原式进行三一分组，然后利用完全平方公式“”和平方差“”公式进行因式分解.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册9.16 分组分解法 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2022七上·芷江月考）把分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·章丘期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（ ）
A．a2＋4 B．a2＋2a＋1 C．a2－1 D．9a2－6a＋1
3．（2023七下·台儿庄期中）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） B．a3-b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3-b3＝（a-b）（a2-ab+b2） D．a3-b3＝（a+b）（a2+ab-b2）
4．（2023八下·泗县期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
5．（2022八上·威远期中）已知是正整数，，且，则等于（ ）
A．-1 B．1或23 C．1 D．-1或23
6．（2022八上·嘉定期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·浙江）已知 ，则代数式 ab的值为（ ）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
8．下列各式中，计算结果是x3+4x2-7x-28的是（ ）
A．（x2+7）（x+4） B．（x2-2）（x+14）
C．（x+4）（x2-7） D．（x+7）（x2-4）
二、填空题
9．（2023·杨浦模拟）如果关于x的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是 ．
10．（2023·永嘉模拟）分解因式： .
11．（2023八下·成都月考）分解因式： .
12．（2023·宁波模拟）因式分解： .
三、计算题
13．（2023八下·定边期末） 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得.人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”。
根据以上方法，把下列各式因式分解：
（1）；
（2）.
四、解答题
14．（2022七下·滦南期末）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：＋4x＋3
解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6
15．（2021八下·建华期末）分解因式（在实数范围内）： ．
五、综合题
16．（2022八上·临汾期末）材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
解答下列问题：
（1）分解因式：；
（2）请尝试用上面材料中的方法分解因式．
17．（2022八下·府谷期末）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.
例“两两分组”.
解：原式
例三一分组”.
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
分解因式：
（1）；
（2）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】此题采用分组分解法，首先将原式进行“一三”分组，进而将三项那一组利用完全平方公式分解因式，进而再利用平方差公式继续分解即可.
2．【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、在实数范围内不能进行因式分解，则此项符合题意；
B、，则此项不符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、，则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法和公式法逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，
∴ a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） ，
故答案为：A.
【分析】利用因式分解法分解因式即可。
4．【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为x， 常数项为
故答案为：A
【分析】根据题意先求出，再求出a=1即可作答。
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵x2-xy-xz+yz=23，
∴x（x-y）-z（x-y）=23
∴（x-y）（x-z）=23，
∵x，y，z为正整数，x＞y，
∴x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，
∴x-y=1，x-z=23或x-y=23，x-z=1.
故答案为：B
【分析】利用分组分解法和提公因式法将等式的右边分解因式，可得到（x-y）（x-z）=23，再根据x，y，z为正整数，x＞y，可知x-y＞0，x-z＞0且x-y和x-z为正整数，由此可求出x-z的值.
6．【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ，只有C选项 小于0 ，即C选项不能分解因式，
故答案为：C．
【分析】利用根的判别式逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；等式的性质；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵a-b=3，b+c=-5，
∴a-b＋b＋c=3-5，
即a+c=-2，
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质把两式相加，得出a+c=-2，再把原式进行因式分解得出原式=（a-b）（a+c），然后再代入进行计算，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解： x3+4x2-7x-28
=x2（x+4）-7（x+4）
=（x+4）（x2-7）.
故答案为：C.
【分析】利用分组分解法，找出公因式（x+4），利用提取公因式法进行因式分解即可.
9．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得．
故答案为：．
【分析】利用根的判别式列出不等式，再求出即可。
10．【答案】（a+1）（a-1）（a-b）
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：原式=（a3-a2b）-（a-b）
=a2（a-b）-（a-b）
=（a-b）（a2-1）
=（a-b）（a+1）（a-1）.
故答案为：（a-b）（a+1）（a-1）.
【分析】先利用“二二”分组法将前两项与后两项分别分为一组，第一组内利用提取公因式法分解因式，进而在组间利用提取公因式法分解因式，最后再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
11．【答案】（x-2y）（x+2y+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：（x-2y）（x+2y+1）.
【分析】对前两项利用平方差公式分解可得原式=(x+2y)(x-2y)+(x-2y)，然后提取公因式(x-2y)即可.
12．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：时，解得或，
，
故答案为：
【分析】先利用公式法求出一元二次方程x2+3x+1=0的两个根，进而再因式分解即可.
13．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）原式可变形为4x4+y4+4x2y2-4x2y2，然后对前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为a2-4am+4m2-4m2-n2+4mn=(a2-4am+4m2)-(4m2+n2-4mn)，对括号中的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用平方差公式分解即可.
14．【答案】解：原式=＋2x＋3x＋6
．
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】利用分组分解法分解因式即可。
15．【答案】解：a3 3a =a(a2-3)
= ．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
16．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用分组分解因式的计算方法求解即可。
17．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）先用分组分解法将原式进行二二分组，然后再利用提公因式法进行因式分解；
（2）先用分组分解法将原式进行三一分组，然后利用完全平方公式“”和平方差“”公式进行因式分解.
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