2023-2024学年初中数学七年级上册9.16 分组分解法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2021八上·杨浦期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
B、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
C、 ，判别式 ，在实数范围内一定不能因式分解，不符合题意；
D、 ，判别式 ，在实数范围内一定能因式分解，符合题意；
故答案为：D
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一个一元二次方程，计算判别式的值，若△＞0，即可判断在实数范围内因式分解.
2．（2021七下·怀柔期末）将 3a2m﹣6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：①3am（a﹣2n+1）；②3a（am+2mn﹣1）；③3a（am﹣2mn）；④3a（am﹣2mn+1）．其中，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： ；
∴只有④是正确的；
故答案为：D．
【分析】原式分解得到结果，即可作出判断。
3．（2021八下·杨浦期末）如果二次三项式 能在实数范围内分解因式，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，
∴△=16-4p≥0，
解得：p≤4，
故答案为：D．
【分析】先求出△=16-4p≥0，再计算求解即可。
4．（2021七下·合肥期末）若多项式 可分解为 ，且 ， ， 均为整数，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】
又
， ， 均为整数
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
5．（2021·南皮模拟）对于：
① ；② ；③ ；④ ．其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：① ，此项不符合题意；
② ，此项符合题意；
③ ，此项不符合题意；
④ ，此项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式、完全平方公式逐项判定即可。
6．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
7．（2021七下·普陀期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝ y，x2＝ y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）
故答案为：D．
【分析】把x看成未知数，把y看成常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案。
二、填空题
8．（2022八上·黄浦月考）在实数范围内分解因式： .
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】原式=
故填：
【分析】利用实数范围内的因式分解的方法求解即可。
9．（2019七上·静安期中）因式分解：a +2ab+b -3a-3b-4= .
【答案】(a+b-4)(a+b+1)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：a +2ab+b -3a-3b-4
=(a +2ab+b )-(3a-3b)-4
=(a+b)2-3(a+b)-4
=(a+b-4)(a+b+1)
故答案为：(a+b-4)(a+b+1)
【分析】先把多项式分组为(a +2ab+b )-(3a-3b)-4=(a+b)2-3(a+b)-4，再把a+b看成整体用因式分解法进行分解.
10．（2018八上·浦东期中）在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：令 ，
这里 ， ， ，
，
，
则 ，
故答案为：
【分析】先求出方程的解，、，再由进行分解因式。
11．（2018·深圳模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
三、计算题
12．（2021七下·普陀期中）在实数范围内分解因式：
（1）﹣a2﹣3a+1．
（2）2x2y2﹣3xy﹣4．
【答案】（1）解：设﹣a2﹣3a+1＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×1＝13＞0，
∴a＝ ＝ ，
a1＝﹣ ，a2＝﹣ ，
∴﹣a2﹣3a+1＝﹣（a+ ）（a+ ）
（2）解：设2x2y2﹣3xy﹣4＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴xy＝ ＝ ，
∴（xy）1＝ ，（xy）2＝ ，
∴2x2y2﹣3xy﹣4＝2（xy﹣ ）（xy﹣ ）．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断能否因式分解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式判断能否因式分解即可。
四、解答题
13．（2020八上·岚山期末）先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式 和 ．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.
解答过程如下：
（1）
（2）
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
①
②
【答案】解：①
；
②
．
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分解因式，再进行组间的公因式提取便可达到目的；
（2）将原式分成和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续因式分解即可。
14．（2020八下·安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
反之 ，
所以 ，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解： ；
（2）化简： ；
（3）化简： ．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）参照题干中的分解因式的方法求解即可；
（2）参照题干中的分解因式的方法求解即可；
（3）参照题干中的分解因式的方法求解即可。
五、综合题
15．（2021八下·长沙开学考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6.
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6.
【答案】（1）解：x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）解：x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）.
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）将 7x拆分为 x 6x，分组后第一组提取公因式后再利用平方差公式分解，第二组利用提取公因式法分解，然后整体提取公因式法分解后，再利用十字相乘法分解，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
16．（2020八上·大余期末）阅读与思考：
因式分解----“分组分解法”：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如，四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组进行分组分解.分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.
例1：“两两”分组：
我们把 和 两项分为一组， 和 两项分为一组，分别提公因式，立即解除了困难.同样.这道题也可以这样做：
例2：“三一”分组：
我们把 ， ， 三项分为一组，运用完全平方公式得到 ，再与－1用平方差公式分解，问题迎刃而解.
归纳总结：用分组分解法分解因式的方法是先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
① ；
②
（2）若多项式 利用分组分解法可分解为 ，请写出 ， 的值.
【答案】（1）①
②
（2）
∵
比较系数可得a＝4，b＝2
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）①选用“两两分组”法分解因式即可；②选用“三一分组”法分解因式即可；（2）利用多项式乘法法则将 展开，然后对应多项式 即可求出答案．
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册9.16 分组分解法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)
一、选择题
1．（2021八上·杨浦期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1
2．（2021七下·怀柔期末）将 3a2m﹣6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：①3am（a﹣2n+1）；②3a（am+2mn﹣1）；③3a（am﹣2mn）；④3a（am﹣2mn+1）．其中，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2021八下·杨浦期末）如果二次三项式 能在实数范围内分解因式，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021七下·合肥期末）若多项式 可分解为 ，且 ， ， 均为整数，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．（2021·南皮模拟）对于：
① ；② ；③ ；④ ．其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
7．（2021七下·普陀期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
二、填空题
8．（2022八上·黄浦月考）在实数范围内分解因式： .
9．（2019七上·静安期中）因式分解：a +2ab+b -3a-3b-4= .
10．（2018八上·浦东期中）在实数范围内因式分解： ．
11．（2018·深圳模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
三、计算题
12．（2021七下·普陀期中）在实数范围内分解因式：
（1）﹣a2﹣3a+1．
（2）2x2y2﹣3xy﹣4．
四、解答题
13．（2020八上·岚山期末）先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式 和 ．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.
解答过程如下：
（1）
（2）
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
①
②
14．（2020八下·安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
反之 ，
所以 ，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解： ；
（2）化简： ；
（3）化简： ．
五、综合题
15．（2021八下·长沙开学考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6.
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6.
16．（2020八上·大余期末）阅读与思考：
因式分解----“分组分解法”：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如，四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组进行分组分解.分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.
例1：“两两”分组：
我们把 和 两项分为一组， 和 两项分为一组，分别提公因式，立即解除了困难.同样.这道题也可以这样做：
例2：“三一”分组：
我们把 ， ， 三项分为一组，运用完全平方公式得到 ，再与－1用平方差公式分解，问题迎刃而解.
归纳总结：用分组分解法分解因式的方法是先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
① ；
②
（2）若多项式 利用分组分解法可分解为 ，请写出 ， 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
B、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
C、 ，判别式 ，在实数范围内一定不能因式分解，不符合题意；
D、 ，判别式 ，在实数范围内一定能因式分解，符合题意；
故答案为：D
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一个一元二次方程，计算判别式的值，若△＞0，即可判断在实数范围内因式分解.
2．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： ；
∴只有④是正确的；
故答案为：D．
【分析】原式分解得到结果，即可作出判断。
3．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，
∴△=16-4p≥0，
解得：p≤4，
故答案为：D．
【分析】先求出△=16-4p≥0，再计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】
又
， ， 均为整数
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：① ，此项不符合题意；
② ，此项符合题意；
③ ，此项不符合题意；
④ ，此项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式、完全平方公式逐项判定即可。
6．【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝ y，x2＝ y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）
故答案为：D．
【分析】把x看成未知数，把y看成常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案。
8．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】原式=
故填：
【分析】利用实数范围内的因式分解的方法求解即可。
9．【答案】(a+b-4)(a+b+1)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：a +2ab+b -3a-3b-4
=(a +2ab+b )-(3a-3b)-4
=(a+b)2-3(a+b)-4
=(a+b-4)(a+b+1)
故答案为：(a+b-4)(a+b+1)
【分析】先把多项式分组为(a +2ab+b )-(3a-3b)-4=(a+b)2-3(a+b)-4，再把a+b看成整体用因式分解法进行分解.
10．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：令 ，
这里 ， ， ，
，
，
则 ，
故答案为：
【分析】先求出方程的解，、，再由进行分解因式。
11．【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
12．【答案】（1）解：设﹣a2﹣3a+1＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×1＝13＞0，
∴a＝ ＝ ，
a1＝﹣ ，a2＝﹣ ，
∴﹣a2﹣3a+1＝﹣（a+ ）（a+ ）
（2）解：设2x2y2﹣3xy﹣4＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴xy＝ ＝ ，
∴（xy）1＝ ，（xy）2＝ ，
∴2x2y2﹣3xy﹣4＝2（xy﹣ ）（xy﹣ ）．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断能否因式分解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式判断能否因式分解即可。
13．【答案】解：①
；
②
．
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分解因式，再进行组间的公因式提取便可达到目的；
（2）将原式分成和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续因式分解即可。
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）参照题干中的分解因式的方法求解即可；
（2）参照题干中的分解因式的方法求解即可；
（3）参照题干中的分解因式的方法求解即可。
15．【答案】（1）解：x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）解：x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）.
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）将 7x拆分为 x 6x，分组后第一组提取公因式后再利用平方差公式分解，第二组利用提取公因式法分解，然后整体提取公因式法分解后，再利用十字相乘法分解，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
16．【答案】（1）①
②
（2）
∵
比较系数可得a＝4，b＝2
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）①选用“两两分组”法分解因式即可；②选用“三一分组”法分解因式即可；（2）利用多项式乘法法则将 展开，然后对应多项式 即可求出答案．
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