(共46张PPT)
12.2 复数的运算
第二课时 复数的乘方与复数的除法
掌握复数代数形式的乘方和除法运算，掌握复数代数形式的四则运算.
课标要求
素养要求
通过本节课的学习，发展数学抽象素养及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.复数的乘方运算
(1)zmzn＝__________；
(2)(zm)n＝________；
zm＋n
zmn
(3)(z1z2)n＝_________.
i4n＝____，i4n＋1＝____，i4n＋2＝______，i4n＋3＝______ (n∈N*).
2.i的乘方的周期性
1
i
－1
－i
(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
z2＝c＋di(c＋di≠0，且c，d∈R)，
3.复数的除法运算
(2)复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
点睛
复数除法的两点说明：
①实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后即得结果.
②注意最后结果要将实部、虚部分开.
1.思考辨析，判断正误
(1)复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减.( )
√
×
√
×
B
B
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
1
课堂互动
题型剖析
2
题型一 复数代数形式的乘方运算
【例1】 计算下列各题：
(2)(1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.
(3)i＋i2＋i3＋…＋i100＝(i＋i2＋i3＋i4)×25＝0.
进行复数的乘方运算时要灵活运用乘方的运算性质及一些常用的结论：
(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(1±i)2＝±2i.
思维升华
解 (1)(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝25·i5＝32i.
题型二 复数代数形式的除法运算
A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A.3＋5i B.3－5i C.－3＋5i D.－3－5i
D
A
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
思维升华
题型三 解复数方程
【例3】 在复数集C内解方程z2－10z＋30＝0.
解 配方，得(z－5)2＝－5，
思维升华
【训练3】 解方程4z2＋1＝0.
题型四 复数运算的综合问题
B
解 由(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝a＋2b＋(b－2a)i为实数，
∴b＝2a，又a2＋b2＝5，
∴z＝1＋2i或－1－2i，
思维升华
由比较复杂的复数运算给出的复数求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式再写出其共轭复数.
解 由已知得(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝a＋2b＋(b－2a)i为纯虚数，
又a2＋b2＝5，②
∴z＝－2＋i或2－i，
一、牢记3个知识点
1.复数的乘方运算律.
2.复数的除法运算.
3.i的乘方的周期性.
二、掌握3种方法
1.分母实数化.
2.配方法.
3.求根公式法.
三、注意1个易错点
分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A
2.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1＋i)2 B.i2(1－i)
C.(1＋i)2 D.i(1＋i)
解析 由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.
C
A.－1 B.1
C.－i D.i
A
4.(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10
＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
C
ABC
二、填空题
6.若复数z满足iz＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________.
2
7.若x2＋x＋1－i＝0，则x＝____________.
i或－1－i
∴x＝i或x＝－1－i.
－i
－2
10.设复数z满足5＋z＝1＋3i，
解 (1)由5＋z＝1＋3i，得z＝1＋3i－5，
∴z＝－4＋3i，
3
经验证D符合.
D
13.已知关于x的二次方程x2＋(a＋bi)x＋c＝0(a，b，c∈R).
(1)求方程有相异两实根的条件；
(2)求方程有一实根一虚根的条件.
解 (1)设原方程的相异两个实根为α，β，
∴α＋β＝－a，b＝0.
当b＝0时，原方程化为x2＋ax＋c＝0，有相异两个实根的条件为a2－4c>0，b＝0.
(2)设实根为m，虚根为z，则由根与系数的关系得mz＝c，因此m＝c＝0，方程化为x(x＋a＋bi)＝0，要使方程有虚根－a－bi，只有b≠0，综上，方程有一实根一虚根的条件是c＝0，b≠0.
(1)求复数z；
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴z＝4－2i.
(2)求实数x的取值范围.
解 ∵复数(z＋xi)2＝[4＋(x－2)i]2＝16－(x－2)2＋8(x－2)I
＝(12＋4x－x2)＋(8x－16)i，
故实数x的取值范围是(2，6).
本节内容结束(共40张PPT)
12.2 复数的运算
第一课时 复数的加法、减法、乘法
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减、乘运算法则，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
2.理解共轭复数的概念.
课标要求
素养要求
通过对本节课的学习，发展数学运算素养及数学抽象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.复数的加法运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝_________________，两个复数的和仍是一个______.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________________.
(a＋c)＋(b＋d)i
复数
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
(1)复数的减法是加法的逆运算.
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝__________________，两个复数的差是一个______.
(2)两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
2.复数的减法运算
(a－c)＋(b－d)i
复数
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
3.复数的乘法运算
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝___________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝______________
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
(2)当复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝____.也就是说，实数的共轭复数是它本身.
4.共轭复数
相反数
a－bi
1.思考辨析，判断正误
(1)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
提示 复数与复数相加减后结果为确定的复数.
(2)在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减.( )
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( )
(4)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立.( )
提示 (z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)根据复数的运算法则可知是成立的.
×
√
√
×
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A.8i B.6
C.6＋8i D.6－8i
B
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.复数3－5i的共轭复数是( )
A.3＋5i B.－3－5i
C.－3＋5i D.3－5i
解析 由共轭复数定义知，A正确.
A
4.(5－i)－(3－i)－5i＝________.
2－5i
解析 根据复数的减法法则可得(5－i)－(3－i)－5i＝2－5i.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 复数的加、减运算
∵z1＋z2是虚数，
∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
故m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞).
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并.
(2)复数的加、减运算结果仍是复数.
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算.
(4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
思维升华
【训练1】 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
题型二 复数代数形式的乘法运算
【例2】 计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
(3)(1＋2i)2.
解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
复数代数形式的乘法运算常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
(3)(1±i)2＝±2i.
思维升华
【训练2】 (1)(2＋i)(2－i)＝( )
A.5 B.1
C.4＋i D.4－i
(2)复数(1－i)(a＋i)的实部小于0，虚部大于0，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析 (1)(2＋i)(2－i)＝22－i2＝4＋1＝5.
(2)由题意z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i.
A
B
题型三 共轭复数及其应用
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.
思维升华
A
一、牢记3个知识点
1.复数的加减运算法则.
2.复数的乘法运算法则及运算律.
3.共轭复数的概念.
二、掌握1种方法——类比法
三、注意1个易错点
注意把i2换成－1.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
C
2.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A.1＋i B.1＋3i
C.－1－i D.－1－3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
B
3.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i(a，b∈R)，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A.1＋i B.2＋i
C.3 D.－2－i
D
∴a＋bi＝－2－i.
4.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，且z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A.1 B.2
C.－2 D.－2或1
C
ACD
4－i
7.若复数z满足z＝(1＋2i)(－i)，其中i为虚数单位，则z的实部为________.
解析 z＝(1＋2i)(－i)＝2－i，实部为2.
2
8.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
5
2
解析 由已知(a＋bi)2＝3＋4i，
即a2－b2＋2abi＝3＋4i，
三、解答题
9.计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，
∴a＋b＝1.
0
12.若1＋2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p＝________，q＝________.
－2
5
解析 ∵1＋2i是方程x2＋px＋q＝0的根，
∴(1＋2i)2＋p(1＋2i)＋q＝0，
即(－3＋p＋q)＋(4＋2p)i＝0，
A
本节内容结束
