人教版高中数学必修第一册第二章2.3一元二次不等式的应用 课时7 一元二次不等式的应用 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
课时7 一元二次不等式的应用
教学目标
1. 在将实际问题转化为数学模型的过程中,理解数学建模的步骤,初步掌握数学建模的方法.
2. 掌握解分式不等式的方法,体会转化思想在解题中的应用.
3. 理解并掌握不等式恒成立、不等式有解问题的求解方法,体会数学语言的转换在解决数学问题中的重要作用,提升发现和提出问题、分析问题和解决问题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
能用一元二次不等式解决一些实际问题 通过实际情境建立数学模型，培养数学建模素养
理解将分式不等式转化为一元二次不等式的思维过程 经历数学内部的转化过程，发展数学抽象素养，提升转化化归能力
掌握求解有关一元二次不等式恒成立问题的方法 通过自然语言、符号语言、图形语言这三种语言间的相互转化，发展逻辑推理、直观想象素养
情境导学
某校园内有一块长为800 m、宽为600 m的长方形地面(如图1)，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪．若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.怎么解决这一问题呢？
图1
【活动1】 解答情境导学中的应用问题
【问题1】请你仔细思考，如何解决情境导学中的问题？
【问题2】设变量应注意什么？
【问题3】你能归纳出解决不等式应用问题的一般步骤吗？
初探新知
【活动2】 探寻简单分式不等式的解法
【问题4】
【问题5】以上两种思路是否具有推广价值，你能否总结出求解分式不等式的一般方法？
【问题6】不等式x2＋ax＋3－a>0对于x∈R恒成立，求a的取值范围．请你对上述问题从数和形两种角度探索求解．
【问题7】对比解决上述问题的两种思维角度，哪一种角度比较简洁？能推广出一般的结论吗？
【活动3】探究一元二次不等式恒成立问题的解法
典例精析
思路点拨：第(1)问依据题意建立不等式，解不等式．第(2)问建立函数关系解决最值问题．
【例1】[2022·河北省唐山市高一期末改编题]某小微食品生产企业的生产车间每小时可生产食品x kg,且1≤x≤10,每小时可获得利润100(5x+1- ) 元．
(1) 要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2) 该车间生产速度为多少时,生产900 kg食品获得的利润最大 并求最大利润.
【解】
【方法规律】
1. 解决实际问题的一般步骤：审题、设参、建模、解模、作答．
2. 对于范围问题，一般建立不等关系模型；对于最值问题，一般建立函数模型．
【变式训练1】某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件.为了促进销售,对这种商品进行降价处理.若每件售价降低x(x∈N)元,则售出商品数量就增加2x件.要求售价不能低于成本价.
(1) 设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2) 若要求该商品一天营业额至少为10 282元,求x的取值范围.
【解】
(1) 由题意得y=(100-x)(100+2x)=-2x2+100x+10 000.因为售价不能低于成本价,所以100-x≥80,解得0≤x≤20(x∈N),所以y=-2x2+100x+10 000(0≤x≤20,且x∈N).　
(2) 由题意得-2x2+100x+10 000≥10 282,化简得x2-50x+141≤0,解得3≤x≤47.又0≤x≤20(x∈N),所以x的取值范围是{x∈N|3≤x≤20}.
【例2】
【解】
【方法规律】
1. 解分式不等式的一般流程：先通过移项通分整理成标准形式<0(>0)或≤0(≥0)，再将不等式两边同时乘以分母的平方，进而转化成一元二次不等式求解．
2. 对于分式不等式≤0(≥0)，在变形过程中要注意结合分母不为0求得最终解集．
【变式训练2】不等式≥－1的解集为______________.
【解】
【例3】[教材改编题]已知y=mx2-mx-1.
(1) 若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2) 若对于任意x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
思路点拨:(1) 对于一切实数x,y<0恒成立,等价函数在x∈R上的图象恒在x轴下方,借助函数的图象分析,列出m满足的不等式组,通过解不等式组求出m的取值范围;　(2) 有两种方法:一是将x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,转化为,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,借助函数的图象求解;二是分离参数,转化为求函数的最值.
【方法规律】
1. 不等ax2＋bx＋c>0(<0)在x∈R上恒成立的条件可结合其对应的二次函数图象决定．
2. 函数最值法、分离参数法及数形结合法是解决不等式在给定区间上恒成立问题的三种常用方法．每种方法对于不同试题各有优劣，要牢牢掌握，灵活使用，特别是数形结合时，满足条件的图象要画全，画对．一般来说，一元二次不等式在x∈R上恒成立从数形结合法入手；一元二次不等式在给定区间上恒成立从函数最值或分离参数入手．
【解】
【变式训练3】已知函数y=ax2-3ax+a2-3.
(1) 若不等式y<0的解集是{x|11},求实数a,b的值;
(2) 若a<0,且不等式y<4对任意x∈{x|-3≤x≤3}恒成立,求实数a的取值范围.
【解】
（备选例题）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|11},记函数y=ax2+(a-b)x-c.
(1) 求证:函数y=ax2+(a-b)x-c必有两个不同的零点;
(2) 若函数y=ax2+(a-b)x-c的两个零点分别为m,n,求μ=|m-n|的取值范围.
思路点拨　(1) 由ax2+bx+c>0的解集为{x|11},知a<0,由一元二次函数的零点的概念,要证明函数y=ax2+(a-b)x-c必有两个不同的零点,只要证明一元二次方程ax2+(a-b)x-c必有两个实根即可.　(2) 由题设条件,利用一元二次方程的根与系数之间的关系,可将μ=|m-n|表示为t的二次函数,再借助二次函数的图象,求出μ=|m-n|的取值范围.
【解】
【方法规律】
一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a≠0)的解集的确定,受二次项系数a的符号及判别式Δ=b2-4ac的符号制约,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,求解有关一元二次不等式的解集和一元二次函数的零点的有关问题,可借助相应的一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,运用数形结合的方法求解.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
2. 若关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　)
A. {k|0≤k≤1}　 B. {k|0＜k≤1}
C. {k|k＜0，或k＞1} D. {k|k≤0，或k≥1}
ABC
A
A
4. 已知某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0【解析】 由题设,当产量为x台时,总售价为25x万元.欲使生产者不亏本时,必须满足总售价大于等于总成本,即25x≥3 000+20x-0.1x2,即0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200,又0{x∈N*|150≤x<240}
5. [2021·辽宁省大连市第十五中学高一阶段测试改编题]已知关于x的二次函数y=x2+mx+1.若该函数y有两个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　　　　　若y≤0对任意x∈{x|1-m≤x≤2-m}都成立,则实数m的取值范围是　　　　.　
【解析】
m<-2或m>2
同学们再见！
Goodbye Students！